luận văn một số nội dung của lý thuyết xác suất trong chương trình toán thpt

Tập hợp tất cả các kết quả có thể trong phép thử ngẫu nhiên là không gian các biến cố sơ cấp ứng với mỗi phép thử ngẫu nhiên đó.. Với mỗi biến cố ngẫu nhiên A, số p gọi là xác suất của b

mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Thời đại ngày nay là thời đại công nghệ thông tin hiện đại cùng với sự phát triển như vũ bo của các ngành khoa học kỹ thuật vì vậy sự nghiệp giáo dục cần phải đáp ứng những đòi hỏi của cách mạng khoa học công nghệ

Đóng góp cho sự phát triển đó có một phần không nhỏ của toán học

Toán học nảy sinh từ thực tiễn và ứng dụng rộng ri trong thực tiễn nhất

là toán ứng dụng, trong các loại toán ứng dụng phải kể đến xác suất thống

kê Nó được bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đại người pháp là Pa-xcan(1623-1662) và Phec-ma(1601-1665) xung quanh cách giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà nhà quý tộc pháp Đờmê-rê đặt ra cho Pa-xcan Năm 1812 nhà toán học pháp La-plaxơ đ dự báo rằng: “Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người” Đặc biệt là vào năm 1933 Kolmogrov đ đưa ra một hệ tiên đề

để xây dựng xác suất thống kê thành một khoa học chính xác và trừu tượng

Kể từ đó xác suất thống kê trở thành ngành toán học đa diện gồm cả chiều sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng Ngày nay lí thuyết xác suất đ trở thành ngành toán học được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học x hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, Không những thế nó còn đóng góp cho sự hình thành và phát triển thế giới quan khoa học vì vậy xác suất thống kê đ được đưa vào dạy cho học sinh THPT ở lớp 10, lớp 11

Việc hiểu và vận dụng những kiến thức được trang bị trong trường Đại học vào công tác giảng dạy sau khi ra trường là một trong những yêu cầu và

là nhiệm vụ của người sinh viên khi đang ngồi trên ghế trường đại học Ngoài việc được học những kiến thức do giảng viên cung cấp, bản thân mỗi sinh viên cần phải tự tìm hiểu, tự nghiên cứu để thấy được mối liên hệ giữa kiến thức ở bậc học đại học và những kiến thức được giảng dạy sau này ở trường phổ thông Từ các tính chất, định lý được học trong trường phổ thông tổng quát lên còn đúng hay không? hay các tính chất, định lý được học ở trường đại học đặc biệt hoá sẽ cho ta cái gì? Việc liên hệ giữa kiến thức ở

dạy sau này là việc làm cần thiết của mỗi sinh viên Do đó tôi quyết định

chọn đề tài “Một số nội dung của lí thuyết xác suất trong chương trình Toán THPT"

2 Mục đích nghiên cứu

- Mục tiêu khoa học công nghệ:

+ Hệ thống hoá một số nội dung của lý thuyết xác suất thống kê ở trường đại học

+ Xây dựng, chọn lọc và tìm mối liên hệ giữa nội dung xác suất thống

kê trong trường đại học với trường THPT

- Sản phẩm khoa học công nghệ: Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên toán trường THPT và sinh viên toán trường Đại học Hùng Vương

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu một số nội dung lí thuyết của xác suất thống kê và sự thể hiện của nó trong chương trình toán THPT

- Nghiên cứu một số bài tập cơ bản và nâng cao

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận:

Đọc các tài liệu, giáo trình, sách giáo khoa, sách tham khảo về xác suất thống kê

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia:

Tìm hiểu kinh nghiệm giảng dạy của giáo viên hướng dẫn và các giảng viên bộ môn toán khoa Toán - Công nghệ

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

5 ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo viên toán THPT nhất

là với sinh viên sư phạm toán thấy được mối liên hệ giữa kiến thức ở chương trình Đại học với kiến thức ở trường Phổ thông phục vụ cho công tác giảng dạy sau này Với bản thân việc nghiên cứu giúp em bổ sung hoàn thiện những kiến thức đ học về xác suất thống kê đ học đồng thời nâng

cao khả năng kiến thức nghiệp vụ sư phạm trong quá trình học tập

6 Bố cục của khoá luận

Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài

gồm có 3 chương:

Chương I: Biến cố và xác suất của biến cố

1.1 Biến cố 1.1.1 Một số khái niệm mở đầu 1.1.2 Các phép toán về biến cố 1.2 Xác suất của biến cố

1.2.1 Nhắc lại một số kiến thức về tổ hợp 1.2.2 Các định nghĩa về xác suất 1.2.3 Tính chất của xác suất 1.2.4 Xác suất có điều kiện 1.2.5 Liên hệ giữa xác suất và sự độc lập của các biến cố 1.2.6 Các quy tắc tính xác suất Chương II: Biến ngẫu nhiên

2.1 Biến ngẫu nhiên 2.1.1 Khái niệm về biến ngẫu nhiên 2.1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên 2.2 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 2.2.1 Kỳ vọng 2.2.2 Phương sai 2.2.3 Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai 2.2.4 Một số số đặc trưng khác 2.3 Các bất đẳng thức moment 2.3.1 Định nghĩa moment 2.3.2 Các bất đẳng thức moment Chương III: Bài tập 3.1 Xác suất cơ bản

3.2.Các qui tắc tính xác suất

3.3 Đánh giá xác suất, số lần

3.4 Xác suất điều kiện

3.5 Xác suất mở rộng

3.6 Bất đẳng thức xác suất

3.7 Biến ngẫu nhiên rời rạc

Chương I biến cố và xác suất của biến cố 1.1 biến cố

1.1.1 Một số khái niệm mở đầu

1.1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên

Phép thử ngẫu nhiên được hiểu là thực hiện một nhóm điều kiện nào đó

để quan sát một hiện tượng nào đó có thể xảy ra hay không xảy ra Các kết quả của phép thử được gọi là các kết quả có thể Tập hợp tất cả các kết quả

có thể trong phép thử ngẫu nhiên là không gian các biến cố sơ cấp ứng với mỗi phép thử ngẫu nhiên đó Mỗi kết quả có thể gọi là một biến cố sơ cấp

Nhận xét: ở trường THPT, không gian các biến cố sơ cấp chính là không

gian mẫu, kí hiệu là: Ω

1.1.1.2 Biến cố

a, Biến cố ngẫu nhiên: Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi phép thử ngẫu nhiên được thực hiện Kí hiệu: A, B, C

b, Biến cố chắc chắn: Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định xảy ra khi phép thử được thực hiện Kí hiệu: Ω

c, Biến cố không thể có: Biến cố không thể có là biến cố nhất định không xảy ra khi phép thử được thực hiện Kí hiệu: ỉ

d, Mối quan hệ giữa các biến cố:

- Biến cố thuận lợi: Biến cố A được gọi là thuận lợi (thích hợp) đối với biến

cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra Kí hiệu: A ⊂ B

- Biến cố bằng nhau: Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau nếu biến cố

A là thuận lợi đối với biến cố B và biến cố B là thuận lợi đối với biến cố A:

i 1

A

=

∩

Đặc biệt: Khi n = 2, giao của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi

A và B cùng xảy ra Kí hiệu: AB hoặc A∩B

b, Phép hợp: Hợp của n biến cố A1, A2, , An là một biến cố nó xảy ra khi ít nhất một trong n biến cố A1, A2, , An xảy ra Kí hiệu:

n i

i 1

A

=

∪

Đặc biệt: Khi n=2, hợp của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi A

hoặc B xảy ra Kí hiệu: A ∪B

c, Hiệu của hai biến cố: Hiệu của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi A xảy ra và B không xảy ra Kí hiệu: A \ B

d, Biến cố xung khắc: Hai biến cố A, B đ−ợc gọi là xung khắc nếu A, B

e, Biến cố đối lập: A, B là hai biến cố xung khắc và hợp của hai biến cố A

và B là biến cố chắc chắn thì A đ−ợc gọi là biến cố đối lập của biến cố B

Ký hiệu biến cố đối lập của biến cố A là Ac hoặc A

1.1.2.2 Một số tính chất của phép toán về biến cố

1.2.1.1 Hoán vị: Cho tập hợp X gồm n phần tử Một dy tất cả n phần tử

của X sắp xếp theo một thứ tự nhất định, gọi là một hoán vị của X

Số các hoán vị của X là : Pn = n!

1 2.1.2 Chỉnh hợp lặp : Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi dy có độ dài k

các phần tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự nhất định, gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của X Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là : k

n

F = nk

1.2.1.3 Chỉnh hợp không lặp: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi dy gồm

k phần tử khác nhau của X ( k ≤ n ) sắp xếp theo một thứ tự nhất định gọi

là một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử của X (Ta qui −ớc gọi chỉnh hợp không lặp là chỉnh hợp)

1.2.2 Các định nghĩa về xác suất

1.2.2.1 Định nghĩa 1: Xác suất là một con số không âm biểu thị khả năng

xuất hiện khách quan của biến cố đó Kí hiệu: P(A)

1.2.2.2 Định nghĩa 2 (theo quan điểm thống kê): Giả sử A là biến cố liên

quan tới phép thử ngẫu nhiên đang xét Khi đó nếu ta tiến hành n lần phép

thử, biến cố A xuất hiện m lần thì người ta gọi tỉ số m

n là tần suất xuất hiện biến cố A Với mỗi biến cố ngẫu nhiên A, số p gọi là xác suất của biến cố A khi và chỉ khi các tần suất xuất hiện biến cố A sai khác p không

đáng kể, nó càng gần p khi số lần thử nghiệm càng lớn

1.2.2.3 Định nghĩa 3 (theo quan điểm hình học): Giả sử một điểm rơi ngẫu

nhiên vào một miền D, A là miền con của D Khi đó xác suất để điểm rơi vào miền A là:

“ Số đo” được hiểu: D là đoạn thẳng thì số đo là độ dài

D là hình phẳng thì số đo là diện tích

D là hình không gian thì số đo là thể tích

1.2.2.4 Định nghĩa 4 (theo quan điểm cổ điển): Nếu A là biến cố có n(A)

biến cố sơ cấp thích hợp với nó trong một không gian biến cố sơ cấp gồm

n(Ω) biến cố cùng khả năng xuất hiện thì tỉ số P(A) = n(A)

- Định nghĩa cổ điển về xác suất có ưu điểm cho phép ta tìm được một cách chính xác giá trị của xác suất

- Định nghĩa cổ điển về xác suất có hạn chế chỉ áp dụng được khi số kết cục trong phép thử là hữu hạn

- Định nghĩa hình học về xác suất có thể xem sự mở rộng tương ứng của

định nghĩa cổ điển về xác suất, khắc phục hạn chế định nghĩa cổ điển về xác suất

- Định nghĩa thống kê về xác suất có ưu điểm lớn nó không đòi hỏi những

điều kiện áp dụng như đối với định nghĩa cổ điển, nó hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để làm cơ sở kết luận về xác suất xảy ra của một biến

cố

- Định nghĩa thống kê về xác suất có hạn chế chỉ áp dụng được đối với các hiện tượng ngẫu nhiên mà tần suất của nó có tính ổn định và ta phải tiến hành trên thực tế một số đủ lớn các phép thử Song trong thực tế nhiều bài toán rất khó hoặc không thể tiến hành nhiều phép thử để dựa vào đó mà tính xác suất của một biến cố

Để khắc phục hạn chế của các định nghĩa về xác suất người ta sử dụng

định nghĩa xác suất theo tiên đề của Kolmogorov

1.2.2.5 Định nghĩa 5: Định nghĩa theo hệ tiên đề của Kolmogorov

b, Mô hình rời rạc của lý thuyết xác suất

Giả sử Ω = (ω1, ω2, , ωn) là tập hợp bất kỳ có không quá đếm đ−ợc các phần tử, lấy A A là tập gồm mọi tập con của Ω

Lấy một dy số không âm p1, p2, , pn thoả mn: p1 + p2 + + pn = 1

Khi đó (Ω, AAA , P) thoả mn các tiên đề của hệ tiên đề Kolmogorov

Không xác suất đó đ−ợc gọi là mô hình rời rạc của lý thuyết xác suất

c, Mối liên quan giữa định nghĩa cổ điển của xác suất và định nghĩa tiên đề của xác suất

Đặc biệt, giả sử Ω = (ω1, ω2, , ωn) là tập hữu hạn

Lấy A A là tập gồm mọi tập con của Ω, A∈ A đ−ợc gọi là biến cố

1.2.3 Tính chất của xác suất

=

∑ ) =

n

iP(A )

=

∑

Đặc biệt Khi n = 2: A, B là hai biến cố xung khắc thì:

i 1

A

=

∩ )

ii, Nếu A⊂B thì P(A) ≤ P(B)

iii, 0 ≤ P(A) ≤ 1, ∀A ∈ A ; P(Ω) = 1, P(ỉ) = 0, và P(Α) = 1 - P(A)

Trong tính chất i, với n = 2 ta có :

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB) (*)

Ta có thể chứng minh trực tiếp tính chất (*)

Thật vậy với A,B ∈ A ⇒ A∪B∈ A ⇒A∪B = A∪BΑ

Suy ra: P(A∪B) = P(A) + P(BΑ)

Mà: B = B ∩Ω = B ∩( A∪ Α) = BA ∪BΑ

Suy ra: P(B) = P(BA) + P(BΑ) ⇒ P(BΑ) = P(B) - P(AB)

⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Đặc biệt Khi A, B xung khắc, tức AB = ỉ ⇒P(AB) = 0

Suy ra: P(A∪B) = P(A) + P(B)

1.2.3.3 Mệnh đề 3

Trong không gian xác suất (Ω, AAA , P) cho họ biến cố ngẫu nhiên {A ;n 1n ≥ }

thoả mn điều kiện:

1.2.4 Xác suất có điều kiện

1.2.4.1 Định nghĩa

- Xét không gian xác suất (Ω, AAA , P) Giả sử B là biến cố ngẫu nhiên có

P(B)> 0, A∈ A A Đại l−ợng: P(A/B) = P(A B)

điều kiện P(A/B) có thể xem nh− xác suất của A xét trong không gian B

Đặc biệt + A⊂B ⇒ P(A/B) = P(A B)

P(B)

∩

= P(A)P(B) + B⊂A ⇒ P(A/B) = P(A B)

P(B)

∩

= P(B)P(B) = 1

Mệnh đề 1 ( Công thức nhân xác suất )

Giả sử {A1, A2, , An}là họ các biến cố ngẫu nhiên sao cho:

P(A1A2 An) > 0, khi đó:

P(A1A2 An) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1A2) P(An/ A1A2 An-1)

Mệnh đề 3 ( Công thức Bayes )

Nếu A là biến cố có xác suất dương, { Bi, i = 1, n} là hệ đầy đủ các biến

cố có xác suất dương thì với mỗi j (j =1, n), ta có:

1.2.5 Liên hệ giữa xác suất và sự độc lập của các biến cố

1.2.5.1 Định nghĩa: Xét không gian xác suất (Ω, AAA , P) Giả sử B B là lớp nào đó các biến cố ngẫu nhiên (B B ⊂ A) Ta nói lớp B B độc lập nếu xác suất của một giao hữu hạn bất kỳ các biến cố trong B B bằng tích các xác suất của các biến cố đó

1.2.5.2 Nhận xét

- Các biến cố A1, A2, , An được gọi là độc lập từng đôi nếu:

P(AiAj) = P(Ai)P(Aj) , ∀ i,j = 1, n ; i ≠j

- Để xét tính độc lập của các biến cố nhiều khi người ta không căn cứ vào biểu thức định nghĩa mà căn cứ vào điều kiện thực tế của bài toán

- Trong chương trình THPT sự độc lập của hai biến cố được định nghĩa: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia

Thực chất nội dung chính là A, B là hai biến cố độc lập với nhau nếu:

j1, A’

j 2, , A’

jn } ở đây A’

ji = c

Đặc biệt: Khi n=2 nếu {A, B} độc lập thì {A, B}; {A, B}; {A,B} cũng

Đặc biệt: Khi n=2 A, B là hai biến cố độc lập thì: P(A∩B) = P(A)P(B)

Khi n=3: A, B, C là ba biến cố độc lập thì : P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C)

1.2.6.3 Hệ quả của định lý cộng và nhân xác suất

a, Hệ quả 1: Xác suất của hợp n biến cố không xung khắc đ−ợc xác định bằng công thức:

c, Hệ quả 3: Xác suất của hợp n biến cố không xung khắc và độc lập toàn

phần với nhau bằng một trừ đi tích xác suất của các biến cố đối lập với các biến cố đó: P (

n i

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)

+) A, B là hai biến cố, xác suất của biến cố giao đ−ợc xác định:

P(AB) = P(A) + P(B) - P(A∪B)

+) A, B là hai biến cố độc lập toàn phần với nhau Khi đó:

+) A, B, C là ba biến cố, xác suất của biến cố giao được xác định:

P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A∪B) - P(B∪C) - P(A∪C) + P(A∪B∪C) +) A, B, C là ba biến cố độc lập toàn phần với nhau Khi đó:

ở chương trình Đại học với chương trình ở Phổ thông Từ đó có cách nhìn tổng quan hơn về kiến thức, đồng thời giúp cho người đọc thấy được những kiến thức thiết thực liên quan tới việc nghiên cứu giảng dạy ở THPT sau này, góp phần nâng cao kiến thức nghiệp vụ sư phạm trong qua trình học tập môn xác suất thống kê

chương ii Biến ngẫu nhiên 2.1 biến ngẫu nhiên

2.1.1 Khái niệm về biến ngẫu nhiên

2.1.1.1 Định nghĩa

Giả sử (Ω, AAA , P ) ) là một không gian xác suất ℝ= (-∞; +∞) là đường thẳng số thực với σ -đại số các tập borel BB, ta có không gian đo (ℝ, BBB)

Khi đó: Một ánh xạ X: Ω→ ℝ đo được theo (A,A,A, BBB) được gọi là một biến

ngẫu nhiên ( Hay đại lượng ngẫu nhiên) trên (Ω, AAA , P) ở đây ta hiểu X

đo được theo (A,A,A, BBB) nếu ∀B ∈ B thì X-1(B) ∈ A A

2.1.1.2 Mệnh đề

Giả sử X,Y là các biến ngẫu nhiên xác định trên Ω lấy giá trị trong ℝ; a,b∈ ℝ Khi đó :

aX+bY là biến ngẫu nhiên

XY là biến ngẫu nhiên

Đặc biệt ở trường THPT khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc được định

nghĩa: Đại lượng X được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên không dự đoán trước được

2.1.2 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Ta có thể nghĩ rằng chỉ cần xác định các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên là đủ để xác định biến ngẫu nhiên ấy Tuy nhiên điều này chưa

đủ, trong thực tế có những đại lượng rất khác nhau mà các giá trị có thể có của chúng lại giống nhau Hơn nữa việc các biến ngẫu nhiên nhận một giá trị nào đó trong kết quả của phép thử chỉ là một biến cố ngẫu nhiên, do đó nếu mới chỉ biết được các giá trị có thể có của nó thì ta mới nắm được rất

ít thông tin về biến ngẫu nhiên ấy Vì vậy ta còn phải xác định các xác suất tương ứng với các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên để hoàn toàn xác

định nó Từ đó ta có định nghĩa sau đây:

Tính chất 2: Hàm phân phối xác suất là hàm không giảm tức là với x1 > x2thì: F(x1) ≥ F(x2)

Hệ quả 1: Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong nửa khoảng [a;b) bằng hiệu số của hàm phân phối tại hai đầu khoảng đó:

P(a≤X<b) = F(b) - F(a)

Hệ quả 2: Đối với biến ngẫu nhiên liên tục ta có đẳng thức sau:

P(a≤X≤b) = P(a≤X<b) = P(a<X≤b) = P(a<X<b) =

§Æc biÖt trong tr−êng hîp X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c víi h÷u h¹n gi¸ trÞ

{x , x , ., x1 2 n} ta cã b¶ng ph©n phèi x¸c suÊt thÓ hiÖn trong s¸ch gi¸o khoa THPT:

- Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục tuyệt đối với hàm mật độ fX(x), nếu: x f (x)dxX

- Đặc biệt khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị hữu hạn ta có định

nghĩa ở THPT: Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1, x2, , xn}kỳ vọng của X, kí hiệu là E(X), là một số đ−ợc tính theo công thức:

2.2.1.2 Các tính chất của kỳ vọng toán

Tính chất 1: Kỳ vọng toán của một hằng số bằng chính hằng số đó:

E(C) = C

Tính chất 2: Kỳ vọng toán của của tích giữa một hằng số và một biến ngẫu nhiên bằng tích giữa hằng số đó và kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên ấy: E(CX) = CE(X)

Tính chất 3: Kỳ vọng toán của tổng hai biến ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng toán thành phần:

E(X+Y) = E(X) + E(Y)

Mở rộng: Kỳ vọng toán của tổng n biến X1, X2 , , Xn bằng tổng kỳ vọng toán thành phần: E(

n i

2.2.2 Phương sai

2.2.2.1 Định nghĩa

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có kỳ vọng EX, nếu tồn tại E(X-EX)2 thì ta nói

đó là phương sai của X, kí hiệu là V(X): V(X) = E(X-E(X))2

- Khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x , ii ∈ℕ}, P(X = xi) = pi

Đặc biệt khi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị { x , x , ., x1 2 n},

và p = P(X=x ), i = 1, 2, ,n i i thì khái niệm này ở phổ thông được định nghĩa:

2.2.2.2 Các tính chất của phương sai

Tính chất 1: Phương sai của biến ngẫu nhiên X bằng hiệu của kỳ vọng biến ngẫu nhiên bình phương và bình phương kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Tính chất 3: Phương sai của tích giữa một hằng số và một biến ngẫu nhiên bằng tích giữa bình phương hằng số đó và phương sai của biến ngẫu nhiên ấy: V(CX) = C2V(X)

Tính chất 4: Phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập tổng các phương sai thành phần: V(X+Y) = V(X) + V(Y)

Hệ quả 1: Phương sai của tổng n biến ngẫu nhiên độc lập với nhau X1, X2 , , Xn bằng tổng các phương sai thành phần: V(

n i

2.2.3 Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng và phương sai

2.2.3.1 Bản chất và ý nghĩa của kỳ vọng

Giả sử đối với biến ngẫu nhiên X tiến hành n phép thử trong đó có n1 lần nhận giá trị x1 , n2 lần nhận giá trị x2 , , nk lần nhận giá trị xk (

n i

i 1

n

=

∑ = n) Giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X trong n phép thử này là:

Do đó kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên gần bằng giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

- Đặc biệt trong chương trình THPT phát biểu: E(X) là một số cho ta một ý

niệm về độ lớn trung bình của X Vì thế kỳ vọng E(X) còn được gọi là giá trị trung bình của X Tuy nhiên trung bình ở đây nói chung không được hiểu

là trung bình số học, chẳng hạn cho X là đại lượng ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất là:

2.2.3.2 Bản chất và ý nghĩa của phương sai

Trong thực tế nhiều khi chỉ xác định kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên thì chưa đủ để xác định biến ngẫu nhiên đó Ta còn phải xác định mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó nữa Ta có thể nghĩ rằng để đặc trưng cho mức độ phân tán thì đơn giản nhất

là tìm tất cả các sai lệch của các giá trị của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó và lấy trung bình số học của các sai lệch đó, song cách làm này không mang lại kết quả vì E(X-EX) = 0 Để khắc phục điều đó người ta không tính trực tiếp trung bình của các sai lệch mà tính trung bình của bình phương các sai lệch Đó chính là phương sai

Từ định nghĩa của phương sai, ta thấy phương sai chính là trung bình số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên với giá trị trung bình của nó là kỳ vọng toán

Đặc biệt do V(X) = E(X-EX)2, mà (X-EX)2 là một biến ngẫu nhiên không

âm nên V(X)≥0 nên trong chương trình THPT phát biểu: Phương sai là một số không âm Nó cho ta một ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình Phương sai càng lớn thì độ phân tán

4

34

2.2.4.2 Trung vị

Trung vị là giá trị nằm ở chính giữa tập hợp các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên Nói cách khác đó là giá trị chia phân phối của biến ngẫu nhiên thành hai phần bằng nhau Kí hiệu là md

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì giá trị Xi sẽ là trung vị md nếu thoả mn điều kiện: F(Xi) ≤0,5 < F(Xi+1)

2.2.4.3 Mode

Giả sử X là biến ngẫu nhiên với hàm mật độ fX(x), ta gọi điểm cực đại của

fX(x) là mode của X, kí hiệu mod(X)

2.2.4.5 Hệ số bất đối xứng

Nếu X là biến ngẫu nhiên có moment bậc 3 hữu hạn thì tỉ số

( ) ( )

3 3

3

E X EXX

ưà

σ σ  được gọi là hệ số bất đối xứng của X

γ1 < 0 thì phân phối là bất đối xứng và đồ thị sẽ xuôi về bên trái nhiều hơn

γ1 > 0 thì phân phối là bất đối xứng và đồ thị sẽ xuôi về bên phải nhiều hơn

- Nếu γ2 > 0 thì có nghĩa phân bố đó có đỉnh “nhọn” hơn đường cong chuẩn

- Nếu γ2 < 0 thì có nghĩa phân bố đó có đỉnh “phẳng” hơn đường cong chuẩn

2.3 Các bất đẳng thức moment

2.3.1 Định nghĩa moment

Giả sử (Ω, AAA , P) là không gian xác suất, X là biến ngẫu nhiên xác định

trên Ω lấy giá trị trong ℝ, với p ∈ℕ, trong điều kiện tồn tại ta gọi E(Xp)

Chứng minh

Đặt A = {ω: X( )ω ≥ ε}, ta có

Eg(X) ≥ Eg(X)1A≥g(ε)E1A = g(ε)P(A)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Đặc biệt: Trong chương trình THPT đưa ra ý nghĩa phương sai cho ta một ý

niệm về mức độ phân tán của giá trị X xung quanh giá trị trung bình Phương sai càng lớn thì độ phân tán càng lớn Vì:

Người ta thường gọi (1) là bất đẳng thức Chebyshev, còn (2) được gọi

là bất đẳng thức Markov Đó là những bất đẳng thức quan trọng của lý thuyết xác suất Mặc dù chứng minh chúng hoàn toàn đơn giản, nhưng nó

có ý nghĩa toán học sâu sắc Chẳng hạn (1) cho ta thấy: Nếu biết phương sai của X thì ta sẽ biết với xác suất bằng bao nhiêu để X rơi vào lân cận ε

của giá trị trung bình, tức là cho ta biết mức độ tập trung (phân tán) của X quanh EX Cụ thể như nếu V(X) = 5.10-4 và ε = 10-1 thì

Chứng minh Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức số học:

a +br ≤Cr ar +Cr br (*) Với mọi a, b, r >0 Xét hàm f(t) = tr +(1-t)r trên [0,1]

Với r >1 hàm f(t) có cực tiểu tại t = 1

E X

, x2 =

p p

X

q

p p