Từ định nghĩa suy ra nếu F là trường ống thì Có thể chứng minh rằng điều ngược lại cũng đúng.. Định lý Trường vectơ D, F là trường ống khi và chỉ khi div F = 0 • Từ các kết quả ở trên
Trang 1Chương 6 Lý Thuyết Trường
Đ8 Trường ống
• Trường vectơ (D, F ) với F = {X, Y, Z} gọi là trường ống nếu có trường vectơ (D, G )
với G = {X1, Y1, Z1} sao cho F = rot G Tức là
X =
z
Y y
∂
∂
ư
∂
∂
Y =
x
Z z
∂
∂
ư
∂
∂
Z =
y
X x
∂
∂
ư
∂
∂
(6.8.1)
Trường vectơ G gọi là trường thế vị của trường vectơ F
Từ định nghĩa suy ra nếu F là trường ống thì
Có thể chứng minh rằng điều ngược lại cũng đúng Tức là chúng ta có kết quả sau đây
Định lý Trường vectơ (D, F ) là trường ống khi và chỉ khi div F = 0
• Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trường ống như sau
1 Trong trường ống không có điểm nguồn
div F = 0
2 Thông lượng qua mặt cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không
Φ = ∫∫< >
S
dS
, n
Ω
dV
3 Thông lượng đi qua các mặt cắt của một luồng là như nhau
Giả sử S là mặt trụ kín như hình bên
S = S0 + S1 + S2
Trong đó S định hướng theo pháp vecto ngoài n
S0 định hướng theo pháp vecto n 0 ngược hướng
với trường vectơ F, S1 định hướng theo pháp
vecto n 1 cùng hướng với trường vectơ F S2
định hướng theo pháp vecto n 2 vuông góc với
trường vectơ F
Theo tính chất của trường ống và tính cộng tính của tích phân
0 = ∫∫< >
S
dS
, n
0
S
dS ,n 0
1
S
dS ,n 1
2
S
dS ,n 2 F
Từ đó suy ra
1
S
dS ,n 1
0
S
dS ,n 0
0
S
dS ,n 1 F
Hay nói cách khác thông lượng của trường ống đi qua các mặt cắt là một hằng số
• Trường vectơ (D, F ) gọi là trường điều hoà nếu nó vừa là trường thế và vừa là trường
ống Tức là có trường vô hướng (D, u ) và trường vectơ (D, G ) sao cho
Từ đó suy ra
F
n 0
S
0
S
n 2
S
1
n 1
w
w
.d oc u -tra c k.
.d oc u -tra c k.
co m
Trang 2Chương 6 Lý Thuyết Trường
Tức là hàm thế vị của trường điều hoà là hàm điều hoà
• Từ các kết quả ở trên suy ra ý nghĩa cơ học của trường ống như sau
1 Trong trường điều hoà không có điểm xoáy, điểm nguồn
rot F = 0 và div F = 0
2 Hoàn lưu dọc theo đường cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không
K = ∫
Γ
>
<F , T ds = 0
3 Thông lượng qua mặt cong kín nằm gọn trong miền D luôn bằng không
Φ = ∫∫< >
S
dS
, n
F
Bài tập chương 6
1 Tìm đạo hàm tại điểm A theo hướng vectơ e của trường vô hướng u = xy - z2
a A(1, 2, 3) và e{1, 1, 1} b A(1, 1, 0) và e{0, 1, 1}
c A(1, 0, 1) và e là hướng phân giác trong của góc Oxy
2 Cho trường vô hướng u = x2 + y2 - z2
a Tìm độ lớn và hướng của vectơ grad u tại điểm A(1, - 2, 1)
b Tìm góc giữa grad u(1, 1, 1) và grad u(1, -1, 0)
c Tìm điểm M sao cho grad u(M) đồng phương với trục Oy
3 Cho trường bán kính r = x2 +y2+z2
a Tìm
e
∂
∂r với e{-1, 0, 1} b Tìm grad
r
1
và grad r2
c Tìm grad f(r) với hàm f là hàm có đạo hàm liên tục
4 Tìm Divergence của các trường vectơ F tại điểm A sau đây
a F = {xy, yz, zx} và A(1, 1, 2) b F = {xy2, yz2, zx2} và A(-2, 0, 1)
c F = {xyz, x + y + z, xy + yz + zx} và A(0, 1, 2)
4 Tìm Rotation của các trường vectơ F tại điểm A sau đây
a F = {x2y, y2z, z2x} và A(2, -1, 1) b F = {yz, zx, xy} và A(1, 3, 2)
c F = {x2 + y2, y2 + z2, z2 + x2} và A(-2, 3, 1)
w
w
.d oc u -tra c k.
.d oc u -tra c k.
co m
Trang 3Chương 6 Lý Thuyết Trường
6 Chứng minh các đẳng thức sau đây
a div (F ì G) = F rot G - G rot F b rot (rot F) = grad (div F) - ∆ F
7 Cho (D, u) và (D, v) là các trường vô hướng, r = x2 +y2+z2 là trường bán kính,
còn hàm f là hàm có đạo hàm liên tục H~y tính
a div (grad f(r)) b div (u grad v) c rot (grad rf(r))
8 Tính thông lượng của trường vectơ F qua mặt cong S
a F = {x, y, z} qua phần mặt phẳng x + y + z = 1 trong góc phần tám thứ nhất
b F = {xy, yz, zx} qua phần mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 trong góc phần tám thứ nhất
c F = {xy, yz, zx} qua phần mặt parabole z = x2 + y2 và 0 ≤ z ≤ 1
d F = {x, y, z} qua mặt cong kín z = x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 1
e F = {x3, y3, z3} qua mặt cong kín x2 + y2 + z2 = 1
f F = {xy2, x2y, z} qua mặt cong kín z = 4 - x2 - y2 và 0 ≤ z ≤ 4
9 Tính hoàn lưu của trường vectơ F dọc theo đường cong Γ
a F = {x, y, z} theo đường xoắn ốc x = a cost, y = a sint, z = bt với t ∈ [0, π/2]
b F = {xy, yz, zx} theo đoạn thẳng nối hai điểm A(a, 1, 1) và B(2, 4, 8)
c F = {-y, x, 0} theo đường cong kín (x - 2)2 + y2 = 1 và z = 0
d F = {x3, y3, z3} theo đường cong kín x2 + y2 + z2 = 1 và x + y + z = 1
e F = {xy2, x2y, z} theo đường cong kín z = x2 + y2 và z = x + y
w
w
.d oc u -tra c k.
.d oc u -tra c k.
co m
Trang 4Chương 7
Phương trình truyền sóng
Đ1 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2
• Cho miền D ⊂ 32 và các hàm a, b, c : D → 3 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 với hai biến độc lập có dạng như sau
a(x, y) 2
2
x
u
∂
∂ + 2b(x, y)
y x
u
2
∂
∂
∂ + c(x, y) 2
2
y
u
∂
∂ = F(x, y, u,
x
u
∂
∂ , y
u
∂
∂ ) (7.1.1)
Kí hiệu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) với (x, y) ∈ D
1 Nếu ∀ (x, y) ∈ D, ∆(x, y) > 0 thì phương trình (7.1.1) có dạng hyperbole
2 Nếu ∀ (x, y) ∈ D, ∆(x, y) = 0 thì phương trình (7.1.1) có dạng parabole
3 Nếu ∀ (x, y) ∈ D, ∆(x, y) < 0 thì phương trình (7.1.1) có dạng ellipse
• Giả sử ánh xạ
Φ : D → Ω, (x, y) → (ξ, η) với J(x, y) =
x y y
η
∂
∂
ξ
ư
∂
η
∂
∂
(7.1.2)
là phép đổi biến từ miền D vào miền Ω
Theo công thức đạo hàm hàm hợp
x
u
∂
∂ =
x
u x
u
∂
η
∂ η
∂
∂ +
∂
ξ ξ
∂
, y
u
∂
∂ =
y
u y
u
∂
η
∂ η
∂
∂ +
∂
ξ ξ
∂
2 2
x
u
∂
∂
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
x
u x
u x
u x x
u 2 x
u
∂
η
∂ η
∂
∂ +
∂
ξ
∂ ξ
∂ +
∂
η
∂ η
∂
∂ +
∂
η
∂
∂
ξ η
∂
∂
∂ +
∂
ξ ξ
∂
y x
u
2
∂
∂
∂ =
y x
u y x
u y x
u x
y y x
u y x
2
2 2
2
2
∂
∂
η
∂ η
∂
∂ +
∂
∂
ξ
∂ ξ
∂ +
∂
η
∂
∂
η
∂ η
∂
∂ +
∂
η
∂
∂
ξ +
∂
η
∂
∂
ξ η
∂
∂
∂ +
∂
ξ
∂
ξ ξ
∂
2 2
y
u
∂
∂
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
y
u y
u y
u y y
u 2 y
u
∂
η
∂ η
∂
∂ +
∂
ξ
∂ ξ
∂ +
∂
η
∂ η
∂
∂ +
∂
η
∂
∂
ξ η
∂
∂
∂ +
∂
ξ ξ
∂ Thay vào phương trình (7.1.1) nhận được
a1(ξ, η) 2u2
ξ
∂ + 2b1(ξ, η)
η
∂
∂
∂2u
+ c1(ξ, η) 2u2
η
∂
∂ = F1(ξ, η, u,
ξ
∂u , η
∂
∂u ) Trong đó
a1(ξ, η) = a(x, y)
2
x
∂
ξ + 2b(x, y)
y
x ∂
ξ
∂
ξ + c(x, y) 2
y
∂ ξ
w
w
.d oc u -tra c k.
.d oc u -tra c k.
co m
Trang 5Chương 7 Phương Trình Truyền Sóng
b1(ξ, η) = a(x, y)
y
x ∂
ξ
∂
ξ
∂
η
∂
∂
ξ +
∂
η
∂
∂
ξ
x y y
η
∂
∂
η
∂
c1(ξ, η) = a(x, y)
2
x
∂
η
∂
+ 2b(x, y)
y
η
∂
∂
η
∂
+ c(x, y)
2
y
∂
η
∂
Suy ra
∆1(ξ, η) = 2
1
b - a1c1 = ∆(x, y)J2(x, y) Tức là chúng ta có định lý sau đây
Định lý Phép đổi biến không suy biến không làm thay đổi dạng của phương trình đạo
hàm riêng tuyến tính cấp 2
• Nếu ξ và η là các nghiệm riêng độc lập của phương trình
a(x, y)
2
x
∂
ϕ
∂
+ 2b(x, y)
y
ϕ
∂
∂
ϕ
∂
+ c(x, y)
2
y
∂
ϕ
∂
thì a1(x, y) = b1(x, y) = c1(x, y) = 0 Khi đó phương trình (7.1.1) có dạng chính tắc
η
∂
∂
∂2u
= F1(ξ, η, u, ∂uξ,
η
∂∂u)
Giả sử ϕ(x, y) là một nghiệm riêng không tầm thường của phương trình (7.1.3) Chúng
ta có (ϕx , ϕy) ≠ (0, 0) không giảm tổng quát có thể xem ϕy ≠ 0 Khi đó phương trình
ϕ(x, y) = C xác định hàm ẩn y = y(x) có đạo hàm y’(x) = - ϕx / ϕy
Thay vào phương trình (7.1.3) nhận được phương trình vi phân
a(x, y)y’2 - 2b(x, y)y’ + c(x, y) = 0 với a(x, y) ≠ 0 (7.1.4)
gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (7.1.1)
1 Nếu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) > 0 thì phương trình (7.1.4) có nghiệm thực
) y , x ( a
) y , x ( ) y , x ( b
+ C
Đổi biến
ξ + η = y - ∫ ư ∆ dx
) y , x ( a
) y , x ( ) y , x ( b
và ξ - η = y - ∫ + ∆ dx
) y , x ( a
) y , x ( ) y , x ( b
Đưa về dạng chính tắc của phương trình hyperbole
2
2u ξ
∂ -
2
2u η
∂
∂ = F
2(ξ, η, u,
ξ
∂u, η
∂
2 Nếu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) = 0 thì phương trình (7.1.4) có nghiệm kép
w
w
.d oc u -tra c k.
.d oc u -tra c k.
co m