Thiết kế công trình theo lý thuyết ngẫu nhiên và phân tích độ tin cậy - Chương 4 pps

Nếu hàm mật ñộ xác suất kết hợp fR,SR, S của ñộ bền R với tải trọng S ñã biết thì xác suất xảy ra sự cố có thể ñược tính theo phương pháp tích phân: P{z... Xác suất Z < 0 ñược xác ñịnh t

CHƯƠNG 4 - CỞ SỞ TOÁN HỌC CỦA PHƯƠNG PHÁP NGẪU NHIÊN

4.1 Tính toán cấp ñộ III

4.1.1 Giải pháp cơ bản

Trong nhiều trường hợp, phân tích ngẫu nhiên của một cơ chế phá hỏng chỉ giới hạn bằng việc so sánh 2 ñại lượng: sức bền hay ñộ bền R và tải trọng hay là tác ñộng S Như ñã giới thiệu trong chương 3, hàm tin cậy có dạng Z=R-S (xem minh hoạ 4.1)

Hình 4.1 ðịnh nghĩa biên sự cố

Nền tảng của phương pháp tính toán xác suất xảy ra sự cố cấp ñộ III là mô phỏng toán học các khoảng tập hợp con xác suất liên quan ñến sự cố

Nếu hàm mật ñộ xác suất kết hợp fR,S(R, S) của ñộ bền R với tải trọng S ñã biết thì xác suất xảy ra sự cố có thể ñược tính theo phương pháp tích phân:

P{z<0}= f R ,S

Z < 0

Với Z<0 khi R<S, biểu thức sau ñược áp dụng:

-P = f ( , ) d d

S

R S R S

∞

∞ ∞

Nếu sức bền và tải trọng là các ñại lượng ñộc lập thì :

-P =-P(R < S)= f ( )f ( ) d d = F ( )f ( ) d

S

Tương tự, có thể chứng minh(nếu R>S):

-∞

∞

Tích phân này gọi là tích phân chập

Z < 0 sự cố

Z > 0 an toàn

Z = 0 biên sự cố

Hình 4.2 Miền tính toán tích phân của hàm fR,S(R.S)

Hình 4.3 ðường ñẳng mật ñộ xác suất của hàm kết hợp fR( ) ( )X1 fS X2 Vùng bôi ñen thể

hiện vùng sự cố X <1 X2

Thông thường, sức chịu tải và tải trọng là các hàm của một hoặc nhiều biến Khi ñó hàm ñộ

tin cây ñược mô tả:

Z = g(X , X , , X ) (4.5)

Xác suất xảy ra sự cố có thể tính ñược qua tích phân:

1 2 n

Z<0

Nếu các biến X1, X2, , Xn ñộc lập thì biểu thức có dạng:

Z<0

P =∫ ∫ ∫f ( X )f ( X ) … f ( X ) d X d X … d X

Phép toán tích phân này về nguyên tắc có thể ñược xác ñịnh bằng phương pháp giải tích,

nhưng rất hạn chế Vì vậy giải pháp thông thường là tính toán sử dụng các phương pháp số

Có hai phương pháp thường ñược sử dụng là tích phân số và phương pháp Monte Carlo

4.1.2 Xác ñịnh ñiểm thiết kế theo phương pháp cấp ñộ III

ðiểm thiết kế ñược xác ñịnh là ñiểm nằm trong không gian sự cố với mật ñộ xác suất kết hợp

lớn nhất ðiểm này có thể ñược tìm ra bằng phương pháp tích phân số học và mô phỏng thông

Formatted: Font: Times New Roman,

12 pt, Italic Formatted: Font: Times New Roman,

12 pt, Italic Formatted: Font: Times New Roman,

12 pt, Italic Formatted: Font: Times New Roman,

12 pt, Italic

qua xác ñịnh mật ñộ xác suất của từng ñiểm theo quy trình lặp Tại ñiểm có mật ñộ xác suất lớn nhất ta có thể xác ñịnh ñiểm thiết kế Hiện ñã có nhiều phương pháp tiên tiến ñể xác ñịnh ñiểm có giá trị lớn nhất Những phương pháp này ñược ñề cập trong các Sổ tay về phương pháp số

4.2 Tính toán ở cấp ñộ II

4.2.1 Giới thiệu về phương pháp tính toán ở cấp ñộ II

Nếu hàm tin cậy là tuyến tính, kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của hàm có thể ñược xác ñịnh theo:

n

n n

i 1 j 1

a a Cov X X

= =

…

…

,

(4.8)

Nếu các biến ngẫu nhiên cơ bản X1, X2, , Xn tuân theo luật phân bố chuẩn (Normal Distribution) thì Z cũng là hàm phân bố chuẩn Xác suất Z < 0 ñược xác ñịnh thông qua hàm phân bố chuẩn tiêu chuẩn1 (Standard Normal Distribution):

0

-( ) (4.9)

Bảng 4.1 Chỉ số ñộ tin cậy dựa theo hàm phân bố chuẩn tiêu chuẩn

Như vậy, nếu hàm tin cậy tuyến tính với các biến ngẫu nhiên cơ bản phân bố chuẩn thì việc tính toán xác suất xảy ra sự cố là ñơn giản

1

Thương số giữa giá trị trung bìnhµ và ñộ lệch chuẩnσ của hàm tin cậy Z ñược gọi là chỉ số

ñộ tin cậy:

Z

Z

µ

β =

σ (4.10)

Nếu các biến ngẫu nhiên cơ bản phân bố chuẩn và ñộc lập thống kê với nhau thì hàm tin cậy

có thể biến ñổi chúng thành các biến phân bố chuẩn tiêu chuẩn với:

i i

i

X

X

=

Ta có thể dùng hàmZ =R−Sñể minh họa cho phép biến ñổi này Các biến R và S ñược

chuyển ñổi thành các biến chuẩn tiêu chuẩn U1 và U2 Hàm tin cậy lúc này trở thành:

(4.12) Vùng sự cố trong mặt phẳng U1U2 là: (xem hình minh hoạ 4.4)

σ U − σ U + µ − µ ≤ (4.13)

ðường vuông góc với ñường biên sự cố và ñi qua gốc tọa ñộ có dạng:

S U 1 R U 2 = 0

σ + σ (4.14)

Khoảng cách từ gốc tọa ñộ tới miền sự cố là:

Z

σ

σ + σ

-

(4.15)

Khoảng cách này chính là giá trị của chỉ số ñộ tin cậy Theo Hasofer và Lind, khi hàm tin cậy

tuyến tính thì chỉ số ñộ tin cậy là khoảng cách từ gốc tọa ñộ tới miền sự cố

Biến cơ bản ban ñầu Biến cơ bản chuẩn hóa

Hình 4.4 Miền sự cố là một hàm của các biến cơ bản

ðiểm A (hình 4.4) là ñiểm nằm trên biên sự cố với mật ñộ xác suất kết hợp lớn nhất của U1 và

U2 Do ñó ñiểm A thỏa mãn ñịnh nghĩa về ñiểm thiết kế (xem 3.2) Toạ ñộ của ñiểm A là:

A

Formatted: Centered

S R

u u

( , ) , ( , ) (4.16)

trong ñó:

α1 = -σR/σZ;

α2 = σS/σZ

Trong mặt phẳng RS, ñiểm thiết kế ñược xác ñịnh:

*

R

*

2 S

S

=

R

S

+ α βσ

µ

(4.17)

Nếu hàm tin cậy ñược biểu diễn theo công thức (4.8) thì biểu thức sau dùng xác ñịnh hệ số ảnh hưởng của biến ngẫu nhiên Xi tới hàm tin cậy Z:

i

i X

i

Z

a

− σ

α =

σ (4.18)

Ví dụ 4.1

Cho hàm tin cậy: Z = 4a + 2b - c + 3

Các biến cơ bản a, b và c là biến ngẫu nhiên ñộc lập tuân theo luật phân bố chuẩn và

có các ñặc trưng thống kê như sau:

µa = 20 σa = 5

µb = 10 σb = 1

µc = 20 σc = 10

Khi ñó giá trị trung bình của Z là:

µ

ðộ lệch chuẩn là:

Chỉ số ñộ tin cậy là:

µ

β

σ

Z

Z

Khi ñó xác suất xảy ra sự cố là:

-4 f

ðiểm thiết kế có thể xác ñịnh ñược thông qua các hệ số ảnh hưởng:

1

2

3

4 5

0 891

22 45 2

0 089

22 45 10

0 445

22 45

⋅

.

Giá trị các biến cơ sở tại ñiểm thiết kế là:

*

*

*

Trong trường hợp trên, với hàm tin cậy tuyến tính và các biến ngẫu nhiên ñộc lập tuân theo

phân bố chuẩn, bằng cách sử dụng các giá trị kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của các biến cơ bản ta

dễ dàng xác ñịnh xác suất xảy ra sự cố Tuy nhiên trong thực tế các ñiều kiện này rất ít xảy ra

Trong nhiều trường hợp, phải ñơn giản hóa bằng cách tuyến tính hóa hàm tin cậy và chuyển

ñổi các biến

4.2.2 Các hàm tin cậy phi tuyến

Nếu hàm tin cậy là hàm phi tuyến của một số biến cơ bản ñộc lập có phân bố chuẩn thì hàm

này sẽ không phân bố chuẩn Hàm tin cậy có thể ñược xác ñịnh gần ñúng thông qua khai triển

Taylor, sử dụng hai số hạng ñầu tiên của ña thức này Biểu thức gần ñúng khi ñó có dạng:

i

n

i =1 i

g

X

∂

≈

∂

∑



(4.19) Biểu thức gần ñúng trên của Z là tuyến tính và theo ñịnh lý giới hạn trung tâm, Z phân bố

chuẩn Khi ñó kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của hàm ñộ tin cậy có thể ñược tính gần ñúng với giá

trị kỳ vọng và ñộ lệch chuẩn của hàm tuyến tính hóa:

i i

n

i =1 i

g

X

∂

≈

∂

∑

(4.20)

i

2 n

0

i =1 i

g (X ) X

∂

(4.21) Chỉ số ñộ tin cậy có thể xác ñịnh gần ñúng:

i i

i

n

i =1

2 n

Z

0 X

i =1 i

g

X

=

g (X ) X

∂ µ

∂ µ

σ

∑

∑



(4.22)

Nếu hàm tin cậy ñược tuyến tính hóa tại ñiểm X  0 = µ µ( x ,1 x2, , µ xn)

… , công thức (4.22) có thể ñược rút gọn:

i

2 n

X

i i=1

g

X

β ≈

∂

∑

…

…

(4.23)

Giá trị xấp xỉ của chỉ số ñộ tin cậy ñược gọi là giá trị xấp xỉ bình quân Phương pháp xấp xỉ

bình quân thể hiện ñược bản chất của phương thức tính toán theo cấp ñộ II Cốt lõi của

Phương thức cấp ñộ II là xác ñịnh sự ảnh hưởng của ñộ lệch của các biến cơ bản lên ñộ lệch

của hàm tin cậy ðiều này liên quan ñến bước phân tích ñộ nhạy có trọng số Thông qua phép

toán vi phân riêng, ta xác ñịnh ñược ñộ nhạy của nghiệm Z=0 do một sự thay ñổi nhỏ giá trị

của một biến cơ bản Tiếp ñó, trọng số là tích số giữa ñộ nhạy với ñộ lệch chuẩn của biến

Formatted: Font color: Red Formatted: Font color: Red Formatted: Font color: Red

Qua biểu thức (4.22) ta thấy rằng việc tính toán giá trị xấp xỉ của β thông qua tuyến tính hóa

hàm tin cậy phụ thuộc vào việc lựa chọn ñiểm tuyến tính hóa của hàm

Giả sử hàm tin cậy có 2 biến cơ bản X1 và X2 Hàm tin cậy phi tuyến có dạng 2 2

1

Các biến X1 và X2ñược chuyển ñổi thành các biến phân phối chuẩn thông thường U1 và U2 do

ñó biểu thức hàm tin cậy mới có dạng:

2 2

1 1

1

2 1 2

1

2

2 4

Trong hình 4.6 miền sự cố ñược biểu diễn trên mặt phẳng U1,U2 Có thể thấy rõ rằngsự

tuyến tính hóa hàm Z tại những ñiểm khác nhau dẫn ñến các giá trị gần ñúng khác nhau của

chỉ số ñộ tin cậy Vì vậy công thức chỉ số ñộ tin cậy theo công thức 4.22 không thể áp dụng

tùy tiện

Hình 4.6 Tuyến tính hóa hàm tin cậy

Theo phương pháp HASOFER and LIND[4.5], (xem mục 4.2.1) chỉ số ñộ tin cậy không phụ

thuộc hàm tin cậy có phải là hàm tuyến tính hay không Khoảng cách từ biên sự cố (Z=0) ñến

gốc của hệ toạ ñộ chuyển ñổi là:

Z 0

=

β + (4.25)

ðiểm thiết kế chính là ñiểm A nằm trên biên sự cố với khoảng cách ñến gốc tọa ñộ là ngắn

nhất Hình 4.7 cho thấy, khi tuyến tính hóa hàm tin cậyZ tại ñúng ñiểm thiết kế thì giá trị gần

ñúng củaβ chính là khoảng cách từ trục tọa ñộ tới biến sự cố Thực tế có nhiều phương pháp

ñể tìm ñiểm thiết kế thông qua quá trình lặp Thực chất ñây là một vấn ñề tối ưu hoá ñể tìm ra

khoảng cách OA ngắn nhất ðể xác ñịnh ñiểm thiết kế, người ta thường dùng các phương

pháp giải tích và phương pháp số 2 phương pháp ñược giới thiệu sau ñây về cơ bản là như

nhau chỉ khác nhau ở công thức của hàm tin cậy

Phương pháp ñầu tiên dựa vào việc chuẩn hoá hàm tin cậy Tức là tất cả các biến cơ bản ñều

ñược chuyển sang các biến chuẩn tiêu chuẩn

Toạ ñộ của ñiểm thiết kế là:

(U U 1 * , 2 * , … , U n *)= α β α β( 1 , 2 , … , α β n ) and X i * = µ X i + U 1 * σ X i (4.26)

Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic Formatted: Font: Italic

Formatted: Font: Italic

Hình 4.7 Tuyến tính hóa hàm tin cậy tại ñiểm thiết kế

ðiểm thiết kế và giá trị β tìm ñược dựa vào quá trình lặp ñể giải các biểu thức:

i

n

j 1 j

f U

f U

=

∂ αβ

∂

αβ

∑



…



…

(4.27)

trong ñó:

f(U1, U2, , Un) là hàm tin cậy của các biến cơ bản ñã ñược chuẩn hoá αi là hệ số ảnh hưởng của biến i

ðiểm thiết kế chỉ ñược xác ñịnh nếu các biến tuân theo luật phân bố chuẩn (hay các biến ñược chuyển về dạng phân bố chuẩn) ðiểm thiết kế là ñiểm nằm trên ñường biên sự cố mà mật ñộ phân phối xác suất thông thường là lớn nhất Xem hình minh hoạ 4.7

Hình 4.7 ðịnh nghĩa ðiểm thiết kế (DP) - là ñiểm nằm trên biên sự cố mà tại ñó mật ñộ xác

suất là cực ñại

Có thể tìm hiểu rõ hơn về phương pháp tính này qua ví dụ sau:

Ví dụ 4.2

Cho hàm tin cậy: Z = g(a, b, c) = ab – c

A

Các biến cơ bản a, b và c là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn ñộc lập Các giá trị ñược cho:

µa = 8 σa = 2

µb = 3 σb = 1

µc = 4 σc = 2

Yêu cầu: Xác ñịnh ñiểm thiết kế và chỉ số tin cậy tương ứng

1- Trước hết, cần chuyển ñổi các biến cơ bản sang dạng các biến chuẩn tuân theo phân bố chuẩn

2- Viết lại hàm tin cậy theo biến chuẩn: Hàm tin cậy của các biến ñược chuyển ñổi là:

Từ ñây, có thể hình thành công thức tính chỉ số β Ngoài ra các công thức tính chỉ số α1, α2

và α3 ñược xây dựng:

2

2

1

6 + 2 20

α β

−

α β

Hệ phương trình này có thể ñược giải bằng phương pháp thế liên tiếp Vấn ñề còn lại là việc lựa chọn các giá trị thực ban ñầu ñối với β, α1, α2 và α3 Giá trị ban ñầu β có thể ñược xác ñịnh theo phương pháp xấp xỉ trị trung bình:

a b c Z

Z

g

8 3 4

1 96

µ µ µ µ

⋅ −

.

Các giá trị ban ñầu của α1, α2 và α3 ñược chọn là hoàn toàn giống nhau nhưng có thể khác dấu Các giá trị mới của β, α1, α2 và α3 ñược tính toán cho ñến khi kết quả hội tụ Xem kết quả ví

dụ trên Bảng 4.1

Với các giá trị β, α1, α2 và α3 vừa tìm ñược cho phép tính toán xác ñịnh ñược ñiểm thiết kế

và xác suất xảy ra sự cố

Tọa ñộ ðiểm thiết kế ñược xác ñịnh:

1 a a

b

c

a

b

4 0 27 2 39 2 5 29 c

*

*

*

Và xác suất xảy ra sự cố:

f

Bảng 4.2

Các bước lặp Giá trị ban ñầu

α1 -0.58 -0.52 -0.32 -0.23 -0.21 -0.20 -0.20

α2 -0.58 -0.80 -0.89 -0.93 -0.94 -0.94 -0.94

Phương pháp thứ hai về thực chất bắt nguồn từ phương pháp thứ nhất (phương pháp nêu trên) nhưng với ưu ñiểm là không cần chuyển ñổi hàm tin cậy thành hàm của các biến phân bố chuẩn Khi ñó giá trị β ñược tính theo biểu thức 4.22 với hàm tin cậy ñược tuyến tính hóa tại một ñiểm Sau ñó giá trị này dùng ñể xác ñịnh ñiểm mới mà tại ñó hàm tin cậy là tuyến tính

Trong trường hợp này, giá trị αi ñược tính theo công thức:

j

X

j 1 j

g X

=

σ

σ

∑



X

*

(4.28)

Với giá trị củaβ vàα ñược tính lại, tọa ñộ ñiểm thiết kế mới là: i

i X i i

i

X* =µ +αβα

(4.29) Phương pháp này ñược minh họa bằng ví dụ 4.3 sau ñây:

Ví dụ 4.3

ðể tiện việc minh họa sự khác nhau giữa hai phương pháp, vấn ñề tương tự như như ví dụ 4.2 ñược xem xét

Hàm tin cậy là: Z = g(a, b, c) = a b - c

Các biến a, b, c là các biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn, ñộc lập:

µa = 8 σa = 2

µb = 3 σb = 1

µc = 4 σc = 2

Xác ñịnh ñiểm thiết kế và chỉ số tin cậy tương ứng

Phương trình vi phân ñạo hàm riêng theo các chỉ số a, b, c như sau:

( *, *, *) *; ( *, *, *) *; ( *, *, *)=−1

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

c b a c

g a c b a b

g b

c

b

a

a

g

Suy ra:

( ) (2 ) ( )2 2

c b a

4 3

b c

b

a

Z c Z

b Z

a Z

σ

σ α

σ

σ α

σ

σ α

σ

µ

β = ; 1 =− * ; 2 =− * ; 3 =−1*

Với các công thức trên ñây việc ước lượng tính toán ðiểm thiết kế có thể thực hiện ñược cho hàm tin cậy tuyến tính hóa tại một ñiểm Bảng 4.3 ñưa ra kết quả sau 6 bước lặp

So sánh kết quả tại bảng 4.3 với bảng 4.2 ta thấy cả 2 phương pháp ñều hội tụ về ñiểm thiết kế sau 6 bước lặp Tuy nhiên khối lượng tính toán trong mỗi vòng lặp của phương pháp thứ hai lớn hơn nhiều so với phương pháp thứ nhất Mặt khác, hàm tin cậy không cần phải chuyển ñổi như ñối với phương pháp thứ nhất Do ñó phương pháp thứ hai ñược áp dụng dễ dàng hơn trong các chương trình máy tính

Bảng 4.3

Các bước lặp Giá trị ban ñầu

4.2.3 Các biến cơ sở không tuân theo luật phân bố chuẩn

Nếu bài toán liên quan ñến các biến cơ sở ngẫu nhiên không phân bố chuẩn thì hàm tin cậy cũng không phân bố chuẩn ðể có thể áp dụng ñược phương pháp gần ñúng cấp ñộ II thì cần phải biến ñổi các biến cơ sở này thành các biến cơ sở phân bố chuẩn

Cách biến ñổi ñơn giản nhất là chuyển các biến không phân bố chuẩn về dạng phân bố chuẩn tiêu chuẩn ðể biến ñổi một biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn bất kỳ sang phân bố chuẩn tiêu chuẩn thì biểu thức sau phải thỏa mãn tại ñiểm thiết kế:

X

F X* = Φ U* (4.30)

hay:

( )

( )

1

X 1

X

X

*

* −

= Φ

= Φ (4.31)

trong ñó

1

−

Φ là hàm ngược của phân bố chuẩn tiêu chuẩn;

− 1

X

F là hàm ngược của hàm phân bố xác suất của biến X

Phương pháp biến ñổi này có thể làm phức tạp hóa hàm ñộ tin cậy ñơn giản ban ñầu

phân bố tùy ý sang phân bố chuẩn Giả thiết rằng giá trị thực và giá trị xấp xỉ của hàm mật ñộ xác suất cũng như hàm phân bố xác suất là tương ñương nhau tại ñiểm thiết kế, ta có:

( )

( )

X X

X X X

X

X 1

'

*

*

' '

*

*

 − µ 

σ

 − µ 

(4.32)

trong ñó

ϕ là hàm mật ñộ xác suất phân bố chuẩn tiêu chuẩn

Giải hệ phương trình trên thu ñược:

( )

( ) ( )

1 X X

X 1

X

F

* '

*

−

−

ϕ Φ

σ =

(4.33)

Từ hệ phương trình (4.33) cho thấy, ñộ lệch chuẩn và trung bình giá trị xấp xỉ của hàm phân

bố chuẩn phụ thuộc vào giá trị của X tại ñiểm thiết kế Do ñó, trong quá trình tính toán lặp ñiểm thiết kế và chỉ số ñộ tin cậy cần phải tính luôn giá trị mới của '

x

x

µ tại mỗi bước

Ví dụ 4.4

Trở lại vấn ñề tương tự như trong ví dụ 4.2 Tuy nhiên trong ví dụ này, biến cơ sở c là biến phân bố ñều trong khoảng (-20, 28) Giá trị trung bình và ñộ lệch chuẩn cũng như trong ví dụ 4.2 Khi ñó hàm mật ñộ xác suất và hàm phân bố xác suất của c là:

( )

( )

c

c

1

f c

48

20 c 28

c 20

F c

48

=

+

=

Trong trường hợp này hàm tin cậy biển ñổi có dạng:

Z = 6U + 2U U + 8U + 24 − µ'− σ'U

Thay Ui = αi*βtại ñiểm thiết kế ta có:

2

6 α β + α α 2 β + α β + 8 24 − µ'− σ α β = ' 0

Tiếp ñến, các phương trình trong vòng lặp ñược mô tả như trong ví dụ 4.2

Hệ phương trình cần giải của bài toán này là: