skkn khai thác sâu một bài toán thi đại học

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Qua quá trình công tác giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy việc học toánnói chung và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rènluyện được tư duy s

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT DƯƠNG QUẢNG HÀM



-

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC SÂU MỘT BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC

Môn: Toán

Tác gia: LÝ CHÍ HƯỚNG

Năm học 2013-2014

SƠ YẾU LÝ LỊCH

Tác gia: LÝ CHÍ HƯỚNG

Chức vụ: Phó Hiệu Trưởng

Đơn vị công tác: Trường THPT Dương Quảng Hàm

Tên đề tài: KHAI THÁC SÂU MỘT BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC

PHẦN 1 PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Qua quá trình công tác giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy việc học toánnói chung và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rènluyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi thầy, côcần phải có nhiều phương pháp và nhiều cách hướng dẫn cho học sinh tiếp thu

và tiếp cận bài giải Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm ranhiều phương pháp và cách giải qua một bài toán để từ đó rèn luyện cho họcsinh năng lực hoạt động, tư duy sáng tạo, phát triển bài toán và có thể đề xuấthoặc tự làm các bài toán tương tự đã được nghiên cứu, bồi dưỡng

Đào sâu suy nghĩ một bài toán là một chủ đề không có gì mới lạ Thậm chí nócòn cổ điển như chính lịch sử toán học vậy Dạy cho học sinh nắm vững kiếnthức cơ bản, đảm bảo trình độ thi đỗ đại học đã là khó và rất cần thiết nhưngchưa đủ Là thầy giáo dạy toán ở trường THPT ai cũng mong muốn mình cóđược nhiều học sinh yêu quý, có nhiều học sinh đỗ đạt, có nhiều học sinh giỏi.Song để thực hiện được điều đó người thầy cần có sự say mê chuyên môn, đặt racho mình nhiều nhiệm vụ, truyền sự say mê đó cho học trò “Khai thác sâu mộtbài toán” cũng là một phần việc giúp người thầy thành công trong sự nghiệp củamình Với chút hiểu biết nhỏ bé của mình cùng niềm say mê toán học tôi viết đềtài sáng kiến kinh nghiệm: “Khai thác sâu một bài toán thi đại học” mong muốnđược chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán và dạy toán với bạn bètrong tỉnh Hy vọng đề tài giúp ích một phần nhỏ bé cho quý thầy cô trong côngtác

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

-Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, rút kinh nghiệm trong quá trìnhgiảng dạy, phát triển tư duy linh hoạt, sáng tạo của học sinh, phát hiện và bồidưỡng học sinh giỏi Toán

- Thông qua đề tài này, là tài liệu tham thảo có ích cho giáo viên và họcsinh, đặc biệt là đối với học sinh tham gia các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, thiđại học, cao đẳng

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu phương pháp giải các bài toán thi Đại học theo nhiều cách

- Đề tài hướng tới các đối tượng học sinh lớp chọn, chuyên Toán, học

sinh giỏi và học sinh ôn thi Đại học, nhất là học sinh khối 12

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu là phương pháp thống kê, lựa

chọn những bài toán hay, độc đáo, có cùng phương pháp giải sau đó phân tích,

so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa để làm nổi bật phương pháp ứng rút ra kếtluận

5 KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU

- Đề tài này tác giả nghiên cứu và hoàn thiện trong 2 năm 2012 - 2014

PHẦN 2 NỘI DUNGBài toán 1 Trong đề thi Đại học khối B năm 2007 có bài toán sau.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng: d: x + y – 2 = 0;

Gọi B( b; 2 – b ); C( c; 8 – c ) lần lượt là các điểm thuộc d và d’

Để tam giác ABC vuông cân tại A ta có hệ:

Nhận xét: Làm theo Cách 1 gặp khó khăn trong việc giải hệ.

Với tinh thần bền bỉ và sáng tạo tôi động viên học trò và hướng dẫn các em haihướng giải như sau:

Hướng 1: Đặt ẩn phụ đưa về hệ đẳng cấp đã biết cách giải.

x y xy

Đến đây ta được phương trình bậc 2 trong tập số phức các em dễ dàng tìm được

nghiệm là:  + = − +b ci b ci+ = +3 51 3i i và có điểm B(3;1), C(5;3) hoặc B(-1;3), C(3;5)

Không dừng lại ở Cách 1 Tôi hướng dẫn HS làm cách khác

( 4) 1 ( 1) 4

c b

Tam giác ABC vuông cân tại A khiến cho chúng ta nghĩ đến phép quay tâm Agóc quay ± 90 0 Do đó tôi hướng dẫn học sinh làm Cách 3.

Ta dựng d’’ là ảnh của d’ qua phép quay tâm A góc quay ± 90 0

Giao điểm của d và d’’ chính là điểm B Có điểm B ta dễ dàng tìm được điểm C

H

Mà tam giác ABC vuông tại A nên uuuruuurAB AC = ⇔ 0 1(c− − 2) 3(6 − = ⇔ =c) 0 c 5

Qua A kẻ đường thẳng y = 2 song song trục hoành

B

C A

d

d’

y=2

Giả sử có tam giác ABC vuông cân tại A thỏa mãn đề bài.

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C trên đường thẳng y = 2

Dễ dàng chứng minh được tam giác AHB và tam giác BKA bằng nhau

Giải hệ rất dễ dàng tuy nhiên ta phải thử lại, loại nghiệm và kết luận

Tiếp tục đào sâu suy nghĩ tôi nhận thấy giả thiết 2 đường thẳng d và d’ songsong với nhau rất đặc biệt, gợi ý cho tôi ra được các bài toán tương tự một cách

dễ dàng và thành công ngay trong tất cả các lời giải của 4 cách làm trên

Nhưng nếu thay đổi giả thiết cho hai đường thẳng d và d’ cắt nhau (không

vuông góc) thì Cách 1 mà đa số học sinh suy nghĩ và làm theo thì gặp rất nhiều

khó khăn trong việc giải hệ phương trình

Và tất nhiên khi đó không thể có cách làm số 2

Cách 3 và Cách 4 thì vẫn còn nguyên giá trị Sau dây tôi đưa ra bài toán số 2

Bài toán 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x – y = 0

Và diểm A(2; 1) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên trục hoành điểm C saocho tam giác ABC vuông cân tại A

Khi đưa bài tập này cho học sinh đa số các em suy nghĩ và làm theo

Cách 1

Và tôi cũng mất rất nhiều thời gian vào phương án này vì thách thức đặt ra làgiải hệ phương trình Tất nhiên sử dụng phương pháp thế đưa về phương trìnhbậc 4 có hai nghiệm hữu tỷ cũng đi tới kết quả

Với phép quay thì bài toán được giải quyết một cách nhanh chóng

Giả sử ta có tam giác ABC vuông cân taị A thỏa mãn đề bài, Vậy điểm B là ảnhcủa điểm C qua phép quay tâm A góc quay ± 90 0.

Ta dựng d’ là ảnh của Ox qua phép quay tâm A góc quay 0

90

±

Giao điểm của d và d’ chính là điểm B Có điểm B ta dễ dàng tìm được điểm C

Cụ thể.

Xét đường tròn tâm A(2; 1) bán kính R = 1 tiếp xúc với trục Ox

Đường thẳng d’ tiếp xúc với đường tròn và vuông góc với trục Ox có phươngtrình là: x = 3 hoặc x = 1

Trường hợp 1.

d’có phương trình: x = 3 ta có điểm B( 3;3) là giao điểm của d và d’

Gọi C(c; 0 ) thuộc trục Ox Ta có uuurAC= − − (c 2, 1),uuurAB= (1; 2)

Mà tam giác ABC vuông tại A nên uuuruuurAB AC= ⇔ 0 1(c− − = ⇔ = 2) 2 0 c 4

Vậy điểm C(4; 0)

Trường hợp 2.

d’có phương trình: x = 1 ta có điểm B( 1;1) là giao điểm của d và d’

Gọi C(c; 0 ) thuộc trục Ox Ta có uuurAC= − − (c 2, 1),uuurAB= − ( 1;0)

Mà tam giác ABC vuông tại A nên uuuruuurAB AC= ⇔ − 0 1(c− = ⇔ = 2) 0 c 2

Vậy điểm C(2; 0)

C

B

A O

d

d’

Cách khác.

Qua A kẻ đường thẳng song song với trục hoành có phương trình là: y = 1Giả sử có tam giác ABC vuông cân tại A thỏa mãn đề bài

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C trên đường thẳng y = 1

Dễ dàng chứng minh được tam giác AHB và tam giác BKA bằng nhau

Giải hệ rất dễ dàng tuy nhiên ta phải thử lại, loại nghiệm và kết luận

Quay lại bài toán 1 ta nhận thấy giả thiết tam giác ABC vuông cân tại A rất đặc biệt Bây giờ tôi muốn tam giác ABC là tam giác đều liệu kết quả ra sao

Gọi B( b; 2 – b ); C( c; 8 – c ) lần lượt là các điểm thuộc d và d’.

Để tam giác ABC đều ta có hệ: AB AC AB BC==

Đến đây ta được hệ đẳng cấp bậc 2 đã biết cách giải

Phát huy cách làm về phép quay ta có cách khác như sau

Cách 2.

Giả sử có tam giác ABC đều thỏa mãn điều kiện bài toán

Khi đó B là ảnh của C qua phép quay tâm A góc quay ±600

Dựng d’’ là ảnh của d’ qua phép quay tâm A góc quay ±600

B là giao điểm của d và d’’ Có A, B dễ dàng tìm được C để tam giác ABC đều

Khai thác hai đường thẳng chưa làm tôi thỏa mãn, vì vậy thúc đẩy tôi bẻ cong hai đường thẳng song song thành hai nhánh của đồ thị hàm số

Bài toán 4.

Cho điểm A(2;1), tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số 2 1

1

x x

+

− các điểm B, C sao

cho tam giác ABC vuông cân tại A

Nhận xét: Đây là một câu hỏi phụ cho bài khảo sát hàm số tương đối khó, đa số

học sinh làm theo Cách 1 và không thể giải được hệ phương trình Bản thân tôi

cũng mất rất nhiều thời gian để giải hệ phương trình đó nhưng cũng chưa có kếtquả Phép quay tâm A với góc quay ±900 cũng khó khăn chỉ còn Cách 4 vẫn

còn nguyên giá trị

LG.

Qua A kẻ đường thẳng song song với trục hoành có phương trình là: y = 1Giả sử có tam giác ABC vuông cân tại A thỏa mãn đề bài

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C trên đường thẳng y = 1

Dễ dàng chứng minh được tam giác AHB và tam giác CKA bằng nhau

+

− , C

2 1( ; )

1

c c c

12( 2) ( )

1

b c

b c b

Việc giải hệ phương trình trên không quá khó khăn, ta cần xét 4 trường hợp,chú ý thử lại, loại nghiệm và kết luận.

Chú ý:

Do vai trò của B,C như nhau thuộc hai nhánh đồ thị hàm số do đó

Chúng ta có thể giả sử b>1 và c <1 để kiểm tra điều kiện

Đối với học sinh thì đường thẳng và parabol rất quen thuộc và gần gũi tôi lại khai thác bài toán trên đối với một đường thẳng và một parabol.

Bài Toán 5.

Cho đường thẳng d: x + y – 2 = 0 và Parabol (P): y x= 2, điểm A(3;2) Tìm trênđường thẳng d điểm B, trên parabol (P) điểm C sao cho tam giác ABC vuôngcân tại A

Bài toán tưởng đơn giản nhưng bắt tay vào làm mới thấy nhiều khó khăn

Đa số học sinh đưa về hệ:

uuur uuur và bế tắc không giải nổi.

Với phép quay tâm A với góc quay ±900 bài toán trên được giải quyết khá dễdàng

Giao điểm của (P) và d’ chính là điểm B Có điểm B ta dễ dàng tìm được điểm

C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Gọi C(c, 2 – c ) Ta có uuurAC= − − (c 3, c AB),uuur= (4;1)

Mà tam giác ABC vuông tại A nên uuuruuurAB AC= ⇔ 0 4(c− + − = ⇔ = 3) 1( ) 0c c 4

Vậy điểm C(4 ; - 2)

Với B(2;4)

Gọi C(c, 2 – c ) Ta có uuurAC= − − (c 3, c AB),uuur= − ( 1; 2)

Mà tam giác ABC vuông tại A nên uuuruuurAB AC= ⇔ − 0 1(c− + − = ⇔ = 3) 2( ) 0c c 1

Vậy điểm C(1 ; 1)

Trường hợp 2.

d’ có phương trình: x – y - 4 = 0 không có giao điểm của (P) và d’

Ngoài cách làm trên tôi vẫn đề xuất một cách làm khác

Cách khác.

Qua A kẻ đường thẳng y = 2 song song trục hoành

Giả sử có tam giác ABC vuông cân tại A thỏa mãn đề bài

Gọi K, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C trên đường thẳng y = 2

Dễ dàng chứng minh được tam giác AHC và tam giác BKA bằng nhau

Thay đổi Parabol bằng mooth Hypebol ta được bài toán

Bài Toán 6.

Cho đồ thị hàm số (H) 1

1

x y x

+

=

− và đường thẳng d : x + 2y – 5 = 0, điểm A(2;2)

Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao cho tam giácABC vuông cân tại A

Qua A kẻ đường thẳng y = 2 song song trục hoành

Giả sử có tam giác ABC vuông cân tại A thỏa mãn đề bài

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C trên đường thẳng y = 2

Dễ dàng chứng minh được tam giác AHB và tam giác CKA bằng nhau

1 1 ( ) ( 2) 2

c

c b c

Với phép quay tâm A với góc quay ±900 bài toán trên được giải quyết khá

Giao điểm của (H) và d’ chính là điểm C Có điểm C ta dễ dàng tìm được điểm

B sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

d’ có phương trình: x – y – 3 = 0 hoàn toàn tương tự

BÀI TẬP THAM KHẢO.

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d: x + y + 1 = 0

−

=+ và đường thẳng d : x + y – 5 = 0, điểm

A(2;2) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao chotam giác ABC vuông cân tại A

Bài 7 Cho đồ thị hàm số (H) 2 1

1

x y x

−

=+ và đường thẳng d : x + y – 5 = 0, điểm

A(2;1) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao chotam giác ABC vuông cân tại A

Bài 8 Cho đồ thị hàm số (H) 2 1

1

x y x

−

=+ và đường thẳng d : x + y – 5 = 0, điểm

A(2;2) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao chotam giác ABC vuông cân tại A

Bài 10 Cho đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0 và Parabol (P): y x= 2, điểm A(1;2).Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên parabol (P) điểm C sao cho tam giác ABCvuông cân tại A

Bài 11 Cho đường thẳng d: x – y – 1 = 0 và Parabol (P): y x= 2, điểm A(2;2).Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên parabol (P) điểm C sao cho tam giác ABCvuông cân tại A

Bài 12 Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và Parabol (P): x y= 2, điểm A(1;2).Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên parabol (P) điểm C sao cho tam giác ABCvuông cân tại A

Bài 13 Cho điểm A(1;1), tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số 2 1

2

x x

+

− các điểm B, C

sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Bài 14 Cho điểm A(3;1), tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số 2 1

1

x x

++ các điểm B, C

sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

Bài 15 Cho điểm A(2;-1), tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số 2 1

1

x x

Bài 17 Cho đồ thị hàm số (H) 2 1

1

x y x

−

=+ và đường thẳng d : 2x + y – 5 = 0,

điểm A(2;1) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C saocho tam giác ABC vuông cân tại A

Bài 18 Cho đồ thị hàm số (H) 2 1

1

x y x

−

=+ và đường thẳng d : x + 2y – 5 = 0, điểm

A(2;2) Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên đồ thị hàm số (H) điểm C sao chotam giác ABC vuông cân tại A

Bài 20 Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và Parabol (P): y= −x2, điểm A(1;2).Tìm trên đường thẳng d điểm B, trên parabol (P) điểm C sao cho tam giác ABCvuông cân tại A

PHÀN 3 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ KẾT LUẬN Kết quả đạt được của sáng kiến kinh nghiệm

Với phương pháp trên tôi đã tổ chức cho học sinh tiếp nhận bài học một cáchchủ động, tích cực, tất cả các em đều hứng thú học tập thực sự và hăng hái làmbài tập giao về nhà tương tự Phương pháp dạy học trên đây dựa vào các nguyêntắc:

• Phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh

• Phát huy được năng lực tư duy toán học của học sinhQua thực tế giảng dạy các lớp chuyên đề 12A1, 12A3, 12A5 Các em rất hàohứng và sôi nổi trong việc đề xuất cách mới và bài toán mới Cụ thể kiểm trakhảo sát chất lượng học sinh năm học 2012-2013 trước và sau khi áp dụng sángkiến như sau:

Tổng số học sinh Trước khi áp dụng SKKN Sau khi áp dụng SKKN

Yếukém

Một số kiến nghị đề xuất.

Về phía giáo viên: Tích cực trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, trao đổi kinh

nghiệm, kiến thức, phương pháp không chỉ ở trong trường mà mở rộng ra cụmtrường trong tỉnh và các tỉnh xung quanh, càng trao đổi nhiều thì mình càng thuđược nhiều

Về phía lãnh đạo nhà trường Tăng cường động viên, khích lệ, khen thưởng

đối với những đồng chí GV trẻ, có năng lực chuyên môn tốt tích cực viết sángkiến , trao đổi kinh nghiệm với các thầy cô đi trước để nhanh chóng trưởngthành

Về phía Sở Giáo dục Sau khi chấm sáng kiến những SKKN nào được giải A,

B, gửi về cho các trường tham khảo, học hỏi kinh nghiệm Tổ chức cho tác giảSKKN loại A báo cáo SKKN của mình để các tổ chuyên môn của các trường đi

dự và học tập

KẾT LUẬN.

Nếu học sinh được biết một phương pháp mới có hiệu quả thì các em sẽ tựtin hơn trong giải quyết các bài toán dạng này và dạng tương tự Tuy nhiên mỗibài toán có nhiều cách giải , phương pháp giải này có thể dài hơn các phươngpháp khác nhưng nó lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận hơn cácphương pháp khác Hoặc là tiền đề cho ta sáng tạo một dạng bài tập khác Từmột bài toán thi đại học tôi đã đào sâu suy nghĩ đưa ra được nhiều cách giải và

mở rộng thành nhiều bài toán khác độ khó tăng lên rõ rệt Với phương pháp tưduy trên phần nào giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập, tạo động lực họctập một cách chủ động, tích cực của học sinh Đó chính là cái hay, cái đẹp củatoán học, khiến người ta say mê toán học

TÀI LIỆU THAM KHẢO.

Tác giả chỉ tham khảo một câu trong Đề thi tuyển sinh vào Đại Học khối B năm2007

Còn lại toàn bộ sáng kiến là kinh nghiệm của tác giả tích lũy trong nhiều năm.Không có trong bất cứ một tài liệu nào