c.Tính khoảng cách từ điểm D1;1;1 đến mặt phẳng ABC, từ đó suy ra thể tích của tứ diện ABCD.. c.Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với α.. b.Tính khoảng cách từ điểm D đến mpABC c.
Trang 1Bài 18 : Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 0)
a.Chứng minh tam giác ABC vuông và tính diện tích của nó
b.Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c.Tính khoảng cách từ điểm D(1;1;1) đến mặt phẳng (ABC), từ đó
suy ra thể tích của tứ diện ABCD
Bài 19 : Cho A(1;–1; 3), B(3;0;1), C(0;4;5)
a.Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua C và vuông góc với AB
b.Viết PTTS của đường thẳng đi qua C và vuông góc với (α)
Bài 20 : Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 5)
a.Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với BC
b.Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α)
IV BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ
Bài 21 : Cho (α): 3x – 2y – z + 5 = 0 và ∆: 1 7 3
x− = y− = z− a.Chứng tỏ rằng ∆ song song với (α)
b.Tính khoảng cách giữa ∆ và (α)
Bài 22 :Viết PTTS của đường thẳng
a.Đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương a =(2; 3;1)−
b.Đi qua N(2; 0; –3) và song song với đường thẳng
4
= +
= − −
=
c.Đi qua A(2; –1; 3) và vuông góc với (α): x + y – z + 5 = 0
d.Đi qua P(1; 2; 3) và Q(5; 4; 4)
Bài 23 : Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng ∆:
2
= +
= +
=
a.Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đthẳng ∆
b.Tìm tọa độ A′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆
c.Viết phương trình mặt phẳng chứa A và ∆
Bài 24 : Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0
a.Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên (α)
b.Tìm tọa độ M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng (α)
c.Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (α)
Bài 25 : Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0
a.Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α)
b.Viết ptmp đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (α)
g 3 0
2 sin
2 cos
xdx x
π +
0 x e( x cos )x dx
π +
0 x x( +e dxx)
∫
Bài 14 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây
a.y=x3−3x+ và trục hoành 2
b.y=x2−2x và y = − +x2 4x
c.y =x2−2x và y = x
d.y=x3−x2 và 1( )
1 9
e.y 1 1 ( ),C x 1 x
= + = và tiếp tuyến với ( )C tại điểm 2;3
2
1
x
x
−
g.y ln ,x x 1,x e
e
h.y x 1 lnx
x
= − + , y = − và xx 1 = e Bài 15 : Tính thể tích các vật thể tròn xoay khi quay các hình phẳng giới
hạn bởi các đường sau đây quanh trục hoành:
y = x −x Ox x = − x =
2
x
c y = −2 x y2, = 1
Trang 2Phn Phn IV S PH'CIV S PH'C
I TĨM TẮT CƠNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Các cơng thức và phép tốn về số phức
i = −
i
z = +a bi a b∈
☺ z = a2+b2 ☺ z = − a bi
z = +a bi z = +c di
☺
=
☺
z +z = a + + +c b d i
☺
z −z = a− + −c b d i
☺
z z = ac−bd + ad+bc i
2
2
z = z z = z
0
a ∈ a <
i Cho và Khi đĩ, a cĩ 2 căn bậc hai phức là: ± a i
2 Giải phương trình bậc hai hệ số thực (với ∆ < 0) trên tập số phức
Cho phương trình bậc hai az2 +bz + =c 0 ( , ,a b c∈ và a ≠0)
Tính ∆ =b2−4ac và ghi kết quả dưới dạng ( ∆ )i 2
Kết luận phương trình cĩ 2 nghiệm phức:
Lưu ý:
+ Chỉ được dùng cơng thức nghiệm ở trên khi ∆ < 0
+ Trường hợp ∆ ≥ ta giải pt bậc hai trên tập số thực (như trước) 0
+ Khi giải pttrùng phương trên C, ta đặt t = z2(khơng cần ĐK cho t)
II BÀI TẬP MINH HOẠ
Bài 1 : Thực hiện các phép tính
a.(2+4 )(3i −5 )i +7(4−3 )i b (3−4 )i 2 c 2
i i
+ +
III BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP Bài 9 : Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)
a.Viết ptmp(ABC) và chứng minh A,B,C,D khơng đồng phẳng b.Tính khoảng cách từ điểm D đến mp(ABC)
c.Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mp(ABC)
d.Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuơng gĩc của D lên (ABC) Bài 10 :Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4)
a.Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
b.Viết PTTS của đường thẳng qua A và song song với BC
b.Viết PTTS của đường thẳng qua A và vuơng gĩc với mp(ABC) Bài 11 :Cho A(1;2;3),B(1;6;2) và mặt phẳng (β): 2x + y – 2z – 1 = 0
a.Viết phương trình mặt cầu ( )S1 cĩ tâm A và tiếp xúc với mp(β) b.Viết phương trình mặt cầu ( )S2 cĩ tâm B và đi qua điểm A c.Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A và vuơng gĩc với mặt phẳng (β) Từ đĩ, tìm toạ độ giao điểm của d và (β)
Bài 12 : Viết PTTS của đường thẳng d:
a.Đi qua A(–2;3;1) và cĩ vtcp a=(2; 0; 3) b.Đi qua A(4;3;1) và song song với đường thẳng
= +
∆ = += −
Bài 13 : Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)
a.Viết PTTQ của mp(ACD) và chứng minh B khơng thuộc (ACD) b.Viết PTTQ mp(α) đi qua AB và song song với CD
c.Viết pt mặt cầu đường kính BD
Bài 14 :a.Viết pt mặt cầu (S) cĩ tâm I(5;–3;7) và đi qua M(1;0;7)
b.Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M c.Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P)
Bài 15 :Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
a.(S) cĩ đường kính AB với A(1;2;3), B(3;2;1) b.(S) cĩ tâm I(1;1;1) và tiếp xúc mặt phẳng (α): 3y + 4z + 1 = 0 Bài 16 :Cho I(–2; 1; 1) và mặt phẳng (α): x + 2y – 2z + 5 = 0
a.Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mp(α) b.Viết ptmp đi qua tâm I(–2;1;1) và song song với mặt phẳng (α) Bài 17 :Cho m.cầu (S): x2 + y2 + z2 – 9 = 0 và mp(α): x + 2y – 2z + 9 = 0 a.Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P)
b.Viết ptmp(β) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (α) Xác định toạ độ tiếp điểm của (S) và (β)
Trang 3Bài 8 :Xét vị trí tương đối của đường thẳng : 1 3
a 1:
2
= +
∆ = += −
2 2
= +
∆ = += −
= − −
∆ = − += +
Bài giải
0( 1; 3; 0)
M − , cĩ vtcp u=(1; 1; 3)−
∆1 đi qua điểm M ′0(1; 0; 3), cĩ vtcp u ′ =(2; 2; 6)−
−
− nên ,u u ′
cùng phương với nhau
0 vào pt ∆1 ta thấy khơng thoả mãn
M ∉ ∆ và d || ∆1
0( 1; 3; 0)
M − , cĩ vtcp u=(1; 1; 3)−
∆2 đi qua điểm M ′0(2; 8;1), cĩ vtcp u ′ =(1; 2; 4)−
−
≠
− nên ,u u ′
khơng cùng phương với nhau
u u
′ = − − = − −
và cắt nhau
(3; 5;1)
M M
′ =
0( 1; 3; 0)
M − , cĩ vtcp u=(1; 1; 3)−
∆3 đi qua điểm M ′0( 1; 4; 1)− − , cĩ vtcp u′ = −( 2;1; 3)
−
≠
− nên ,u u ′
khơng cùng phương với nhau
u u
và chéo nhau
(0;1; 1)
M M
Bài giải Câu a: (2+4 )(3i −5 )i +7(4−3 )i = −6 10i+12i−20i2+28−21i = −6 10i+12i+20+28−21i =54−19i Câu b: (3−4 )i 2 = −9 24i+16i2 = −9 24i−16= − −7 24i
(2 )(3 2 )
Bài 2 : Tìm mơđun của số phức sau đây
i z
+
=
Bài giải Câu a: z = +3 2i+(1+i)2 = +3 2i+ +1 2i+i2 = +3 2i+ + − 1 2i 1 ⇒ = +z 3 4i ⇒ z = a2 +b2 = 32 +42 = 5 Câu b:
2
1
z
⇒ z = a2+b2 = 12 +02 = 1 Bài 3 : Giải phương trình sau trên tập số phức: 2iz + =3 5z+4i
Bài giải
2iz+ =3 5z+4i ⇔2iz−5z = − +3 4i ⇔(2i−5)z= − +3 4i
2
( 3 4 )( 5 2 )
z
Bài 4 : Giải các phương trình sau đây trên tập số phức:
a.3z2 + + = z 2 0 b z4 +2z2 –3= 0
c.z3− = 1 0 d − + − = z2 z 2 0
Bài giải Câu a: 3z2 + + = (1) z 2 0
Ta cĩ, ∆ =12−4.3.2= −23< ⇒ ∆ =0 ( 23 )i 2
Vậy, phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phức phân biệt
i
i
Trang 4Câu b: z4 +2z2 –3= (2) 0
Đặt t=z2, phương trình (2) trở thành:
2 2
2
1
z
+ = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = ±
Vậy, phương trình (2) có 4 nghiệm phức phân biệt
1
z = ± và z = ± 3.i
1
z
= −
Giải (*), ta có ∆ = −( 1)2−4.1.1= − < ⇒ ∆ =3 0 ( 3 )i 2
Ph.trình (*) có 2 nghiệm phức pb : 1 1 3
2
i
2
i
= Vậy, phương trình (3) có 3 nghiệm phức phân biệt
1
Câu d: − + − = (4) z2 z 2 0
Ta có, ∆ =12−4.( 1)( 2)− − = − < ⇒ ∆ =7 0 ( 7 )i 2
Vậy, phương trình (4) có 2 nghiệm phức phân biệt
i
i
− Bài 5 : Tìm môđun của số phức z biết:
3iz +(3−i)(1+ = i) 2
Bài giải Câu a: 3iz+(3−i)(1+ = ⇔i) 2 3iz+ +3 3i− −i i2 = 2
i
i
− −
⇒ = + = + =
A
A x−x +B y−y +C z−z =
( 6; 2; 4)
n=MN= − −
I − là trung điểm đoạn MN
A x−x +B y−y +C z−z =
Bài 7 :Cho (0;1;2), ( 3;1;4), (1; 2; 1)A B − C − − Viết PTTS của đ.thẳng d: a.d đi qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC
b.d đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Bài giải
1 3 ( 1; ; )
2 2
n=AI = − − −
0
3
1
2
( 3; 0; 2), (4; 3; 5)
AB= − BC= − −
(6; 7; 9) d
u = =n −
0 0 0
Trang 5
A x−x +B y−y +C z−z =
(0; 4; 3)
n=AM= −
M
A x−x +B y−y +C z−z =
Bài 6 : Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây:
a.(α) đi qua 3 điểm (0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1)A K − D − −
b.(α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD, biết
(1;1;1), (2;1; 2), ( 1; 2; 2), (2;1; 1)
c.(α) là mp trung trực của đoạn MN, với (2; 3;1), ( 4;1;5)M N −
Bài giải ( 3; 0;2)
AK = − (4; 3; 5)
KD= − −
A
A x−x +B y−y +C z−z =
(1; 0;1)
AB = (3; 1; 3)
CD= − −
0 1 1 1 1 0
III BÀI TẬP LUYỆN TẬP TẠI LỚP Bài 6 : Thực hiện các phép tính
a.(2+4 )(3i −5 )i +7(4−3 )i b.(1−2 )i 2− −(2 3 )(3i +2 )i
e.(4+5 )i −(4+3 )i 5
i.(3 2 )(1 3 ) (2 )
i i
+ −
i
+
k.(3 4 )(1 2 ) 4 3
i i
+ −
(1+ 3 )i + −(1 3 )i Bài 7 : Viết các số phức sau dưới dạng a + bi rồi tìm môđun của chúng
a.z = +3 2i+(1+i) 2 b.z =4 3– i+(1–i) 3
i z
+
=
z
=
1
i z
i
−
=
5
1 1
i z
i
+
=
−
Bài 8 : Giải phương trình sau trên tập số phức
a.2iz + =3 5z+4i b.(3+4 )i z=(1+2 )(4i + i) c.( 2−i 3)z+i 2 = 3+2 2i d.2 1 3
z
=
e 3z+(2+3 )(1i −2 )i = +5 4i f.(1 – )i z+(2 – )i 2 = +2 3i
g 3 (2z − + =i) 1 2 (1iz + +i) 3i Bài 9 : Cho z =(1+ 2 )i 2.Tính z Bài 10 : Cho (1 )34
(1 )
i z
i
+
=
− Tính z
1
2
z = +i Tính z1.z2 Bài 12 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo bằng nhau và z =2 2 Bài 13 : Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.3z2+ + =z 2 0 b.z2 –4z+ =7 0
c.2z2 –5z+ =4 0 d.z2+ + = z 7 0
e.3z2 +2z+ = 7 0 f.z2−4z+ = 7 0
Trang 6g.z2+ 2 z + 17 = 0 h.z2 +3z+ = 3 0
i z2− + = z 1 0 j z3 + =8 0
k.z4+2z2 –3=0 l 2z4 +3z2− = 5 0
Bài 14 : Cho số phức z = +1 i 3.Tínhz2+z2
Bài 15 : Cho các số phức z1 = +3 2 ,i z2 = +2 i z, 3 = −1 3i Hãy biểu
diễn các số phức z z z z z z1, , , , ,2 3 1 2 3 trên mặt phẳng phức
IV BÀI TẬP TỰ LUYỆN TẠI NHÀ
Bài 16 : Thực hiện các phép tính
a.(1 4 )(2− i +3 )i − − −5( 1 3 )i b.(2−3 )i 2− −(1 3 )(5i +2 )i
c.(2−4 )i 2+ i d.(2−i)3
e.(5− − +i) (2 7 )i 3
g (2 3 )(1 2 ) (2 4 )
1
i i
+ −
i
i (3 4 )(1 2 ) 4 3
i i
+ −
(1+ 3 )i − −(1 3 )i Bài 17 : Tính z + z , biết
a.z = −1 3i+(1−2i)2 b.z =(2 –3i)2+(1–i)3
i z
−
=
z
=
e
2
1 (1 )
i z
i
−
=
6
1 1
i z
i
+
=
−
Bài 18 : Giải phương trình sau trên tập số phức
a.2 i z− =1 5.z− 2i b.(3−i z) = +(1 i)(4−2 )i
z
e 3z+(2+3 )(1i −2 )i = +5 4i f.(1+i z) +(1 – )i 2 = − 2 3i
Bài 19 : Tính Cho z = −(1 2 )i 2+3i.Tính z
Bài 20 : Cho (1 )34
(1 )
i z
i
−
= + Tính
1 z
1
2
z = +i Tính z1.z2 Bài 22 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo đối nhau và z =2 2
2 3 ( ; ; ) 2
I − là trung điểm đoạn thẳng BC
69
BC
(BC = (0−2)2 + −(2 1)2+ − −( 6 2)2 = 69)
3
Bài 5 : Cho mặt cầu ( ) :S x2+y2 +z2−2x+6y−8z+ = , hai điểm 1 0
(0; 3; 2), (1; 1; 1)
a.Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu
b.Viết phương trình mp(α) đi qua cạnh AB và tâm I của m.cầu c.Viết phương trình mp(β) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm (1;1;1)M
Bài giải
Nên toạ độ tâm: (1; 3; 4)I −
(1; 4; 3)
AB= − − (0; 2; 5)
BI = −
Trang 7
Bài 3 : Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) biết:
a
1
2
= −
= +
=
và ( ) : 3α x+4y− − = z 6 0
− và ( ) :α x−3y−2z− = 2 0
Bài giải
α ta được 3(1 ) 4(2 ) (2 ) 6 0
⇔ − + = ⇔ =
2.5 10
x
z
= − = −
= + =
1 ( )
= − +
= +
∗ vào PTTQ của ( )α ta được 11
2
t= − 11
2
t= − trở lại vào ( )∗ , ta được g.điểm ( 13 11; ; 25)
Bài 4 : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2; –6) và mp( ) :P x−2y+2z+ = 1 0
a.Viết phương trình mặt cầu tâm B, đi qua A
b.Viết phương trình mặt cầu đường kính BC
c.Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P
Bài giải
(x−a) +(y−b) + −(z c) =R
Bài 23 : Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a.3z2− + = z 1 0 b.z2 – 4z + = 5 0
c.−3z2 – 5z− = 4 0 d.− + − = z2 z 1 0
e.2z2 +4z + = 9 0 f − +z2 4z− = 6 0
g.3z2+6z+17=0 h.z2−3z+ = 3 0
i z3−27= 0 j.z3+z2 +8z+ = 8 0
k.z4−z2 – 12= 0 l 3z4+2z2− = 5 0 Bài 24 : Cho số phức z = −2 i 2.Tính z2+z2
Trang 8Phn V
Phn V PHNG PHÁP TO( Đ*PHNG PHÁP TO( Đ*PHNG PHÁP TO( Đ* TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN
I TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1 Tọa độ của véctơ và tọa độ của điểm trong không gian
a=( ;a a a1 2; 3)⇔ =a a i1+a j2+a k3
M =( ; ; )x y z ⇔OM =xi+y j+zk
AB=(xB−xA;yB −yA;zB−zA)
Trung điểm I của đoạn AB Trọng tâm G của tam giác ABC
2 2 2
I
I
I
x
y
z
=
=
3 3 3
G
G
G
x
y
z
=
2 Tích vô hướng và tích có hướng
Cho 2 véctơ a =( ; ; )x y z ; b=( ; ; )x y z′ ′ ′
Tích vô hướng: a b =xx′+yy′+zz′
Tích có hướng: n a b, y z ; z x ; x y
[ ] a = x2 +y2 +z2
AB= (xB −xA)2 +(yB −yA)2+(zB −zA)2
cos( , )
a b
′+ ′+ ′
3 Một số tính chất và ứng dụng
a⊥ ⇔b a b =0 Nếu n=[ , ]a b thì n ⊥a ; n⊥b
,a b
cùng phương với nhau ⇔[ , ]a b =0
, ,a b c
đồng phẳng ⇔[ , ].a b c =0
Bài giải Câu a: CMR, ∆ABC vuông, tính diện tích của nó
AC= − − ⇒BC =
AB AC
ABC
Câu b: Viết PTTS của trung tuyến AM
1 2
(0;1; )
3 2
( 1; 2; )
u=AM= − −
0 0
3
1
2
Câu c: Viết PTTQ của mặt phẳng (ABC)
( 2; 2; 4)
AB = − − (0; 2; 1)
AC= − −
A
A x−x +B y−y +C z−z =
Câu d: Khoảng cách từ M(2;1;2) đến mặt phẳng (ABC)
2 30
Trang 911 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho :
0 0 0
( )
= +
và mặt phẳng ( )P Ax: +By+Cz +D =0(1)
Thay ( )∗ vào (1) ta được phương trình (2) theo biến t
Nếu phương trình (2) vô nghiệm t thì kết luận d || (P)
Nếu phương trình (2) có vô số nghiệm t thì kết luận d ⊂ (P)
Nếu phương trình (2) có duy nhất nghiệm t = t0 thì thay t = t0 trở
lại vào phương trình ( )∗ ta tìm được ( ;x y z0 0; 0) Kết luận d và (P)
cắt nhau tại điểm M x y z0( ;0 0; 0)
II BÀI TẬP MINH HOẠ
Bài 1 : Cho OA= +i 3j+k ,OB= + +i j 2 ,k OC= j
a.CMR, ∆ABC cân b.Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
Bài giải Câu a: Từ giả thiết ta suy ra (1; 3;1), (1;1;2), (0;1; 0)A B C
AD= x − y − z −
( 1; 0; 2)
BC= − −
Bài 2 : Cho A(1;3;–2), B(–1;1;2), C(1;1;–3)
a.CMR, ABC là tam giác vuông Tính diện tích tam giác ABC
b.Viết PTTS của đường trung tuyến AM của tam giác ABC
c.Viết PTTQ của mặt phẳng (P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC
d.Tính khoảng cách từ điểm M(2;1;2) đến mặt phẳng (ABC)
4 Phương trình mặt cầu Mặt cầu (S) biết trước tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình
( – )x a +(y –b) +(z –c) =R Với điều kiện, phương trình có dạng:
là phương trình mặt cầu có tâm (a;b;c) và có bán kính
R= a +b +c − d Lưu ý:
+ M.phẳng α tiếp xúc với mặt cầu (S) thì (S) có bán kính R=d I α( , )
5 Phương trình tổng quát của mặt phẳng Nếu (P) đi qua M x y z0( ;0 0; 0), có vtpt n=( ; ; )A B C thì (P) có PTTQ
A x−x +B y−y +C z−z = Lưu ý (về việc xác định vtpt của mp)
☺☺ ( ) ( )P Q thì ( )P nhận nQ
làm vtpt
☺☺ ( )P ⊥AB thì ( )P nhận AB làm vtpt
☺☺ ( )P ⊥ thì ( )d P nhận ud
làm vtpt
a Cách xác định vtpt của (P) khi biết 2 véctơ có giá song song (hoặc chứa trong) (P)
Nếu a =( ; ; ) ,x y z b=( ; ; )x y z′ ′ ′ có giá song song (chứa trong (P)) thì (P) có vtpt: n a b, y z ; z x ; x y
[ ] Lưu ý: (về việc xác định véctơ có giá song song với mp) ☺☺ ( )P ⊥( )Q thì nQ
có giá song song ( )P ☺☺ ( )P AB thì AB có giá song song ( )P ☺☺ ( )P chứa M,N thì MN có giá song song ☺☺ ( )P thì d ud
có giá song song ( )P ☺☺ ( )P chứa ∆ thì u∆ có giá song song ( )P
b Cách xác định vtpt của (P) khi biết PTTQ của (P)
Mp ( ) :P Ax +By+Cz +D = có vtpt 0 n=( ; ; )A B C
c Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng (P) đi qua ( ; 0; 0)A a , (0; ; 0), (0; 0; )B b C c có
a + + = b c
Trang 106 Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
Cho ( ) :P Ax+By+Cz+D= có vtpt 0 n=( ; ; )A B C
và ( ) :Q A x′ +B y′ +C z′ +D′= có vtpt 0 n′=( ;A B C′ ′ ′; )
a Hai mặt phẳng song song với nhau
( ) ( )
=
(Đặc biệt: nếu , , ,A B C D′ ′ ′ ′ đều khác 0 thì A B C D
b Hai mặt phẳng trùng nhau
( ) ( )
=
(Đặc biệt: nếu , , ,A B C D′ ′ ′ ′ đều khác 0 thì A B C D
c Hai mặt phẳng cắt nhau
( )P caét ( )Q ⇔ ≠n k n ′.
Hai mặt phẳng vuông góc
( )P ⊥( )Q ⇔n⊥n ′ (Hay: n n ′ =0)
7 Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng
Cho M x y z0( ;0 0; 0) và ( ) :P Ax+By+Cz+D = Khi đó, 0
0
=
8 Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng d đi quaM x y z0( ;0 0; 0), có vtcp u=( ; ; )a b c , có PTTS
0 0 0
= +
Lưu ý: Nếu a=( ; ; ) ,x y z b=( ; ; )x y z′ ′ ′ là 2 véctơ có giá vuông góc với
d thì vtcp của d cũng được tìm bằng công thức:u=[a b,]
9 Phương trình chính tắc của đường thẳng
Đường thẳng d đi quaM x y z0( ;0 0; 0), có vtcp u=( ; ; )a b c , có PTCT
d
Lưu ý: (về cách xác định vtcp cho đường thẳng) ☺☺ d đi qua 2 điểm A,B (cho trước toạ độ) thì d có vtcp AB
☺☺ d || ∆ (cho trước PT) thì d có vtcp u =u∆
☺☺ d ⊥(P) (cho trước PT) thì d có vtcp u=nP
☺☺ d vuông góc với giá của 2 véctơ ,a b
thì d có vtcp u=[ , ]a b
☺☺ d song song với mp (P) và vuông góc với đường thẳng ∆ thì d vuông góc với giá của 2 véctơ nP
và u∆ nên d có vtcp ,
P
u=[n u∆]
10 Vị trí tương đối của 2 đường thẳng Cho đường thẳng d qua M x y z0( ;0 0; 0), có vtcp u=( ; ; )a b c
và đường thẳng d ′ qua M x y z0′ ′ ′ ′ có vtcp ( ;0 0; 0), u′=( ; ; )a b c′ ′ ′ Đặt n =[u u ′ , ]
a d và d′ song song nhau c d và d′ cắt nhau
ñieåm 0
0 n
=
∉
0 0
0 0
n
n M M
≠
′ ⇔
′ =
b d và d′ trùng nhau d d và d′ chéo nhau
ñieåm 0
0 n
≠
′
cheùo
0 0
0 0
n
n M M
≠
′ ⇔
′ ≠