skkn giúp học sinh khắc phục một số khiếm khuyết khi giải phương trình vô tỷ thpt tô hiến thành

Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cũng nhưcách giải một vài dạng

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

Môn Toán có vị trí quan trọng đặc biệt trong các môn học ở nhà trường phổ thông,

nó là cơ sở của nhiều môn học khác

Phương trình là một trong những khái niệm quan trọng của toán học vì toán họcnghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giới kháchquan Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn giữa hai đại lượng là một quan hệ số lượng

cơ bản Các nhà toán học cổ điển như: Viet, Điôphăng…đã phát triển lý thuyết phươngtrình thành lý thuyết đại số và số học cổ điển Phương trình trở thành cơ sở của nội bộmôn toán Các ngành khoa học khác như: Vật lý, Hóa học, Kỹ thuật tính toán…khôngthể thiếu kiến thức về phương trình( ví dụ như: cân bằng phương trình hóa học, các bàitoán vật lý về chuyển hóa năng lượng…) Khi giải quyết mọi vấn đề trong đời sống thực

tế thường dẫn đến giải một bài toán phương trình

Thông qua giải phương trình sẽ củng cố và đào sâu kiến thức về tập hợp, logictoán, các phép biến đổi đồng nhất, hàm số…Từ đó rèn luyện tư duy và khả năng sángtạo cho học sinh

Trong thực tế dạy học, phương trình được đưa vào phổ thông ngay từ lớp đầu tiênmột cách ẩn tàng, lúc đó các em chưa học, chưa biết khái niệm phương trình Lên lớp 8phương trình được đưa vào một cách tường minh Phương trình vô tỷ được đưa vàochương trình bắt đầu từ lớp 9

Trong chương trình Toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh

đã được tiếp cận với phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn cũng nhưcách giải một vài dạng toán cơ bản của phần này Tuy nhiên trong thực tế các bài toángiải phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng.Đặc biệt, trong các đề thi Đại học - Cao đẳng - THCN các em sẽ gặp một lớp các bàitoán về phương trình, bất phương trình vô tỉ mà chỉ có một số ít các em biết phươngpháp giải nhưng trình bày còn lủng củng, chưa được gọn gàng sáng sủa, thậm chí cònmắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày

Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao, phần phương trình vô tỷ chỉ là một mục nhỏ trong bài: Một số phương trình và bất phương trình quy về bậc hai của chương IV Trong SGK Đại số lớp 10 thậm chí phần phương trình vô tỷ chỉ điểm qua rất sơ sài trong bài: Phương trình quy về bậc nhất,bậc hai của chương III Tóm lại ở các SGK

thời lượng dành cho phần này rất ít, các ví dụ và bài tập trong phần này cũng rất hạnchế và chỉ ở dạng cơ bản Nhưng trong thực tế, để biến đổi và giải chính xác phươngtrình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiềukiến thức, phải có kĩ năng biến đổi toán học nhanh nhẹn và thuần thục Muốn vậy, trongcác tiết luyện tập giáo viên cần tổng kết lại cách giải các dạng phương trình thường gặp,nhắc nhở va khắc phục ngay những sai lầm thường mắc phải của học sinh, cũng như bổsung thêm các dạng bài tập nâng cao, đặc biệt là rèn luyện cho học sinh kĩ năng giảiphương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Vì tất cả những lý do trên tôi đã nghiên cứu và xin trao đổi với đồng nghiệp sáng

kiến kinh nghiệm:

GIÚP HỌC SINH KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHIẾM KHUYẾT

KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Giới hạn nghiên cứu của đề tài:

- Các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình vô tỷ chủ yếu là do kỹ năng biến đổi tương đương của các em còn chưa tốt và sai lầm khi giải bài toán

phương trình vô tỷ có chứa tham số bằng cách đặt ẩn phụ.

- Các biện pháp khắc phục những sai lầm đó cho học sinh

II CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT và hoạt động dạy của thầy và hoạt độnghọc của trò Đối với người thầy, việc giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thôngnói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học là việc làm rất cần thiết

Muốn học tốt môn Toán, các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở mônToán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài

toán cụ thể Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy

logic và suy nghĩ linh hoạt Vì vậy, ttrong quá trình dạy học giáo viên cần định hướngcho học sinh cách học và nghiên cứu môn Toán một cách có hệ thống, biết cách vậndụng lí thuyết vào bài tập, biết phân dạng bài tập và giải một bài tập với nhiều cáchkhác nhau

III CƠ SỞ THỰC TIỄN:

Bài toán giải phương trình và bất phương trình vô tỉ học sinh chỉ được học trong

chương trình Đại số 10 Tuy nhiên, thời lượng dành cho phần này này rất ít, học sinhkhông được tiếp cận nhiều dạng toán khác nhau Trong SGK Đại số lớp 10 nâng cao chỉđưa ra dạng cơ bản: A B= , thậm chí SGK Đại số 10 còn trình bày kiến thức đơn giản

hơn rất nhiều Tuy nhiên, trong thực tế phương trình và bất phương trình vô ti rất đa

dạng và phong phú Trong quá trình học Toán ở lớp 11 và 12, khi gặp phải những bàitoán đưa về phương trình vô tỉ, đa số học sinh đều lúng túng, thường giải sai và thậmchí không biết cách giải Đặc biệt, các đề thi Đại học - Cao đẳng các em sẽ gặp phươngtrình vô tỉ ở nhiều dạng khác nhau chứ không chỉ nằm trong khuôn khổ dạng trên, hơnnữa đối tượng học sinh của tôi đa phần có lực học trung bình và yếu về kiến thức Vìvậy, tôi nghĩ việc giúp cho các em có kĩ năng tốt, cũng như cung cấp thêm các phương

pháp giải phương trình và bất phương trình vô ti là rất cần thiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay Một điều rất quan trọng là trong quá trình giải phương trình và bất phương trình vô ti, giáo viên cần phải lưu ý cho học sinh các sai lầm thường mắc phải

và phân tích nguyên nhân sai lầm để các em hiểu sâu hơn nhằm có được một bài giải tốtsau này

Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này cố gắng trình bày rõ ràng, không rườm

rà, lôgíc phù hợp với trường THPT công lập còn nhiều khó khăn do mới chuyển đổi từtrường THPT bán công với chất lượng đầu vào của học sinh không cao Đề tài được sửdụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối 10 hệ THPT và ôn tập chocác em học sinh lớp 12 chuẩn bị cho các kỳ thi quan trọng như tốt nghiệp THPT, Caođẳng và Đai học Mục đích của đề tài không có ý nêu tất cả các phương pháp giảiphương trình vô tỷ mà chủ yếu chỉ ra những sai lầm thường gặp của học sinh khi giảiphương trình vô tỷ ở hai phương pháp: Biến đổi tương đương và đặt ẩn phụ Các thầy

cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt vàgiải quyết các bài tập cụ thể Sau mỗi ví dụ, tác giả đều có những nhận xét bình luậnkhắc phục những sai lầm cơ bản giúp học sinh có thể chọn ra cho mình những phươngpháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất

IV NỘI DUNG:

A.Vị trí của phương trình vô tỷ trong chương trình và mối quan hệ với các loại phuong trình khác.

Phương trình vô tỷ là một bộ phận quan trọng trong chương trình dạy học toán ởtrường phổ thông với định nghĩa là phương trình có ẩn số nằm dưới dấu căn

Ngay từ lớp 9 học sinh bắt đầu làm quen qua những bài giải phương trình quy vềbậc hai

Lên lớp 10 học sinh được học phương trình chứa ẩn căn bậc hai trong thời lượngrất ít Tuy trong phân phối chương trình ít nhưng cũng đã trang bị cho học sinh cácphép biến đổi để giải phương trình vô tỷ và là cơ sở để giải các phương trình vô tỷ phứctạp hơn và đặc biệt là phương trình vô tỷ siêu việt

Khi giải phương trình vô tỷ ta phải thực hiện các phép biến đổi để tách căn thức và khử

nó để về đưa phương trình đã biết cách giải, do đó nó có quan hệ mật thiết với rất nhiềuloại phương trình mà cụ thể là

- Phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối

- Phương trình bậc hai

- Phương trình bậc cao

- Phương trình lượng giác

- Phương trình mũ và logarit

Trong khi giải phương trình vô tỷ, nhiều học sinh chưa phân biệt được khi nào làbiến đổi tương đương, khi nào là biến đổi hệ quả dẫn tới việc xuất hiện nghiệm ngoạilai

Đối với phương trình chưa ẩn dưới dấu căn bậc chẵn, khi nâng lũy thừa bậc chẵnhai vế muốn tương đương thì hai vế phải không âm Do đó khi giải ra nghiệm ta chỉ cầnkiểm tra điều kiện đặt ra mà không phải thử lại vào phương trình ban đầu

Còn khi nâng lên lũy thừa bậc chẵn cả hai vế mà không có điều kiện đi kèm thì đó

là biến đổi hệ quả nên khi giải ra nghiệm của phương trình cuối ta phải thử lại đối vớiphương trình ban đầu

Đối với phương trình chứa căn bậc lẻ khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ ta luôn đượcphương trình tương đương

B Các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải phương trình vô tỷ và biện pháp khắc phục.

Trong quá trình giải phương trình sai lầm mà học sinh thường mắc phải là sửdụng các phép biến đổi không tương đương dẫn tới làm mở rộng hoặc thu hẹp miền xácđịnh của phương trình đó và dẫn tới miền nghiệm không chính xác bởi nó có thể làmmất nghiệm hoặc thêm nghiệm

Khi giải phương trình vô tỷ học sinh thường mắc những sai lầm như sau

1 Sai lầm khi giải phương trình vô tỷ bằng các biến đổi tương đương

1.1 Sai lầm khi giải điều kiện xác định

Có những bài toán giải phương trình vô tỷ mà lời giải của nó nằm gần như hoàntoàn ở việc tìm điều kiện xác định Nghĩa là, tìm đúng điều kiện xác định thì ta dễ nhìnthấy các làm, thậm chí điều kiện xác định chỉ là một vài giá trị Ta chỉ cần thay các giátrị này vào phương trình đã cho là có ngay kết quả của bài toán Tuy vậy việc tìm điều

kiện xác định thường dẫn tới giải một bất phương trình tích, dễ gây nhầm lẫn cho họcsinh

11

x

x x

x x

Sai lầm ở đây là do:

+ Thói quen thường gặp của học sinh đầu cấp THPT vẫn còn ảnh hưởng bởi việc phân

tích một biểu thức thành nhân tử rồi phân chia các trường hợp để xét dấu các nhân tửtheo cách, kiểu làm ở cấp THCS Sở dĩ ở cấp THCS phải làm vậy vì các em chưa đượchọc định lý về dấu của tam thức bậc hai

+ Sau khi phân tích biểu thức ban đầu thành nhân tử, cộng với kiến thức về biến đổitương đương còn chưa tốt, các em dễ mắc sai lầm sau 0 0

Biện pháp khắc phục sai lầm như trên:

+ Giáo viên yêu cầu học sinh ghi nhớ:

0

có nghiã0

0

A B AB

0

A B AB

đó có thể giúp ta rút gọn 2 vế phương trình, đánh giá các vế của phương trình…

x

x x

Ta thấy x= -1 nghiệm đúng phương trình đã cho.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=-1

Tuy vậy, khi tìm điều kiện cho một phương trình vô tỷ nếu dẫn tới phải giải mộtbất phương trình bậc 3(hoặc bậc cao hơn) thì điều không tránh khỏi là phải phân tíchbiều thức bên vế trái thành các nhân tử Sẽ không có vấn đề gì nếu các nhân tử đều làcác nhị thức bậc nhất với lũy thừa bậc lẻ( thường là bậc 1), tuy vậy nếu trong biều thứcxuất hiện nhân tử là nhị thức bậc nhất với số mũ chẵn( thường gặp là bậc 2) thì học sinhlại dễ mắc sai lầm

Ví dụ 2: − +x3 3x− +2 x+ =1 2

Học sinh thường làm như sau

Điều kiện để căn thức có nghĩa:

+ Học sinh lực học yếu và trung bình rất hay nhầm rằng: A2 > ∀ ∈0, A R, vì lẽ

đó nên khi gặp một vế có nhân tử dạng A2 các em này thường rút gọn một cách hết sứcngây thơ mà bỏ qua trường hợp A= 0 Do đó khi có một nhân tử là A2 nằm ở một vếcủa bất phương trình mà ta đang giải để tìm điều kiện xác định thì giáo viên cần chohọc sinh phân làm hai trường hợp:

Ở ví dụ trên ta thấy việc giải điều kiện xác định cũng gần như đồng nghĩa vớiviệc giải bất phương trình Vì vậy ở những dạng bài kiểu này giải đúng điều kiện xácđịnh nghĩa là làm được bài toán Tiếp tục xoay quanh vấn đề trên, giáo viên lưu ý thêmcho học sinh: Nếu ở điều kiện trên bỏ đi dấu =, ta được bất phương trình: A B2 >0 thì có

1.2 Sai lầm khi đặt điều kiện để biến đổi phương trình

a Sai lầm khi giải phương trình dạng f x( ) =g x( )

Trong khi giải phương trình f x( )=g x( ) học sinh thường biến đổi như sau:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là : x=-1 và x=2

Một số học sinh khác thì nhớ được rằng: Để căn thức bậc hai có nghĩa thì biềuthức nằm dưới dấu căn bậc hai phải không âm, do đó các em này làm như sau:

22

x x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là : x=-1 và x=2

Biện pháp khắc phục sai lầm trên

Để khắc phục sai lầm trên cho học sinh, ta hướng dẫn học sinh giải theo phươngpháp sau

2

2

( ) 0( ) ( )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=2.

b Sai lầm khi giải phương trình vô tỷ chứa căn bậc lẻ.

Các bài toán giải phương trình vô tỷ chứa căn bậc lẻ chủ yếu gặp dưới dạng cănbậc 3

Đối với học sinh yếu, trung bình: Giáo viên lưu ý cho học sinh mọi biểu thức cónghĩa đều tồn tại căn bậc lẻ, nhớ rằng không được nhầm lẫn mà buộc điều kiện biểuthức nằm dưới dấu căn bậc lẻ phải không âm

Có lẽ phương trình chứa căn bậc lẻ thường gặp hoặc thường biến đổi rồi đưađược về phương trình dạng 3 f x( )+3 g x( )= 3h x( ) (1), gặp phương trình này học sinhthường biến đổi như sau

(1)⇔ f x( )+g x( ) 3+ 3 f x g x( ) ( )(3 f x( )+3 g x( ))= 3h x( ) (2)

Sau khi giải xong phương trình (2) học sinh kết luận luôn nghiệm của (2) lànghiệm của (1)

Các sai lầm mắc phải:

+ Học sinh luôn quan niệm căn bậc lẻ thì không có điều kiện xác định nhiều và

phức tạp như căn bậc chẵn, thậm chí điều kiện xác định là mọi giá trị x∈Rnên cứ thoảimái biến đổi, thay thế ta sẽ được các phương trình tương đương với phương trình banđầu

+ Ở bài dạng toán trên sai lầm của học sinh là coi rằng (1) và (2) là hai phươngtrình tương đương nhưng thực ra hai phương trình đó không tương đương vì ta đã thaythế 3 h x( ) bởi 3 f x( )+3 g x( )

Biện pháp khắc phục

Thực tế cho thấy ngay cả học sinh khá cũng có thể mắc phải sai lầm này Do đó

để khắc phục sai lầm cho học sinh, giáo viên nhấn mạnh rằng (1) và (2) không tươngđương mà phương trình (2) chỉ là phương trình hệ quả của phương trình (1) nên khi giảixong phải thử lại nghiệm vào phương trình (1)

Rõ ràng rằng nếu quan niệm sai lầm như đã nói ở trên thì sẽ dẫn tới lấy thêmnghiệm ngoại lai x =0

c Sai lầm khi giải phương trình chứa nhiều căn bậc hai

Khi giải phương trình chứa nhiều căn bậc hai băng phương pháp biến đổi tươngđương, tôi nhận thấy rằng: Ở phương trình dạng: f x( )+ g x( ) = h x( ) , học sinhthường ít gặp nhầm lẫn, nhưng khi thay dấu + bởi dấu -, tức là gặp phương trình dạng

f x( )− g x( )= h x( ) (1), học sinh thường mắc sai lầm

Học sinh thường biến đổi như sau

Biến đổi như trên học sinh cũng đã thể hiện một phần hiểu biết của mình( mặc

dù còn sai) Học sinh đặt điều kiện đối với f x g x( ), ( )nhưng không đặt điều kiện đối với( )

h x vì cho rằng, ta sẽ phải bình phương 2 vế của phương trình để khử căn bậc hai, điều

đó dẫn tới( f x( )− g x( ))2 =h x( )⇒h x( ) 0≥ , suy nghĩ này cũng có điểm đáng để khenngợi, có lẽ các em đã một phần áp dụng lối tư duy khi giải phương trình dạng( ) ( )

f x =g x ( bằng phương pháp bình phương hai vế) Ta xét một ví dụ cụ thể:

11

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x= 1

Có thể thấy ngay x= 1 không phải là nghiệm của phương trình

Học sinh này phạm những sai lầm sau:

Sở dĩ em học sinh này chỉ đặt 2 điều kiệnx≥0, 3x+1≥0 vì quan niệm rằng

2

2x− =1 ( x− 3x+1) sẽ dẫn tới 2x-1 không âm, nên không cần đặt điều kiện 2x-1≥0nữa Thậm chí nếu đặt thêm điều kiện 2x-1≥0 thì vẫn sai vì điều kiện này kết hợp với

2 điều kiện trên sẽ cho ta: x≥ 1

2, điều kiện này dẫn tới ta không loại được nghiệm x =1.Sai lầm nằm ở chỗ chưa biết 2 vế có cùng dấu hay không mà đã bình phương, cụthể là nếu được thòa mãn điều kiện x≥ 1

2 thì vế phải không âm, còn x− 3x+1 thìchưa xác định dấu

Biện pháp khắc phục

Để khắc phục sai lầm cho học sinh ta cần nhấn mạnh muốn bình phương hai vế

để được một phương trình tương đương thì 2 vế phải cùng dấu (mà thực chất thườnglàm là hai vế không âm) Ta hướng dẫn học sinh biến đổi như sau:

f x( )− g x( )= h x( ) ⇔ f x( )= g x( )+ h x( )

2

( ) 0( ) 0( ) ( ( ) ( ))

x

x x

x≥ thì vế phải của (*) không âm, còn vế trái của (*) âm, do đó (*) vô

nghiệm hay phương trình đã cho vô nghiệm

d Sai lầm khi rút gọn hoặc phân tích nhân tử có chứa căn bậc hai

Học sinh rất hay nhầm lẫn khi gặp một phương trình vô tỷ có chứa các biểu thứcdưới dạng: A;B A; AB

Ví dụ 6: Giải phương trình:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Ta thấy rằng khi thay x = -14 vào phương trình đã cho ta thấy nó thỏa mãn phươngtrình Do đó x=-14 phải là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy nguyên nhân nào dẫn tới lời giải trên sai?

Học sinh sai lầm khi cho rằngB A AB

B = , sai lầm này do không để ý gì đến dấu của

+ Khi gặp dạng này phải giải điều kiện xác định A 0

B ≥ , rồi dựa vào điều kiện đó

xét dấu của hai biều thức A B, để phân chia trường hợp chính xác, dẫn tới rút gọn biểuthức đúng

Lời giải đúng:

55

x x

x x

14( thoa mãn x<-5)14

x x

x x