luận văn một số ứng dụng của phương pháp tọa độ trong việc giải toán ở trường thpt

Đặc trưng của môn học này là dùng phương pháp tọa ñộ ñể giải các bài toán hình học.. Phương pháp này không chỉ dùng ñể giải các bài toán hình trong mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều

Một số ứng dụng của phương pháp toạ độ trong việc giảI toán ở trường thpt

MỤC LỤC

Lời núi ủầu……… .3

Mục lục……… 4

Chương I: Các kiến thức chuẩn bị 6

Chương II: Một số lớp bài toán giải bằng phương phỏp toạ ủộ 2.1 Các bài toán tính toán 15

2.2 Các bài toán giải phương trình, hệ phương trình 18

2.3 Các bài toán giải bất phương trình, hệ bất phương trình 20

2.4 Các bài toán chứng minh bất đẳng thức 22

2.5 Các bài toán tìm cực trị 23

2.6 Các bài toán tìm quỹ tích 26

2.7 Các bài toán dựng hình 28

Chương III: Một số bài toỏn vận dụng 30

Kết luận 51

Tài liệu tham khảo……….52

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn ñề tài

Hình học giải tích là môn học cơ bản của chương trình toán phổ thông cũng như ở ñại học, nó là cơ sở ñể học tốt các môn toán khác Chính

vì vậy, việc hiểu và nắm vững môn học này là rất cần thiết

Hình học giải tích ñược sáng lập ra ñồng thời do hai nhà bác học người Pháp là Descartes(1596- 16500 và Ferma(1601-1655) Đặc trưng của môn học này là dùng phương pháp tọa ñộ ñể giải các bài toán hình học Phổ biến ở nước ta từ những năm 90 của thế kỉ XX, phương pháp tọa ñộ ñã chứng tỏ ưu ñiểm của mình Phương pháp này không chỉ dùng ñể giải các bài toán hình trong mặt phẳng hay trong không gian 3 chiều mà còn giải ñược các bài toán trong không gian n chiều với hình dạng phức tạp mà việc

vẽ hình ñể giải toán là ñiều không thể Gần ñây, trong nhiều kì thi tuyển sinh ñại học, thi học sinh giỏi hay trên các tạp chí toán học có nhiều bài toán không liên quan tới hình học nhưng ñược giải bằng phương pháp tọa

ñộ Đó là các bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Hoặc ñó là các bài toán chứng minh bất ñẳng thức hay tìm cực trị Điều ñó

ñã gợi cho chúng tôi ñề xuất ñề tài: “Một số ứng dụng của phương pháp tọa

ñộ trong việc giải toán ở trường THPT”

Qua việc nghiên cứu nội dung này, chúng tôi ñã có ñiều kiện củng cố lại kiến thức ñã học, bổ sung thêm nhiều ñiều bổ ích

Chương 1: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ

1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Khái niệm hệ trục tọa ñộ trong mặt phẳng

Hệ tọa ñộ afin (O;
i,
j) có cơ sở ( i j

, ) gồm hai

vectơ ñơn vị vuông góc với nhau ñược gọi là hệ

tọa ñộ trực chuẩn ( hay còn gọi là hệ tọa ñộ

Descartes vuông gãc) KÝ hiÖu: Oxy (hình 1.1)

1.2 Tọa ñộ vectơ- Tọa ñộ ñiểm

Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i
, j
), nếu vectơ a
ñược Hình 1.1

viết dưới dạng: a
= xi y j
+ 
thì cặp số (x, y) ñược gọi là tọa ñộ của vectơ a

B A

B A y

§iÓm M là trọng tâm cña ∆ABC ⇔ 3

Phương trình ñường thẳng: Ax + By+ C =0 (1), A2 + B2 ≠ 0

§ường thẳng cho bởi (1) có vect¬ ph¸p tuyÕn n
= ( A, B); vect¬ chØ

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đường thẳng (d1) có phương trình:

Ax + By +C = 0 và một điểm M(x y ) Khoảng cách từ M đến đường 0, 0

Góc giữa hai đường thẳng

Trong hệ toạ độ trực chuẩn cho đường thẳng (a) có

phương trình: Ax + By +C = 0 và (a’) có

phương trình: A’x + B’y +C’ = 0 Khi đó:

góc α giữa hai đường thẳng (a) và (a’) được

Đường tròn có tâm I( a, b); bán kính R > 0 có phương trình là:

(x- a) 2+ (y- b)2= R2

1.5 Khỏi niệm hệ trục tọa ủộ trong khụng gian

Cho 3 trục tọa độ Ox, Oy, Oz ủụi một vuụng gúc

với nhau và chung một điểm gốc O Gọi i
, 
j , k

là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox,

Oy, Oz Hệ 3 trục như vậy gọi là hệ tọa độ

Descartes vuông góc Oxyz, hay (O; , ,

i j k
)

1.6 Tọa ủộ vectơ - Tọa ủộ ủiểm Hỡnh 1 3

+ Đối với hệ trục tọa ñộ (O; i
,
j k,
),nếu vectơ

D

A

B C

C D

A'

B'

C' D'

d' u

u'

Nếu (P) cắt (P’) theo đường thẳng (∆) thì mọi mặt phẳng qua (∆) có phương

trình: λ (Ax+ By+ Cz+D) +à(A’x+ B’y+ C’z+ D’)=0, (λ à2+ 2 ≠0)

 Phương trình của đường thẳng:

Cho 2 mặt phẳng (P): Ax+ By+ Cz+ D=0, (P’): A’x+ B’y+ C’z+ D’= 0,

(P) ∩(P’)= (∆) Khi đó phương trình tổng quát của (∆) là:

Khi đó: u
=n n

1, 2 là vectơ chỉ phương của (∆)

Đường thẳng (∆) qua điểm M(x y z0, 0, 0) có vectơ chỉ phương ( , , )u a b c

có: + Phương trình tham số là:

0 0 0

 Vị trí tương đối của các đường thẳng

Cho đường thẳng (d) qua M0(x y z0, 0, 0) có vectơ chỉ phương ( , , )u a b c
,

đường thẳng (d’) qua M(x' , ' , '0 y 0 z 0) có vectơ chỉ phương ( ', ', ')u a b c
Khi

Trong không gian cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0 (x y z0, 0, 0)

Khi đó khoảng cách từ M0 tới (P) được xác định như sau :

Ax( , ( )) By Cz D

Cho điểm M1 và đường thẳng (d) đi qua M0 và có vectơ chỉ phương u
Khi

đó khoảng cách từ M1 tới (d) được xác định như sau:

; ( ,( )) M M u

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Trong không gian cho 2 đường thẳng chéo nhau có phương trình tham số:

(d1):

0

0 0

' '' '' '

Khi đó: Góc α giữa (P) và (P’) đ−ợc tính theo công thức:

Khi đó: góc ϕ giữa (d) và (P) đ−ợc tính theo công thức:

Đặc biệt: (d) (P) hoặc (d) ⊂(P) khi và chỉ khi: Aa+ Bb+ Cc = 0

+ Biểu diễn các điểm đ9 cho qua hệ tọa độ vừa chọn Tìm phương trình các

đường, mặt đ9 cho

+ Sử dụng các kiến thức hình học giải tích, phương trình đường, mặt, các công thức tính khoảng cách, diện tích, góc, thể tích để làm sáng tỏ yêu cầu bài toán

Bài 1 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có 3 kích thước là a, b, c

Hmy tính khoảng cách giữa hai đường chộo nhau BD và CD’ theo các kích thước a, b, c

Bài 2 Cho tam giác ABC vuông cân tại C Trên các cạnh BC, CA, AB lần

l−ợt lấy các điểm M, N, P sao cho: MB NC PA

MC= NA = PB Chứng minh rằng: a) CP⊥ MN

b) CP= MN

Giải:

Chọn hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy sao cho: O≡C, tia Ox≡CA, tia

Oy≡CB (hỡnh 2.2) Ta có toạ độ các điểm: C(0, 0); A(1, 0); B(0, 1)

11

k k

k k

N

k k P

k k

−+

S(0, 0, a)

C

Bài 3 Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều có cạnh là 2a, cạnh SC

vuông góc với mặt phẳng(ABC) và có SC= a Gọi d1 là đường thẳng đi qua

đỉnh S và trung điểm E của cạnh BC, d2 là đường thẳng đi qua C và trung

điểm D của cạnh AB Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và

a

a

=+

Bài 5 Tìm m để hệ phương trình sau có 1 nghiệm duy nhất:

Phương trình (1) là phương trình đường tròn(C), tâm I1(1

2, 3); bán kính

R1= 5

2 Phương trình (2) là phương trình đường tròn (C’), tâm I2(m, 0); bán kính R2 = 2

1 m+

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (C) tiếp xúc (C’)

+ Trường hợp 1: (C) và (C’) tiếp xúc ngoài nhau: Thế thì: I1I2 = R1+ R2 Nhưng: I1I2 =

2 2

132

1

32

Vậy có hai giá trị m = 2, m = -11

2 để hai đường tròn đm cho tiếp xúc ngoài nhau

+ Trường hợp 2: (C) và (C’) tiếp xúc trong: Tức là: I1I2 = R1ưR2 hay:

2 21

32

⇒ (I) là nửa phía trên trục Ox của đường tròn tâm O(0, 0) bán kính R= 2 có phương trình: 2 2

4

x + =y Xét: y= mx+ ư2 m (2) là đường thẳng (∆) có hệ số góc k= m và với mọi giá trị của m đường thẳng (∆) luôn đi qua điểm A(1, 2)

Vậy phương trình đm cho có nghiệm khi đường thẳng (∆): y=mx+ ư2 m cắt nửa đường tròn tâm O(0, 0), bán kính R= 2 với y > 0

Xét (d) là tiếp tuyến đi qua A(1, 2), khi đó khoảng cách từ O đến (d) bằng 2

2

42

32

m m

2.3 Cỏc bài toỏn giải bất phương trỡnh, hệ bất phương trỡnh

Sử dụng bất đẳng thức vectơ: u v

≤ u v

; u v

≤ u v

; u v
ư ≥ ư
u
v
;

w

u v w
+ + ≤ + +

u
v

;

Sử dụng sự tương giao của các đường trong mặt phẳng

Bài 7 Giải bất phương trình: x+ +1 2xư +3 50 3ư x ≤12

x O

B D2

2 C

x= m

I -2

Toạ độ của B, C là nghiệm của hệ:

Chiếu 2 cung AB và CD lên Om ta đ−ợc: Im = − 2, 2

Vậy: a) Hệ có nghiệm khi m∈ − 2, 2

b) Hệ có đúng một nghiệm khi: − 2< < ∪m 0 2≤ <m 2

c) Hệ có 2 nghiệm phân biệt khi: 0< <m 2

2.4 Cỏc bài toỏn chứng minh bất ủẳng thức

+ Sử dụng các công thức: u v

≤ u v

; u v
+ ≤ +
u
v
; u v
− ≥ −
u
v

+ Chọn hệ tọa độ thích hợp biểu diễn các điểm qua hệ tọa độ, sử

dụng các kiến thức hình học để giải bài toán

Bài 9 Cho ba số thực a, b, c bất kì, chứng minh rằng:

(b+ + −1) (c a) + (b− + −1) (c a) ≥2 Giải:

Trong mặt phẳng Oxy chọn các vectơ có toạ độ:

hai, sử dụng bất đẳng thức hoặc sử dụng đạo hàm

Bài 11 Cho các số thực x, y, z thoả mmn: x+ 2y+ z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất

(x− + − + −1) (y 1) (z 1) + (x−2) + −(y 2) + −(z 2)

Giải:

B

M I

A' P

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz lấy điểm A(1, 1, 1); B(2, 2, 2)

Bài toỏn quy về tỡm ủiểm M(x, y, z) nằm trong mp: x+ 2y+ z = 0 ủể:

AM+ BM ủạt giỏ trị nhỏ nhất với A(1, 1, 1); B(2, 2, 2)

Ta xột vị trớ tương ủối của A, B với mp (P): x+ 2y+ z = 0

Ta cú: (1+ 2.1+1).(2+ 2.2+ 2) = 32 > 0

Vậy A, B cựng phớa với mp(P)

Gọi A’ là ủiểm ủối xứng của A qua (P) thỡ ủiểm M

cần tỡm là giao ủiểm của A’B và mp(P)

Thật vậy: MA’= MA⇒ MA+ MB = MA’ + MB= A’B

Với mọi ủiểm M’∈( P) ta cú: M’A= M’A’

⇒ M’A + M’B = M’A’+ M’B > A’B= MA + M

⇒ M =M’

(P) cú vectơ pháp tuyến n

(1, 2, 1) Đường thẳng (d) qua A(1, 1, 1) vuụng gúc với (P) có vectơ chỉ phương là n

(1, 2, 1) Vậy phương trình

đường thẳng (d) là:

1

1 21

⇒ §−êng th¼ng A’B ®i qua B(2, 2, 2) nhËn u
(7 ,11, 7) lµm vect¬ chØ

cña M lµ nghiÖm cña hÖ:

Bµi 12 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:

A= a+cosx+ a+sinx víi x∈R a; ≥1

M(x, y)

y

A O

H

Bài 13 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy dài gấp

đôi chiều cao Điểm M trên cạnh AB, tìm giá trị lớn nhất của gócϕ

=A MC' '

Giải:

Giả sử độ dài của cạnh là 2a, độ dài của đường cao là a

Chọn hệ toạ độ Axyz như sau: A(0, 0, 0), các tia AB, AD, AA’ lần lượt

trùng với các tia Ax, Ay, Az

Đặt AM =x0 khi đó: A’(0, 0, a) ; C’(2a, 2a, a); M(x0, 0, 0)

⇔ M là trung điểm của AB

Vậy giá trị lớn nhất của góc ϕ là: ϕ=900

2.6 Cỏc bài toỏn tỡm quỹ tớch

Trục Ox chứa A, B, trục

Oy vuông góc với AB tại A.Ta có: A(0, 0);

B(1, 0) Theo giả thiết MA= 2MB, ta có:

2 2 2 (1 )2 2

x +y = ưx +y ⇒x2+ =y2 4 (1 2 ư + +x x2 y2.

y

x A(a, 0) B(b, 0) H

3,

điểm H thoả mmn: nằm trên đường thẳng AB, cùng phía với 2 điểm A, B

Bài 15 Cho 2 điểm A, B cố định và một đường thẳng ∆ vuông góc với

đường thẳng AB nhưng không đi qua A, B Một điểm M chạy trên ∆ Tìm tập hợp các giao điểm N của các đường thẳng vuông góc với MA, MB tại A

và B

Giải:

Chọn hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy sao cho:

trục Ox là đường thẳng chứa A, B, trục Oy là

Khử m từ (2) thay vào (1) ta có phương trình đường thẳng cần tìm: x= a+ b

⇒Tập hợp các giao điểm N là đường thẳng vuông góc với Ox tại H có

hoành độ OH = a+ b

Vậy: Tập hợp các giao điểm N là đường thẳng song song với ∆, cách ∆một khoảng bằng a+ b

O H

2.7 Cỏc bài toỏn dựng hỡnh

Phương pháp giải:

+ Ta chọn hệ toạ độ thích hợp

+ Dùng các số đại số để xác định vị trí và kích thước của các hình + Dựa vào đó ta dựng hình và biện luận các trường hợp có thể xảy ra

Theo cách dựng ở trên ta có điều phải chứng minh

+ Biện luận: Bài toán luôn có nghiệm hình

Bài 17 Dựng 1 hình chữ nhật có chu vi 2p cho trước nội tiếp trong một vòng tròn có bán kính R cho trước

Giải:

+ Cách dựng:

Chọn hệ toạ độ như sau:

Gốc toạ độ trùng với tâm của đường tròn

Trục hoành, trục tung lần lượt là 2 đường

kính vuông góc của đường tròn

Giả sử hình chữ nhật cần dựng có các cạnh có

độ dài lần lượt là: a, b thoả mmn: a+ b= p (a> b >0)

> >

2 2

2 2

8282

- Lấy điểm A đối xứng với B qua Oy

- Dựng D đối xứng với A qua Ox, C đối xứng với B qua Ox

⇒ ABCD là hình chữ nhật cần dựng

+ Chứng minh: Theo cách dựng ta có điều phải chứng minh

+ Biện luận: Bài toán có nghiệm hình khi p > 8R2 −p2 hay p > 2R

Bài 1 Chứng minh rằng với mọi giá trị của x, y ta đều có:

Bài 2 Cho tứ diện ABCD vuông tại A Gọi M là 1 điểm bất kì trong ∆BCD

và α, β, γ lần lượt là góc giữa AM và các mặt phẳng (ABC), (CAD), (DAB) Chứng minh: sin2α + sin2β + sin2γ = 1

⇒
là vectơ chỉ phương của đường

thẳng AM, e
3(0,0,1)là vectơ pháp tuyến của

mp(ABC) Khi đó: sin

x m

O x+ m- 2 =0

m=1 x- m =0

1

2

2 1

−

− = >k 0

Xét hệ toạ độ vuông góc Oxm, các điểm

M(x, m) thoả mmn (I) đ−ợc biểu diễn bằng miền gạch trong hình vẽ

VËy hÖ (I) cã nghiÖm khi vµ chØ khi m ≥1

+ Tr−êng hîp 2:

00<x m 1 < 1 0

y

A P

Q

(w1)

(w2) B

- Chọn hệ toạ độ vuông góc như sau:

Gốc toạ độ ở A, trục hoành Ax  O’O”, trục tung là cát tuyến chung AB của hai vòng tròn

Gọi toạ độ của tâm O’ là (a, b), toạ độ của tâm O” là (c, b)

Theo đó ta có: Phương trình của vòng tròn ω1 là: 2 2

x + ưy axư by= Phương trình của vòng tròn ω2 là: 2 2

x + ưy cxư by= Quay các trục toạ độ một góc ϕ Ta có:

x + y - 2x’(ccosϕ+ bsinϕ)- 2y’(bcosϕ- csinϕ)= 0

Cắt 2 vòng tròn bởi cát tuyến APQ có phương trình y’= 0 thì ta có:

a

a

A A'

x

y z

Bài 7 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a Chứng minh

rằng: khoảng cách từ 1 điểm bất kì trong không gian đến một trong các

đường thẳng AA’ , B’C’, CD không thể đồng thời nhỏ hơn

2

a

Giải:

Chọn hệ toạ độ Axyz: B∈Ax; D∈Ay; A’∈Az

Khi đó: A(0, 0, 0); B(a, 0, 0); D(0, a, 0); A’(0, 0, a); C(a, a, 0); B’(a, 0, a); C’(a, a, a); D’(0, a, a) Ta có phương trình của các đường thẳng AA’, B’C’,

CD lần lượt là: AA’:

00

x y

x y AA

34

y (d2): y= x + 3(d2): y= x+1

(d1): y= x- 1

3

-3

-3 -1

⇒ (I) có 2 nghiệm, không thoả mmn yêu cầu đề bài⇒ m= -1 (loại)

• (C ) tiếp xúc với (d2) ⇔d(I, d2)= 2 ⇔ + =1 m 2 1

3

m m

Bài 10 Trong mp cho 2 đường thẳng cắt nhau a và b Tìm quỹ tích những

điểm M sao cho tích các khoảng cách từ M tới a và b bằng 1 số không đổi

k2(k2 ≠0)

Giải:

Chọn hệ tọa độ trực chuẩn Oxy sao cho Ox, Oy

là hai đường phân giác của các góc hợp bởi 2

đường thẳng (a) và (b) Khi đó: phương trình

của các đường thẳng (a) và(b) lần lượt là:

++ ; d2= d( M; (b))=

2

1

y cx c

ư+ ; Vậy ta tìm quỹ tích các điểm M sao cho d1d2 = d( M; (a)).d( M; (b))= k2

thỏa mmn:

21

ư+ = k

2 ⇔

2 2 2

2 2

1

y c x

k c

ư

=+ ⇔ y2ưc x2 2 = ±k2(1+c2).

⇒ Quỹ tích các điểm M là hai đường hypebol mà a, b là 2 đường tiệm cận, hypebol thứ nhất có 2 đỉnh là A1( 2

1 ,0

k +c ); A2(- 2

1 ,0

k +c ); hypebol thứ hai có 2 đỉnh là: B1(0, 2

200720062007

y f'(y)

f(y)

0

2 -

Bài 12 Tìm giá trị nhỏ nhất A= 2 2 2 2

(x− + +1) y (x+ + + −1) y y 2 Giải:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ta chọn các vectơ có toạ độ:

2 1+ + − ≥y y 2 2 1+ y ≥2 5> +2 3

Vậy A≥ 2+ 3 ∀x y, ∈R Với x=0, y= 1

3 thì A= 2+ 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2+ 3

y

C D

K

H S

Bài 13 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, các mặt bên tạo với đáy 1 góc

β Điểm K là trung điểm của SB Hmy tính góc ϕ giữa 2 mặt phẳng (AKC)

và (SAB) theo β

Giải:

Ta thấy: Hình chóp S.ABCD có các đỉnh không là tam diện vuông Nếu gọi H= AC∩BD thì tại đỉnh H có 3 trục vuông góc với nhau từng đôi một, nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như sau:

H≡O, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia HA, HB, HS

Giả sử cạnh của hình vuông ABCD là a 2, khi đó các điểm toạ độ tương ứng là: H(0, 0, 0); A(a, 0, 0); B(0, a, 0); C(-a, 0, 0); D(0, -a, 0);

Gọi ϕ là góc giữa 2 mặt phẳng (AKC) và

(SAB) Ta có: cosϕ= cos(n n

1, 2), với: