skkn ứng dụng lượng giác trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất THPT thường xuân 2

Theo tôi để đạt được những điều này đòi hỏi giáo viên phải có nhiều kỹ năng giải toán và càng có nhiều thuật toán thì càng cónhiều kinh nghiệm giúp học sinh định hướng giải nhanh một bài

A- ĐẶT VẤN ĐỀ

Đổi mới phương pháp dạy học nói chung và phương pháp dạytoán nói riêng trong nhà trường phổ thông là vấn đề rất cần thiết vàphải được thực hiện thường xuyên Lựa chọn phương pháp thích hợpcho mỗi tiết dạy, mỗi bài dạy Toán theo từng đối tượng học sinh là cảmột quá trình nghệ thuật của người thầy

Qua trao đổi với nhiều thầy cô và học sinh chúng tôi tự đặt câuhỏi cho mình là làm thế nào để truyền tải kiến thức không nhỏ theotinh thần sách giáo khoa cho học sinh? Làm thế nào để học sinh có cáinhìn tổng thể, nắm được những phương pháp tổng quát để giải lớp cácbài toán? Theo tôi để đạt được những điều này đòi hỏi giáo viên phải

có nhiều kỹ năng giải toán và càng có nhiều thuật toán thì càng cónhiều kinh nghiệm giúp học sinh định hướng giải nhanh một bài toán

Bài toán “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất” là một trongnhững bài toán khó được quan tâm nhiều ở các kì thi trung học cơ sởđến Đại học Để giải loại bài toán này, đòi hỏi giáo viên, học sinh cókiến thức tổng hợp về đại số, giải tích, hình học Để giải bài toán này

có rất nhiều phương pháp Trong bài viết này chúng tôi chỉ nêu mộtphương pháp cơ bản mà chúng tôi thường dùng khi dạy học sinh cáclớp ban Khoa học tự nhiên, đặc biệt các lớp Bồi dưỡng học sinh giỏi

đó là “Ứng dụng lượng giác trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhất”.

B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cơ sở lý luận

Sự phát triển đi lên của toán học cũng như sự hoàn chỉnh cácdạng toán học là một quá trình khái quát hóa, tổng quát hóa Nhữnghiểu biết rời rạc trong việc giải Toán sẽ dần dẫn được thống nhất, chắpnối thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh Đó là cơ sở giúp cho họcsinh hoạt động học tập có hiệu quả cao và hoàn thiện các chức năng

cơ bản như:

- Chức năng hình thành, cũng cố kiến thức và kỹ năng

- Chức năng hình thành thế giới quan duy vật biện chứng, tạohứng thú học tập, rèn luyện phẩm chất đạo đức, vận dụng kiến thứcvào đời sống

- Chức năng phát triển năng lực tư duy, hình thành phẩm chất tưduy khoa học

- Chức năng kiểm tra kiến thức và đánh giá trình độ học sinh.Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một bài toán cơ bảntrong chương trình toán học phổ thông Để giải quyết lớp bài toán này

ta thường dùng các phương pháp như: đạo hàm, đồ thị, sử dụng cácbất đẳng thức cổ điển…., tuy nhiên đối với các bài tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất có điều kiện ban đầu dưới cách nhìn và sau một số phép biếnđổi ta có thể lượng giác hóa được thì bài toán sẽ được giải quyết mộtcách dễ dàng và thuận lợi hơn

2 Thực trạng vấn đề

Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm sốthông thường học sinh phải sử dụng kiến thức liên quan đến bất đẳngthức Do đó đứng trước bài toán này, đa số học sinh lúng túng

Sử dụng lượng giác là chuyển bài toán đại số, hình học, … sangbài toán mới mang hình thức lượng giác thuần túy Việc lượng giáchóa được nghĩ đến khi dữ liệu bài toán có mang dấu hiệu đặc biệt củacác yếu tố trong bài Nếu phát hiện được, định hướng được, chuyểnđược sang lượng giác thì rất nhiều bài toán được giải nhanh hơn vàđơn giản hơn nhờ công thức lượng giác và bất đẳng thức lượng giácquen thuộc

Trong nhiều năm phân công dạy bồi dưỡng học sinh giỏi và dạycác lớp thuộc ban Khoa học tự nhiên, chủ đề này cho học sinh bồi

dưỡng học sinh giỏi (khoảng 12 tiết) vào cuối năm học 11 Đa số họcsinh tiếp cận được và đều có cách giải, cách nhìn bài toán dưới conmắt lượng giác hóa khi phát hiện được dấu hiệu một cách hiệu quả.

Bước 2: Kiểm tra dấu đẳng thức “có” xảy ra.

Bước 3: Kết luận max (hay min) theo yêu cầu

b Các dấu hiệu cơ bản để lượng giác hóa bài toán nhờ phương pháp đặt ẩn phụ:

Trường hợp cho trước điều kiện của biến:

Điều kiện của

biến x, y Đặt ẩn phụ với t Cơ sở lượng giác

Trường hợp điều kiện của biến x, y không cho trước mà ẩn trong hàm số chứng

ta cần lưu ý cho học sinh mối liên hệ giữa biểu thức đại số và biểu thức lượng giác và công thức lượng giác tương ứng.

1

cos tan tan tan

1

sin cot cot cot

c Những điều cần lưu ý về miền giá trị của biểu thức lượng giác:

* Nếu tập giá trị của t là ;

* Nếu tập giá trị của t là 0; thì tập giá trị của cost là  1;1 ;cost 1

* Nếu tập giá trị của t là 0;2 thì tập giá trị của acost b sint là

- Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa

Biến đổi điều kiện của biến cho xuất hiện dấu hiệu ápdụng

- Bước 2: Đặt ẩn phụ và phạm vi góc lượng giác tương ứng thíchhợp

Đưa biểu thức đã cho sang biểu thức lượng giác

- Bước 3: Thu gọn biểu thức lượng giác

Sử dụng các bất đẳng thức lượng giác cơ bản

- Bước 4: Chứng tỏ tồn tại một giá trị của biến x để đẳng thức xảyra

- Bước 5: Kết luận

3.2 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

DẠNG 1: Sử dụng điều kiện biến x với x k k,  0

Ví dụ 1: Cho x 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Suy ra: P 2 2009 (sin 2t cos ) 2t hay P 2 2009.

Ta có: Tồn tại P 2 2009 khi  sin cost t 0 hay

0 2

Lúc đó: Pcos 4cost  2t  3 4cos3t  3cost cos3 1t 

Ta có: P  1 cos3t   1 t 0 Suy ra: x 1 hoặc x 1

Thông qua điều kiện bài toán ta đặt x 3cos ,t t0; 

Lúc đó: P 3 9 9cos  2t  4.3.cost  9.sint 12.cost

Khi đó: P 4(2 cos )  t 3  24(2 cos )  t 2  45(2 cos ) 26  t 

 4cos 3t 3cost  cos3t 1

Ví dụ 5: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa:

x y z xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y z   .

Giải:

Từ điều kiện ban đầu ta suy ra: x y z , , 0;2

Từ đây gợi chúng ta đi đến phép thế lượng giác

Đặt x 2cos ,  y  2cos ,  z  2cos  với , , 0;

4.cos 4cos cos 4sin sin

DẠNG 2: Sử dụng điều kiện: x2  y2  1 hoặc a x2 2 b y2 2 c2

Ví dụ 1 : Cho x2  y2  1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 6  y6

x y

x y

Ví dụ 2: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức

2 cos 6cos sin 1 cos2 6sin 2

1 2cos sin 2sin 2 sin 2 cos 2

Đặt

5 cos

VậymaxP 3,minP 6

Ví dụ 3: Cho x, y là hai số thực thay đổi và thỏa hệ thức x2  y2  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

Khi đó:

2 2 2 2

x y

2

   khi

2 2 2 2

x y

Ta có: xt yz  12sin cosa b 12.cos sina b 12.sin(a b ) 12 

Khi đó: sin(a b ) 1  , kết hợp với sin(a b ) 1,  a b, ta được

sin(a b ) 1  Suy ra: 2

Suy ra: P 3 2  4 sin 2 2a cos 2a  P 5.

Ta có: 5 sin cos tan 3.

4 cos

5 3 sin

5

a a

DẠNG 3: Sử dụng điều kiện x 1 hay x m m(  0)

Lưu ý: + Bài toán có chứa x2  m2 thì đặt

 sin cosa b cos sina b sin(a b ) Suy ra: P 1.

Khi x y  2 thì đẳng thức xảy ra

Vậy minP 1khi x  2

DẠNG 4: Sử dụng lượng giác khi bài toán có xuất hiện biểu thức

1 1

x P

3 4 tan 3tan 3cos 4sin cos 3sin

Ví dụ 4: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức    

sin cos cos sin cos cos sin sin

sin cos sin cos

1

sin 2 1

Do xy yz zx   1 nên tan tan    tan tan    tan tan    1

Khi đó: P 1 1 1 3(tan tan tan )

cot tan cot tan cot tan 2(tan tan tan )

2 cot 2 cot 2 cot 2 2(tan tan tan )

cot 2 cot 2 2tan cot 2 cot 2 2tan cot 2 cot 2 2tan

 cot 2   cot 2   2 tan   0

Từ đó suy ra: P 0. Với x y z   13 thì P 0. Vậy minP 0.

DẠNG 5: Sử dụng lượng giác khi bài toán có xuất hiện biểu thức

Ví dụ 1: Cho x, y là hai số thực thay đổi thỏa mãn 3x+4y = 5 Tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2  y2

Khi đó giả thiết đã cho trở thành: 3A.sint + 4A.cost = 5

hay 3sin 4 ost 1

Đẳng thức xãy ra khi 3sin 4 ost 1

5 t5c  tức

3 sin = 5 4 ost=

5

t c

5 4 y=

Ví dụ 2: Cho x, y là hai số thực thay đổi thỏa: 14xy +23x2 -25y2 24y = 0

-Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2  y2.Giải:

Tương tự ví dụ 1, đặt:y=Acostx Asint



 x2 + y2 =A2

Khi đó giả thiết đã cho trở thành :

A2.(14.sintcost + 23cos2t - 25sin2t) -24 =0

 A2.(7sin2t + 24cos2t - 1) -24 =0

A225 sin(2t+   1   24 với

7

os = 25 24 sin = 25

Ta biến đổi biểu thức P = (x-1)2+(y+1)2 -1

Như vậy bài toán có xuất hiện dấu hiệu x a 2  y b 2

Đẳng thức xảy ra khi sin(t+ )=1 hay

Khi đó P= A2 - 1 Ta cũng tìm được giá trị nhỏ nhất của P là 0

2

P  x x  x 5) Cho hai số x, y thay đổi thỏa mãn: x2  y2  4

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

8) Cho x, y , z thỏa mãn điều kiện abc a c b   Tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2

Đối với các lớp chính khoá, để thực hiện đề tài tôi đã lồng ghépkhéo léo trong các tiết lý thuyết, giải bài tập ôn chương, bài tập ôncuối năm Học sinh vận dụng hiệu quả và rất hăng say Khi cho bài tậptương tự, hầu hết các học sinh đại trà đều giải được Nhiều bài toánloại này thuộc loại khó đối với học sinh đại trà nhưng khi được biếtcác phương pháp trên các em nhớ rất lâu và xem như những bài “tủ”của mình

Đối với lớp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, mặc dầu có chươngtrình dạy riêng song tôi đã một phần áp dụng các phương pháp trên.Các phương pháp này thực tế, gần gũi với chương trình học nên đãgiúp các em ham mê, tìm tòi Đặt biệt với đối tượng học sinh giỏi nàykhi cho bài tập về nhà, buộc các em tìm tòi các lời giải để chọn lời giảihay chung cho nhiều bài khác thì các em tranh luận và tham khảo cáchgiải từ nhiều nguồn như: sách báo, mạng internet, hay của các thầy côkhác đã giúp cho bản thân chúng tôi tích luỹ thêm được rất nhiều

kiến thức Năm học 2008, 2011 lớp bồi dưỡng học sinh giỏi mà chúngtôi dạy đều có học sinh đạt giải cấp tỉnh.

Các phương pháp đã nêu trong đề tài phù hợp cho nhiều đốitượng học sinh Đặc biệt nếu khéo léo áp dụng sẽ giúp cho học sinh có

kỹ năng vận dụng nhất định khi giải bài tập Đồng thời giúp học sinhtin tưởng vào bản thân, học khá lên và ngày càng yêu thích bộ môntoán

Trong quá trình giảng dạy, bản thân cũng đã lồng ghép hợp lýtuỳ từng lớp Có thể giới thiệu cho học sinh lớp 10 (ôn tập cuối năm),lớp 11( đầu năm) và lớp 12 (ôn thi)

Đề tài mà chúng tôi đã nghiên cứu trên có thể mở rộng theonhiều hướng như có thể mở rộng việc sử dụng dấu hiệu liên quan đếncác đẳng thức hay bất đẳng thức trong tam giác Đặc biệt nếu nắmđược phương pháp trên thì học sinh có thể vận dụng để chứng minhbất đẳng thức một cách hiệu quả

Đề tài mang tính chủ quan, cảm nhận riêng của cá nhân nênkhông tránh những sai sót Trên tinh thần học hỏi và trao đổi, rấtmong ý kiến đóng góp, bổ sung đề tài của các thầy cô giáo và đồngnghiệp

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng 4 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN

của mình viết, không sao chép nội

dung của người khác.

NGƯỜI VIẾT

Lê Đăng Bản