skkn phương pháp sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học bộ môn hình học không gian lớp 11

QUA HỆ THỐNG SƠ ĐỒ TƯ DUY Khi giải một bài toán hình học không gian, học sinh cần thực hiện qua cácbước cần thiết sau: đọc kĩ đề bài, phân tích giả thuyết của bài toán, vẽ hìnhđúng, đặc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT 4 THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SƠ ĐỒ TƯ DUY TRONG DẠY VÀ

HỌC BỘ MÔN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Người thực hiện: Hà Thị Thu Hồng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2013

A ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Lời nói đầu:

Sơ đồ tư duy là một công cụ tổ chức tư duy, là con đường dễ nhất đểchuyển tải thông tin vào bộ não rồi đưa thông tin ra ngoài bộ não Đồng thời làmột phương tiện ghi chép đầy sáng tạo và rất hiệu quả theo đúng nghĩa của nó:

“Sắp xếp” ý nghĩ Sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học mang lại hiệu quả cao,

phát triển tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp, học sinh hiểu bài, nhớ lâu,thay cho ghi nhớ dưới dạng thuộc lòng, học vẹt Phù hợp với tâm sinh lí họcsinh, đơn giản dễ hiểu thay cho việc ghi nhớ lí thuyết bằng ghi nhớ dưới dạng sơ

đồ hóa kiến thức

Trong chương trình toán THPT, “Hình học không gian” được giới thiệu

trong SGK lớp 9 và được giải quyết hoàn thiện trong chương trình SGK hìnhhọc 11 Môn học này là một trong những môn học khó nhất đối với học sinhTHPT bởi tính trừu tượng của nó

Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơbản của bộ môn hình học không gian đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt

kiến thức đó để giải toán và áp dụng trong thực tiễn, tôi đã chọn đề tài “Phương

pháp sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy và học bộ môn hình học không gian lớp 11”

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

“Hình học không gian” là một môn học được SGK hình học 11 giới thiệu

đầy đủ từ định nghĩa, tính chất và ứng dụng trong giải toán, ứng dụng trong thựctiễn Đây là một môn học khó do đối tượng nghiên cứu của nó là các hình, cácvật, các khối trong thực tiễn cuộc sống (không gian ba chiều) nhưng học sinh lạiphải thể hiện được các hình, các vật, các khối, … trên mặt phẳng giấy(hình họcphẳng)

Học sinh phải nắm vững và hiểu sâu sắc để đưa vấn đề thực tiễn vào líthuyết và phải biết vận dụng lí thuyết ra thực tiễn cuộc sống Đây cũng là mộtmôn quan trọng đối với học sinh THPT bởi nó có tính thực tiễn cao và trong các

đề thi đại học cao đẳng, hình học không gian là bài toán luôn có mặt

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

1 Giải pháp thực hiện:

Để giải quyết vấn đề đó, tôi đề xuất ý tưởng sau :

 Cần cho học sinh tự hệ thống lại kiến thức trọng tâm sau mỗi buổihọc từ đó khắc sâu được kiến thức

 Từ các bài toán cụ thể, dẫn dắt học sinh tự đúc kết ra các kinhnghiệm giải toán Qua đó tự tìm ra thuật giải cho các bài toán khácnhau

 Cho học sinh thấy được mối liên hệ của kiến thức đang học với thựctiễn cuộc sống

2 Các biện pháp thực hiện:

Xuất phát từ thực tiễn, cho học sinh nhìn trực quan và tự đúc rút ra cáckhái niệm cơ bản và tính chất cơ bản

Rút ra hệ thống sơ đồ tư duy của lí thuyết và bài tập

Thực nghiệm sử dụng lí thuyết để giải toán

Từ các bài toán đưa ra mối liên hệ của các hình trong thực tiễn

PHẦN I: PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH NẮM VỮNG CÁC KIẾN

THỨC MỞ ĐẦU VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN.

1 Nắm vững các đối tượng cơ bản của hình không gian:

Đối tượng nghiên cứu cơ bản của hình không gian là điểm, đường thẳng

và mặt phẳng

2 Nắm vững quy tắc vẽ hình không gian: (4 quy tắc)

3 Nắm vững một số hình biểu diễn của các hình trong không gian:

 Tam giác thường, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông đềuđược biểu diễn bởi một tam giác có hình dạng bất kì

 ABC  ABCvuông tại A  ABCcân tại A  ABCđều

 Hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều được biểudiễn bởi một hình bình hành

Hình thang Hình thang vuông Hình thang cân

 Đường tròn được biểu diễn bởi một đường elip

4 Nắm vững các quan hệ được vẽ đúng trong hình học không gian:

 Quan hệ thuộc: điểm thuộc đường thẳng, điểm thuộc mặt phẳng,đường thẳng nằm trên mặt phẳng

 Quan hệ song song

QUA HỆ THỐNG SƠ ĐỒ TƯ DUY

Khi giải một bài toán hình học không gian, học sinh cần thực hiện qua cácbước cần thiết sau: đọc kĩ đề bài, phân tích giả thuyết của bài toán, vẽ hìnhđúng, đặc biệt cần xác định thêm các yếu tố khác: điểm phụ, đường phụ, mặtphẳng phụ (nếu cần) để phục vụ cho quá trình giải toán

Trong hệ thống lí thuyết và bài tập của hình học không gian, cũng nhưtrong thực tiễn cuộc sống ta có thể chia thành năm bài toán lớn như sau:

Bài toán 1: “Tìm tương giao” bao gồm: giao điểm của hai đường thẳng,

giao điểm của đường với mặt và giao tuyến của hai mặt phẳng

Bài toán 2: “Quan hệ song song” bao gồm chứng minh và dựng hình:

hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặtphẳng song song

Bài toán 3: “Quan hệ vuông góc” bao gồm chứng minh và dựng hình:

hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặtphẳng vuông góc

Bài toán 4: “Bài toán về góc” bao gồm xác định và tính: góc giữa hai

đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

Bài toán 5: “Bài toán về khoảng cách” bao gồm xác định và tính:

khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đếnmột mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, khoảng cách giữahai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Trong mỗi bài toán lớn sẽ có bao gồm nhiều bài toán nhỏ, đặc điểm nữa là

nó không tập trung ở một chương, một bài, không được giải quyết đồng bộ mộtlúc mà nó nằm rải rác trải dài theo các chương và các bài khác nhau Vậy để dạy

tốt và học tốt thì vấn đề đặt ra là người giáo viên phải biết hướng dẫn học sinhnắm vững được nội dung trọng tâm nhất, bài toán mấu chốt để các bài toán nhỏkhác có thể đưa về nó Như vậy sẽ tạo nên tính lôgic cao và có hệ thống, giảmtải được các nội dung trong lí thuyết cơ bản, học sinh nhớ được trọng tâm củacác bài toán lớn

Bài toán 1: “Tìm tương giao”

Trong bài toán tương giao: giao điểm của hai đường thẳng, giao điểm củađường với mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng thì tìm giao điểm của haiđường thẳng là mấu chốt cơ bản

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là chúng đồng phẳng và có mộtđiểm chung duy nhất

Các tương giao khác đều có thể đưa được về tương giao cơ bản này

 Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết:

 Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán

Ví dụ 1:(Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB Gọi I, J lầnlượt là trung điểm của SA và SB M là một điểm thuộc đoạn SD sao cho IMkhông song song với AD

a) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với (ABCD)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với (SAC)

c) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với (SBC)

d) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với (IJM)

a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Tìm giao điểm của

hai đường thẳng

Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

ab

O

aO

P

QAB

IM AD = K

IM (ABCD)= K

b) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ học sinh khó mà tìm đượcđường thẳng nào trên mặt phẳng (SAC) có thể cắt được đường thẳng BM Trongtrường hợp học sinh yếu, kém, giáo viên có thể khéo léo hướng dẫn học sinh tiếpcận với đường thẳng SO qua việc tìm giao điểm O của AC và BD

c) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Với câu c) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng nào nằm trên(SBC) có thể cắt được đường thẳng IM Giáo viên có thể khéo léo hướng dẫnhọc sinh tiếp cận với đường thẳng SE qua việc tìm giao điểm E của AD và BC.d) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

BM

D

E

CF

Trong câu d) việc chọn đường thẳng nằm trong mặt (IJM) cắt được SCcần dựa vào điểm phụ được phát hiện trong câu c là điểm F và đường thẳng cầntìm là FJ.

Dựa vào hệ thống sơ đồ tư duy học sinh sẽ trình bày lại lời giải chi tiết vàđầy đủ

Ví dụ 2: (Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng)

Trong mặt phẳng () có tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC

và BD cắt nhau tại F Gọi S là một điểm nằm trên mặt phẳng ( ) Tìm giaotuyến của các mặt phẳng sau:

a) (SAB) và (SCD)

b) (SAC) và (SBD)

c) (SEF) và (SAD)

d) (SEF) và (SBC)

a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

b) Dự đoán sơ đồ tư duy của học sinh:

SA SD = S AC BD = F

(SAC) (SBD) = SF

B

EA

S

IM

JHF

DA

S

E

CB

F

c) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng của đường thẳng với mặt phẳng có thể thay việc tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng bằng việc tìm một điểm chung của hai mặt phẳng bằng việc tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và sử dụng quan hệ song song (Được bổ xung trong

chương II – quan hệ song song) theo nội dung của các định lí và hệ quả trongchương II – SGK hình học 11

Ví dụ 3: (Tìm giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng nhờ quan hệ song song)

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’

và CC’, P là một điểm thuộc đoạn BB’ Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’với (MNP)

Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Trong đó Nx phát hiện được nhờ quan hệ song song Trong (CDD’C’) kẻ

M

Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB

và CD ( ) là mặt phẳng chứa MN và song song với SA

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng ( ) với các mặt phẳng (SAB) và (SAC).b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi ( )

Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

a)

Mx phát hiện nhờ quan hệ song song

Trong (SAB) dựng Mx // SA

Oy phát hiện nhờ quan hệ song song

Trong (SAC) dựng Oy //SA

b)

Bài toán 2: “Quan hệ song song”

Bài toán “Quan hệ song song” được giới thiệu chủ yếu tập trung vào hai

vấn đề là chứng minh quan hệ song song và dựa vào quan hệ song song để dựng

hình Trong bài toán “chứng minh quan hệ song song” thì chứng minh hai

đường thẳng song song là mấu chốt cơ bản Các bài toán chứng minh khác đều

có thể đưa được về bài toán cơ bản này

 Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết:

/ / ( ) / / ( )

Để chứng minh đường thẳng a//b ta có thể sử dụng bốn cách chủ yếu sau:

Cách 1: Tìm được một mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và b Sau đó áp

dụng phương pháp chứng minh song song của hình học phẳng như tính chấtđường trung bình trong tam giác, định lí ta lét đảo, …

Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu:

/ /

/ / / /

 Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán:

Ví dụ 1: (Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, G lần lượt là trọng tâmcủa các tam giác ABC và ACC’ Chứng minh đường thẳng IG song song vớimặt phẳng (BB’C’C)

Chứng minh hai

đường thẳng song

song

Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Chứng minh hai mặt phẳng song song

Dự kiếm sơ đồ tư duy của học sinh:

Trong đó M, N lần lượt là trung điểm của BC và CC’

Học sinh chứng minh IG // MN dựa vào định lí ta lét đảo

Ví dụ 2: (Chứng minh hai mặt phẳng song song)

Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt.Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho

AM = BN Qua M, N dựng các đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD

và AF tại M’ và N’

a) Chứng minh mặt phẳng (ADF) song song với mặt phẳng (BCE)

b) Chứng minh mặt phẳng (DEF) song song với mặt phẳng (MM’N’N)

Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

a)

b) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Học sinh chứng minh M’N’ // DF và M’M // DC nhờ sủ dụng định lí ta létđảo

Bài toán 3: “Quan hệ vuông góc”

Trong bài toán “quan hệ vuông góc” tập trung vào bài toán chứng minh

về các quan hệ vuông góc trong đó chứng minh hai đường thẳng vuông góc là

mấu chốt cơ bản Các bài toán chứng minh khác đều có thể đưa về bài toán cơ

Cách 1: Đưa hai đường thẳng về cùng mặt phẳng và chứng minh hai

đường thẳng vuông góc theo phương pháp trong hình học phẳng

 Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán:

Ví dụ 1: (Chứng minh hai đường thẳng vuông góc)

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc Dựng

OH vuông góc với mặt phẳng (ABC); H nằm trên mặt phẳng (ABC) Chứng

minh H là trực tâm tam giác ABC

Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Ví dụ 2: (Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng)

Chứng minh hai

đường thẳng vuông góc

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chứng minh hai mặt phẳng vuông

góc

a

b

abP

B

A H

Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình vuông, SA  (ABCD) Gọi

M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SA, SD Chứng minh SC (ANM)

Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Ví dụ 3: (Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh

(AB’C’D)  (BCD’A’)

Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Bài toán 4: “Bài toán về góc”

(AB’C’D) (BCD’A’) A’B (AB’C’D)

“Bài toán về góc” bao gồm xác định và tính: góc giữa hai đường thẳng,

góc giữa đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

Trong đó, tính và xác định góc giữa hai đường thẳng là mấu chốt cơ bản Các bài toán khác đều có thể đưa về bài toán cơ bản này

 Sơ đồ tư duy dạng hệ thống lí thuyết:

Góc ( , ) ( ', ') a b  a b

Trong đó

/ / ' / / ' ' ' 0

 Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông

góc với đáy SA = a 6 Tính góc giữa

SCA gắn trong SAC

Học sinh thực hiện quá trình tính toán và có đáp số ( SC ABCD ,( )) 60o

b) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Góc giữa hai

đường thẳng

Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng

b

CD

O

HS

SA (ABCD)

Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh

Muốn tính góc ( AC HC, ) ta tính góc ACH Học sinh thực hiện quá trình tính toán và có đáp số  21

Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)

Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

B

Kẻ DE  SI (E  SI)

Để tính góc giữa DE và EB ta tính góc DEB Học sinh thực hiện tính toán

và có đáp số (( SAD SBC ),( )) arctan 7

Bài toán 5: “Bài toán về khoảng cách”

Trong bài toán tính khoảng cách thì bài toán tính khoảng cách từ một

điểm đến đường thẳng là mấu chốt cơ bản nhất Các bài toán tính khoảng cách khác đều đưa về được bài toán cơ bản này

 Sơ đồ tư duy để hệ thống lí thuyết:

d(M,a) = MH

H là hình chiếu vuông góc của M trên

a

Dựng mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P)

(Q)  (P) = aDựng MH  a (H  a)d(M,(P)) = d(M,a) = MH

Khoảng cách giữa đường Khoảng cách giữa hai Khoảng cách giữa hai

và song song với a

 Sơ đồ tư duy trong thực hành giải toán

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là SA = 2a Tính khoảng cách:

a) Từ S đến mặt phẳng (ABCD)

b) Từ trung điểm I của CD đến mặt phẳng (SHC) với H là trung điểm của AB

Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Học sinh gắn SH trong SAH thực hiện tính và có đáp số SH = 15

IK HC (K HC) IK SH

I

Học sinh gắn IK vào tam giác HIC thực hiện tính và có đáp số IK =

Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Học sinh gắn AI vào ABC và tính AI = 3

I

H

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=2a,

BC=3a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=4a Tính khoảng cáchgiữa hai đường thẳng :

a) SB và AD

b) SC và AB

a) Dự kiến sơ đồ tư duy của học sinh:

Học sinh gắn AI vào tam giác SAB tính và có đáp số AI = 4 5

KS

AB // DC DC (SCD)

d(SC,AB) = d(A,(SDC)) = AK

Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh dự thi học sinh giỏi, phụ

đạo học sinh yếu kém, tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm sử dụng sơ đồ tưduy trong giải toán, đặc biệt tôi đã áp dụng cụ thể trong việc giảng dạy bộ môn

hình học không gian lớp 11 Đây thực sự là một tài liệu hữu ích đã được tôi

kiểm chứng thực tế và cho kết quả tốt

Sau khi học xong khái niệm tôi lần lượt đặt ra các ví dụ để học sinh tự

giải Sau thời gian từ năm đến mười phút thực hiện kiểm chứng trên lớp với 45

học sinh 11 A1 năm học 2012 – 2013 thu được kết quả sau:

Nhận biết(nắm vững lý

thuyết)

Thông hiểu(có thể vận dụng lý thuyết để giải

toán)

Vận dụng linh hoạt (giải được đa số các bài

Kết quả học tập về môn toán năm học 2011 – 2012 là: 7 học sinh có học

lực giỏi, 13 học sinh có học lực khá, 21 học sinh có học lực trung bình

trung bình Các bài toán tổng quát với sơ đồ tư duy là “ ngọn đèn dẫn lối” cho

các em tìm thấy hướng đi của mình và kết quả tương đối khả quan:

Nhận biết(nắm vững lý

thuyết)

Thông hiểu(có thể vận dụng lý thuyết để giải

toán)

Vận dụng linh hoạt (giải được đa số các bài

II KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT:

Trên đây tôi đã giới thiệu một số phương pháp sử dụng sơ đồ tư duy trongdạy và học bộ môn hình học không gian lớp 11 Tôi đã áp dụng trực tiếp đối với học sinh mà mình dạy, thấy học sinh thực hiện lời giải nhanh hơn và kết quả tínhtoán chính xác hơn

Tuy nhiên vì thời gian thực hiện sáng kiến kinh nghiệm eo hẹp và quy

định hạn hẹp của số trang trong một sáng kiến kinh nghiệm nên không tránh

được những sai sót khi thực hiện đề tài Mong được sự góp ý của các bạn đồng nghiệp

để sáng kiến kinh nghiệm được hoàn chỉnh hơn.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của