skkn sử dụng giản đồ vecto quay trong giải bài tập dao động vật lí 12 thpt triệu thị trinh

Trong chương trình vật lý phổ thông, dao động dao động cơ, dao động điện, dòng điện xoay chiều, điện tích hay điện áp trên tụ điện của mạch LC… là phần kiến thức quan trọng thể hiện ở du

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

Hiện nay với việc chuyển đổi từ hình thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm trong các kì thi yêu cầu học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản mà cần có óc suy luận tốt, đủ thời gian giải bài tập cho kết quả chính xác Vì vậy, việc sử dụng phương pháp nào sao cho nhanh nhất để có kết quả chính xác cao là điều mà giáo viên và các

em học sinh rất chú trọng

Trong chương trình vật lý phổ thông, dao động (dao động cơ, dao động điện, dòng điện xoay chiều, điện tích hay điện áp trên tụ điện của mạch LC…) là phần kiến thức quan trọng thể hiện ở dung lượng lớn, có mặt trong tất cả các cấu trúc đề thi với

số lượng câu hỏi khá lớn, đặc biệt là đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi ĐH&CĐ

Các bài toán đặc thù về dao động điều hòa đều có thể giải bằng 3 phương pháp: đại số, phương pháp vectơ quay, phương pháp đồ thị Tuy nhiên mỗi bài ưu tiên một phương pháp nào đó hơn tùy thuộc vào dữ kiện của bài toán và sở trường tư duy của từng người

Phương pháp sử dụng giản đồ vectơ quay để giải các bài tập về dao động là phương pháp mang tính tổng quát cao, dễ vận dụng, cho kết quả nhanh và chính xác, tránh được các phép tính dài dòng phức tạp

Xuất phát từ vị trí và ý nghĩa thiết thực của phương pháp sử dụng giản đồ vectơ

quay nên tôi chọn đề tài: “ Sử dụng giản đồ vectơ quay trong giải bài tập dao

động Vật lý 12”, nhằm giúp cho học sinh có thể nắm được phương pháp và từ đó

chủ động vận dụng trong khi làm bài tập

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

1 Cơ sở lý luận:

* Kiến thức liên quan đến mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn

đều được đưa ra trong sách giáo khoa Vật lý 12 ( bài 6- chương trình nâng cao và bài

1 – chương trình chuẩn); sách Bài tập Vật lý 12 (chương trình chuẩn và nâng cao) và

ở một số sách tham khảo

* Số tiết bài tập vận dụng trên lớp thực hiện theo Phân phối chương trình không

nhiều nên học sinh không được luyện tập nhiều bài tập dạng này

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:

2.1 Cơ sở lý thuyết

Để biểu diễn dao động điều hòa xAcos(  t  )(*) người ta dùng một vectơ

OM ( hoặc vectơ quay ) có độ dài là A (biên độ), quay đều quanh điểm O trong mặt phẳng chứa trục Ox với tốc độ góc là 

Ở thời điểm ban đầu t = 0, OM hợp với trục gốc Ox một góc bằng pha ban đầu

Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và OM là t  , góc đó chính là pha của dao động

Độ dài đại số của hình chiếu vectơ quay OM trên trục Ox sẽ là:

chx OM =OP Acos( t  )

đó chính là biểu thức trong vế phải của (*) và là li độ x của dao động

Như vậy: Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của vectơ quay OM biểu diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động.

(theo SGK Vật lý 12 Nâng cao – Nhà xuất bản Giáo dục)

* Chú ý:



t

M (t 0) +

M (t =0)

 chỉ quay theo một chiều duy nhất là chiều ngược chiều kim đồng hồ

2.2 Các dạng bài tập:

A Dạng 1: Sử dụng vectơ quay để xác định khoảng thời gian vật thực hiện một

quá trình:

A.1 Phương pháp giải

Bước 1 Xác định vị trí của điểm đầu M1 và cuối M2 trên đường tròn

Bước 2 Xác định góc quét  của vectơ quay biểu diễn dao động khi vật đi từ M1 đến

M2

Bước 3 Thời gian vật thực hiện quá trình là: t t T













2     



A.2 Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Định thời gian theo li độ Một

vật dao động điều hoà với phương trình x = 5cos(8 t +3 )cm Xác định thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ 2,5cm đến li độ -2,5 3cm?

* Giải:

Thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ 2,5cm đến li độ

-2,5 3cm tương ứng với vật chuyển động trên

đường tròn từ vị trí M1 đến vị trí M2 (vận tốc

trên trục x chưa đổi chiều):

2

3 5

3 5 , 2 sin

6 5

5 , 2 sin







































Thời gian vật ngắn nhất vật đi từ M1 đến M2 là ( )

16

1 8











Bài tập 2: Định thời gian theo lực



O

M 1 M

2

x

2,5 -2,5

Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với phương trình

x = 5cos(5t + ) (cm) (gốc tọa độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống) Biết độ cứng của lò xo là 100N/m và gia tốc trọng trường tại nơi đặt con lắc là

g =  2 (m/s 2 ) Trong một chu kì, tìm khoảng thời gian lực đàn hồi tác dụng lên quả nặng có độ lớn lớn hơn 1,5N ?

* Giải: Tại vị trí cân bằng, độ dãn của lò xo là: l g 0 , 04m

) 5 ( 2

2









đàn hồi tác dụng lên quả nặng:

) ( 5

cos(

5 4 ) 5 cos(

05 , 0 100 04 , 0 100 )

k

F                

Nhận xét: lực đàn hồi biến thiên điều hòa với biên độ 5N xung quanh vị trí cân bằng

có F = 4N Ta biểu diễn lực đàn hồi qua vectơ quay như sau

Khoảng thời gian lực đàn hồi tác dụng lên quả nặng có độ lớn lớn hơn 1,5N tương ứng với thời gian vật chuyển động từ M1 đến M2 trên đường tròn Góc do vectơ quay quét được trong thời gian đó là:

3

4 3

2 2

3 5

5 , 2 cos



























15

4 5

3

4

s











Bài tập 3: Định thời gian theo vận tốc

Một vật dao động điều hoà với chu kì 2s biên độ bằng 5cm Tính thời gian ngắn nhất

để vật tăng tốc từ 2,5 cm/s đến 5 cm/s?

M 1

M 2

F

9

1

 1,5

* Giải: Tốc độ cực đại: 5 ( / )

2

2 5

v       Đây là biên độ của vận tốc Thời gian ngắn nhất để vật tăng tốc từ 2,5 cm/s đến 5 cm/s tương ứng với thời gian vật chuyển động trên đường tròn từ vị trí M1 đến vị trí M2 :

cos 25,5  3





3

1











Bài tập 4: Định thời gian theo năng lượng

Một vật dao động với phương trình x = 2cos3t (cm) Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có động năng bằng thế năng đến vị trí động năng bằng 3 lần thế

năng?

* Giải: Đối với dạng toán này ta nên đưa về tính theo li độ

Tại vị trí có động năng bằng thế năng: W = Wđ + Wt = 2Wt

mω x x A2

2

1 2 A mω 2

1

1 2 1 2 2

2











Tại vị trí có động năng bằng ba lần thế năng: W = Wđ + Wt = 4Wt

mω x x A2

2

1 4 A mω 2

1

2

2 2 2 2



Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có x1   A2

đến x1   A2 tương ứng với thời gian vật chuyển

động trên đường tròn từ vị trí M1 đến vị trí M2 :

M 1

M 2

2

A



2

A



A

   A x

M 1

M 2 v

 5 ,

2



5

O



12 5

6

2 sin

4

2 sin







































A A A A

36

5 3

12

5

s











A.3 Bài tập đề nghị:

Bài 1: Một vật dao động với tần số 2Hz và biên độ 4cm Tính thời gian ngắn nhất để

vật đi giữa 2 li độ 2cm và -2 3cm ? Đs: s

8 1

Bài 2: Một vật dao động điều hoà có vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng là 6 cm/s

Tính thời gian ngắn nhất để vật thay đổi vận tốc từ 3 2 (cm/s) đến 3 3(cm/s) ? Đs: T s

24

Bài 3: Một vật dao động với phương trình x = 2cos3t (cm) Tính thời gian ngắn

nhất để vật đi từ vị trí ban đầu đến vị trí động năng bằng 3 lần thế năng?

Đs: s

18 1

Bài 4: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có độ cứng K = 100N/m Vật có khối

lượng 0,5 kg dao động với biên độ 5 2cm Tính thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có lực tác dụng lên điểm treo cực đại đến vị trí lực tác dụng lên điểm treo cực tiểu? Lấy g = 10m/s2 Đs: 0,17s

B Dạng 2: Sử dụng vectơ quay xác định thời điểm vật qua một vị trí cho trước:

B.1 Phương pháp giải

M 0

M 1



x1

Bước 1 Cần xác định chính xác vị trí của vật ở thời điểm ban đầu trên đường tròn (vị

trí M0)

Bước 2 Xác định vị trí có tọa độ x1 mà vật sẽ đi qua theo bài ra trên đường tròn (vị trí M1 hoặc M2)

Chú ý: Vị trí có toạ độ x = x1 tương ứng có 2 vị trí trên đường tròn, vị trí đó khi vật đang đi theo chiều âm (M1) và vị trí đó khi vật đang đi theo chiều dương (M2)

Bước 3 Nếu tìm thời điểm qua x1 theo chiều âm ta làm như sau:

Xác định khoảng thời gian vật đi từ vị trí M0 tới M1 lần đầu tiên từ công thức:

   t t 

Trong đó là góc mà véc tơ quay biểu diễn dao động điều hoà đã quét được khi vật

di chuyển từ vị trí M0 đến M1

Bước 4 Thời điểm cần tìm là:

t t2n (nN)( 1 )





Bài toán thường gặp: Vật đi qua vị trí x = x1 lần thứ k theo chiều âm

Trong biểu thức (1) lấy n = k-1

* Chú ý:

- Nếu tìm thời điểm qua x1 theo chiều dương ta làm tương tự chỉ khác là khoảng thời gian là khoảng thời gian từ vị trí đầu M0 đến vị trí M2 trên đường tròn

- Trường hợp bài toán không kể đến chiều chuyển động của vật khi qua vị trí x1 thì phức tạp hơn Tuy vậy có thể tìm ra quy luật xác định sau:

 Nếu bài toán là: Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x1 lần thứ n với n

là số lẻ thì thời điểm cần tìm là:

.2 ( )( 2 )

2

1

N n n

t





Trong đó là khoảng thời gian vật đi từ vị trí ban đầu M0 đến vị trí M1

Giải thích biểu thức:

- Trong khoảng thời gian vật tới M1 nghĩa là qua x1 lần thứ nhất Để vật qua x1 lần thứ n = 3 thì véctơ bán kính phải quay được 1 vòng Thời gian vật đi khi véc tơ quay

được 1 vòng đúng bằng





2 2

1

3 

Để vật qua vị trí x1 lần thứ n = 5 thì véctơ bán kính phải quay thêm 2 vòng kể từ thời điểm t = Khoảng thời gian cần dùng để véc

tơ bán kính quay thêm hai vòng này là:





2 2

1

5 

Vậy công thức (2) là hoàn toàn chính xác

 Nếu bài toán là: Tìm thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x1 lần thứ n với n là

số chẳn thì thời điểm cần tìm là:

.2 ( )( 3 )

2

2

N n n

t





Trong đó là khoảng thời gian vật đi từ vị trí ban đầu M0 đến vị trí M2

Giải thích biểu thức:

- Trong khoảng thời gian vật tới M2 nghĩa là qua x1 lần thứ hai Để vật qua x1 lần thứ n = 4 thì véc tơ bán kính phải quay được 1 vòng Thời gian vật đi khi véctơ quay được 1 vòng đúng bằng:





2 2

2

4 

Để vật qua vị trí x1 lần thứ n = 6 thì véctơ bán kính phải quay thêm 2 vòng kể từ thời điểm t = Khoảng thời gian cần dùng để véc

tơ bán kính quay thêm hai vòng này là:





2 2

2

6 

Vậy công thức (3) là hoàn toàn chính xác

B.2 Bài tập ví dụ:

Bài tập 1: Cho một dao động điều hoà có phương trình: )( )

3 2 cos(

x   

Xác định thời điểm vật qua vị trí x=-3cm lần thứ 2011 theo chiều âm.

* Giải:

Tại thời điểm ban đầu t = 0, tọa độ vật là ) 3 ( )

3 cos(

Vị trí ban đầu trên đường tròn là M0

Vị trí vật qua x = -3cm theo chiều âm là vị trí M1 trên đường tròn

Thời gian vật đi từ M0 đến M1 là







t

Với   2  (rad/s); sin2 63  3

x

M 0

M 1

O



3

- 6

Suy ra ( )

6

1 2











Vì vật qua lần thứ 2011 nên ta có n =2010

2

2010 2 6

1 2

s n

t









Bài tập 2: Cho một dao động điều hoà có phương trình: )( )

6 5 cos(

x    Xác định thời điểm vật qua vị trí x = -5 2cm lần thứ

2012 theo chiều dương?

* Giải: Tại thời điểm ban đầu t = 0, tọa độ vật là ) 5 3 ( )

6 cos(

Vị trí ban đầu trên đường tròn là M0

Vị trí vật qua x = -5 2cm theo chiều dương là

vị trí M1 trên đường tròn

12

13 4 2

3

4 10

2 5 cos

; 3 10

3

5

sin













































60

13 5

12

13

s

t   











Vì vật qua lần thứ 2012 nên n =2011

2

2011 2 60

13 2

s n

t









Bài tập 3: Cho một dao động điều hoà có phương trình: )( )

3 2 cos(

x   

Xác định thời điểm vật qua vị trí x = -3cm lần thứ 2011.

* Giải:

Làm hoàn toàn tương tự như bài tập 1

Vật qua lần thứ n = 2011 là số lẻ nên kết quả là :

2

2 2

1 2011 6

1 2 2

1

s n

t









x O

M 0

M

1



10

- 10

5



Bài tập 4: Cho một dao động điều hoà có phương trình: )( )

6 5 cos(

x    Xác định thời điểm vật qua vị trí x = -5 2cm lần thứ

2012?

* Giải:

Làm hoàn toàn tương tự như bài tập 2

Vật qua lần thứ n = 2012 là số chẵn nên kết quả là :

5

2 2

2 2012 60

13 2 2

2

s n

t









B.3 Bài tập đề nghị:

Bài 1: Cho một dao động điều hoà có phương trình: )( )

4 5 cos(

Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 5 3 cm lần thứ 1001? Đs: 200,017s

Bài 2: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục x theo phương trình

) )(

6 2

cos(

x    Tìm thời điểm vật qua vị trí x = 2 , 5 2cm lần thứ 1999 theo chiều dương? Đs: 1998,96s

Bài 3: Cho một dao động điều hoà có phương trình: )( )

2 5 cos(

x  

Xác định thời điểm vật qua vị trí x = 3 3 cm lần thứ 2012 theo chiều âm?

Đs: 804,33s

C Dạng 3: Sử dụng vectơ quay tính tần suất của dao động:

Do tính tuần hoàn của dao động điều hoà nên một vị trí bất kỳ có thể được vật

đi qua nhiều lần Trong dạng này ta tìm số lần vật đi qua một toạ độ hoặc trạng thái nào đó bao nhiêu lần trong một khoảng thời gian nhất định

C.1 Phương pháp

Trước khi tìm hiểu chi tiết phương pháp giải toán dạng này ta có các nhận xét sau

- Mỗi 1 chu kỳ vật qua vị trí bất kỳ 2 lần (riêng với điểm biên thì 1 lần) Mỗi một chu kỳ vật đạt vận tốc v hai lần ở 2 vị trí đối xứng nhau qua vị trí cân bằng và đạt tốc độ v bốn lần mỗi vị trí 2 lần do đi theo 2 chiều âm, dương.

- Mỗi chu kỳ lực đàn hồi cực đại 1 lần ở 1 biên và cực tiểu 1 lần ở biên kia nếu

l (ở vị trí cân bằng ) lớn hơn A và đạt cực tiểu( bằng không) 2 lần ở một vị trí

x = - l nếu l < A.

- Mỗi chu kì lực phục hồi (hợp lực) cực đại 2 lần ở 2 biên và cực tiểu (bằng không) 2 lần ở vị trí cân bằng

- Đối với gia tốc thì kết quả như với li độ

- Chú ý: Nếu t = 0 tính từ vị trí khảo sát thì cả quá trình được cộng thêm một lần vật đi qua li độ, vận tốc… đó

*Phương pháp:

 Bước 1: Vẽ đường tròn Fresnen bán kính A

 Bước 2: Xác định tọa độ ban đầu của vật , suy ra vị trí của M0 trên đường tròn

và tọa độ góc của véc tơ quay OM0 (0)

 Bước 3: Xác định vị trí đề bài cho (x) trên giản đồ  tọa độ góc của véc tơ quay ứng với vị trí đề bài cho 

 Bước 4: Dựa vào khoảng thời gian đề bài cho, lập biểu thức t = nT + t’ Trong đó n là số tự nhiên, t’ gọi là khoảng thời gian dư  số lần cần tìm N = 2.n +N’ (N’ là số lần qua vị trí x trong thời gian t’)

 Bước 5: Tính N’

- Từ t’  cung tròn bán kính quỹ đạo quét được trong khoảng thời gian dư

(cung dư) t’:  = t’  từ đó  vị trí cuối quá trình  = 0 + 

- Đếm số giao điểm của cung dư với vị trí đề bài cho

- Nếu khi t = 0 vật xuất phát từ vị trí x0 khác x thì N’ = số giao điểm nói trên

- Nếu khi t = 0 vật xuất phát ngay từ x0 = x thì N’ = số giao điểm trên cộng thêm 1

C.2 Bài tập vận dụng:

Bài tập 1: Định tần suất theo li độ

Một con lắc dao động với phương trình x = 3cos(4t- /3)(cm) Xác định số lần vật qua li độ x = 1,5cm trong 1,2s đầu?

* Giải:

Vị trí ban đầu của vật ứng với tọa độ góc - /3

trên giản đồ hình (điểm B)

Mặt khác ta cần tìm số lần đi qua li độ 1,5cm ứng

với 2 điểm A,B

Ta có t = 1,2 s; T = 0,5s  t = 2T + 0,2 (s)

 N = 2.2 + N’(1)

Tính N’

Độ lớn cung dư BM:  = 4.0,2 = 0,8  cung dư đi qua A 1 lần

Do khi t = 0 vật đã xuất phát từ x0 = x = 1,5 cm nên N’ = 1+ 1 = 2

Thay vào (1) ta có N = 6

Bài tập 2: Định tần suất theo vận tốc

Một vật dao động với phương trình x = 4cos3t cm Xác định số lần vật có tốc độ 6 cm/s trong khoảng 1,25 s đầu tiên.

* Giải : Lúc t = 0 : x = 4 cm = A => v = 0 , tương ứng là điểm B trên hình.

Tốc độ cực đại của vật : vmax = A = 4.3 = 12 (cm/s)

Số lần vật có tốc độ 6 cm/s ứng với 4 điểm M, N, P, Q

trên hình vẽ

Ta có t = 1,25 s; T = 32 s  t = 1T + 0,875.T (s)

 N = 1.4 + N’(1)

Độ lớn cung dư BI:  = 2 .

T



0,875T = 1,75

 cung dư đi qua M, N, P 1 lần

Thay vào (1) có : N = 4 + 3 = 7

Bài tập 3: Định tần suất theo năng lượng

A

B M

H×nh 7.2

A

B M

H×nh 7.2

A

B M

H×nh 7.2

v

B M

Q

12

-12

-6 66

 I

Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật nặng 200g và lò xo có độ cứng

K = 50N/m Xác định số lần động năng bằng thế năng trong 1,5s đầu Biết t = 0 khi vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương Lấy  2 = 10

* Giải :

Tại vị trí có động năng bằng thế năng: W = Wđ + Wt = 2Wt

mω x x A2

2

1 2 A mω 2

1

1 2 1 2 2

2











Số lần vật có động năng bằng thế năng ứng với 4 điểm M, N, P, Q trên hình vẽ

k

m

4 , 0 50

2 , 0 2

 t = 3T + 0,75T (s)

 N = 3.4 + N’(1)

Độ lớn cung dư BI:  = 2 .

T



0,75T = 1,5

 cung dư đi qua M, N, P 1 lần

Thay vào (1) có : N = 3.4 + 3 = 15

Bài tập 4: Định tần suất theo lực

Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có độ cứng K = 100N/m Vật có khối lượng 0,1 kg dao động với biên độ 2cm Biết lúc t = 0 vật ở vị trí thấp nhất Tính số lần lực tác dụng lên điểm treo cực tiểu trong khoảng thời gian từ t = 0,5s đến

t = 1,25 s ?

* Giải :

Lực tác dụng lên điểm treo chính là lực đàn hồi

m

10

2 )

/ ( 10 1 , 0

100





















B

M

N P

A

2

A

I