skkn hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích 12. thpt vĩnh lộc

Lời nói đ ầu Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,….. Ta còn gặpcác

MỤC LỤC

Tran

g

A.Đặt vấnđề 2

I.Lời nói đầu 2

II.thực trạng của vấn đề 2

B.Giải quyết vấn đề 3

I Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng 3

II Các dạng bài tập thường gặp 3

C.Kêt luận 20

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

A.ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lời nói đ ầu

Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen

thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,… Ta còn gặpcác bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điềukiện cực trị Đây là dạng Toán khó, chỉ có trong chương trình nâng cao và đề tuyểnsinh Đại học cao đẳng

Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toánkhông chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Nếu tabiết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phươngpháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc

Trong thưc tế giảng dạy, tôi nhận thấy nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản

trong hình học không gian, không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ,phương pháp độ trong không gian Đặc biệt khi nói đến các bài toán về cực trịtrong hình học thì các em rất “ Sợ” Trước khi làm chuyên đề này tôi đã khảo sát ở

2 lớp 12A và 12B với tống số 90 học sinh, kết quả đạt được như sau

Khôngnhận

biếtđược

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và biết vận dụng, chưa giải được hoàn chỉnh

Nhận biết và biết vận dụng, giải được bài hoàn chỉnh

Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các

học sinh tự học, tự nghiên cứu.Tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề “Hướng dẫn học

sinh giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12”.

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)α))

-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α).)

-Viết phương trình đường thẳng MH(qua M

và vuông góc với (α).))

- Tìm giao điểm H của MH và (α).)

*Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với Mqua

mặt phẳng (α).) thì ta vẫn tìm hình chiếuH của M

lên (α).), dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ

M’

b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên

đường thẳng d:

-Viết phương trình tham số của d

- H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi

-Tìm t, suy ra tọa độ của H

và đường thẳng d hay mặt phẳng (α)α)) Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α)α)) sao cho k MA1              1               k MA2 2                k MA n n

có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

-Tìm điểm I thỏa k IA + k IA + + k IA1              1              2 2               n              n  0

-Biến đổi : k MA + k MA + + k MA = (k + k + + k )MI = k MI1 1  2 2  n n 1  2  n

 Tìm vị trí của M khi MI

đạt giá trị nhỏ nhất

,C 1;-7;0  Tìm điểm M trên mặt phẳng (α).) sao cho :

Giải: Gọi điểm G thỏa GA + GB +GC = 0    thì G là trọng tâm của tam giác ABC và

MG nhận n = (2; -2; 1) làm vecto chỉ phương

Phương trình tham số MG

4t – 2(-2- 2t) + 3(1+3t)+ 10 = 0  17t 17 0    t  1

Vậy với M(-2; 0; -2) thì                                           

MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất

2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa                                            3                0

MA -2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất

= k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) hay đường thẳng) sao cho tổng T =

= 2

(k + + k )MI +k IA1 12 k IA2 22  k IAn 2n+ 2MI(k IA + + k IA )                             1 1               n n

= kMI 2+k IA1 12 k IA2 22  k IAn 2n

Do k IA1 12 k IA2 22  k IAn 2n không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất khi

MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng

Ta có: MA2 + MB2 = (MI + IA) +(MI + IB)                             2                             2

IA + IB +2MI +2MI(IA + IB)

                

=IA + IB +2MI 2 2 2

Do IA + IB 2 2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay

M là hình chiếu vuông góc của I lên (α).)

Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp nα)  (1;2; 2)

Phương trình tham số MI: 3

232

Nhận xét: Với I là trung điểm AB thì MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + 2

2

AB

, do AB 2 không đổi nên MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi MI 2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α)α)).

2)Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = 0               

Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp n α).  (1; 2; 2)

Phương trình tham số MJ:

1; -2), B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm điểm M trên d sao cho

1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất

2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất

M thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất

2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = 0    thì G là trọng tâm tam giácABC và G(2; 1; 1)

M thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α)α)) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm

A,B không thuộc (α)α)) Tìm điểm M trên (α)α)) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

1.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm về hai phía với (α).).Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm của (α).) và AB

2.Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một phía với (α).).Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α).) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạtgiá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α).) và A’B.

Giải:

Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α).) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của(α).)

Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α).)

Đường thẳng AB qua điểm B, nhận  (1; 1;0) 



Phương trình tham số của AB:

vecto chỉ phương

Phương trình tham số AA’:

1 2

Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (α).) ứng với t của phương trình

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α).) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm

A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M trên d sao cho

1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất2) MA - MC có giá trị lớn nhất

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α).) có phương

trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm điểm M trênmặt phẳng (α).) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0  6t – 3 = 0 hay t =1 H( ; ;0)3 3

Do H là trung điểm AA’ nên

' ' '

2

1 '(2; 1; 1) 1

Vậy với ( ;1;13 4)

5  5

M thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất

2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α).) ta thấy hai điểm nằm về hai phíacủa (α).).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).)

Ta thấy MA - MC  MA' - MC  A'C.Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất khi Mthuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α).)

Đường thẳng A’C có vtcp   ( 1; 3; 3)  

 A'C

Phương trình tham số A’C:

Vậy với ( ;5 5; 5)

4  4  4

M thì MA - MC có giá trị lớn nhất

Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm

điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

- Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t

- Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB

- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t

- Tính tọa độ của M và kết luận

x-1 y + 2 z-3

1 và hai điểm C(4; 1; 1), D(3; 6;

Đường thẳng d có phương trình tham số

1 2

2 2 3

Ta có u.CD= 14 -10 – 4 = 0  d  CD

Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d

(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận u (2; 2;1)  làm vecto pháp tuyến

Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0

Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d vàmp(P)

Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:

2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0 9t + 18   0 t  2

Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng: 2 2 17 

là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên.

Lời giải:

- Lấy M d1 và N d2( tọa độ theo tham số)

- Giải hệ phương trình   1  0

Ta có [ 1,

u  2

u ] 1 2

M M = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168 0Hay d1 và d2 chéo nhau

2) M d1 và N d2 sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ dàiđoạn vuông góc chung của d1 và d2

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng

1) Chứng minh d1, d2 chéo nhau

2) Tìm điểm M d1 và N d2 sao cho độ dài MN ngắn nhất

Phương trình tham số của hai đường thẳng

d1:

5

1 2 11

t t

trị nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, hay MH là đoạn

vuông góc chung của AB và d

u là véc tơ chỉ phương của AB

Phương trình tham số AB

1

2 '

3 '

t t

M(2 + t; 4+ t; -2)  d,H(1; 2+ t’;3+t’)  AB,  (

MH -t -1; t’ – t -2; t’ +5)

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d:

2 4 2

và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1) Tìm điểm

M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất

Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N

Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R =

MN khi và chỉ khi MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox.Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp u (0;1; 1) 

Phương trình mặt cầu (S): 2 ( 1)2 ( 1)2 1

2 Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng.

Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B Viết

phương trình mặt phẳng (α)α)) đi qua A và cách B

một khoảng lớn nhất.

Lời giải:

Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng

(α).), khi đó tam giác ABH vuông tại H và khoảng

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:

0

2

t t

Trong các mặt cầu tiếp xúc

với cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S)

có bán kính nhỏ nhất

cách d(B; (α).)) = BH ≤ AB Vậy d(B; (α).)) lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α).)

là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB

Giải:

(α).) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α).) là mặt phẳng đi qua D vàvuông góc với DI

(α).) nhận  (2;

DI 1; -5) làm vecto pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng(α).): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) = 0  2x + y – 5z + 15 = 0

Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A Viết phương trình

mặt phẳng (α)α)) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α)α)) lớn nhất

khi đó (α).) là mặt phẳng đi qua ∆ và vuông góc

với AK Hay (α).) qua ∆ và vuông góc với mp(∆, A).

Giải:

Mặt phẳng (α).) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất khi (α).) đi quahai điểm A, B và vuông góc với mp(ABC)

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α).) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm

I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất

Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1) Viết phương

trình mặt phẳng (α).) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn

nhất

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α).) là mặt phẳng qua B.Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α).), hãy viết phương trình mặt cầu(S) có bán kính lớn nhất

(ABC) có véctơ pháp tuyến  [ , ] ( 1;4; 5)   

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α)α)) và điểm A thuộc (α)α)), lấy B không thuộc (α)α)) Tìm

đường thẳng ∆ nằm trong (α)α)) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi

A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong

(α).) và vuông góc với AB.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của

B lên (α).) khi đó d(B; (α).)) = BH ≥ BK

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi

K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai

điểm A, K

Giải:

Ta thấy (α).)có véctơ pháp tuyến   (2; 2;1) 

 n

1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α).)

Phương trình BH:

2 2

3 2 5

2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α).), qua A và vuông

góc với AB

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α).): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3)

Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α).), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5)một khoảng :

1) Nhỏ nhất 2) Lớn nhất

∆ có véctơ chỉ phương                                             [ , ] (16;11; 10)  

u AB n

Phương trình của ∆:

16 11  10 x+3 y-3 z +3

Giải:

1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp ud  (1;0; -1 ),    ( 2;2;0)

MB [ ,d ] (2;2;2) 2(1;1;1) 2    

2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α).), để d(A, ∆1) nhỏ nhất khi ∆1 đi qua hai điểm

B,H Phương trình tham số AH:

2 1 1

t t

Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình:

3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớnnhất khi K ≡ B hay ∆2 nằm trong (α).)và vuông góc với AB

1) Viết phương trình mặt phẳng (α).) đi qua d và B

2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoảngcách từ A đến ∆1 lớn nhất

3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoảngcách từ A đến ∆2 nhỏ nhất

Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α)α)) và điểm A thuộc (α)α)), đường thẳng d không song

song hoặc nằm trên (α)α)) và không đi qua A.

Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α)α)), đi qua A

sao cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn

nhất.

Lời giải:

Gọi d1 là đường thẳng qua A và song

song với d, B là giao điểm của d với (α).)

Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình

chiếu vuông góc của B lên (P) và d1.

Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH và

BH ≤ BI nên BH lớn nhất khi I ≡ H, khi đó ∆ có vtcp                 [ , ]

Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d

Phương trình tham số đường thẳng d1:

1

1 2 1

Đường thẳng ∆ có vtcp                 [ , ]

u BI n = (-5; -10; 4)Phương trình ∆:

Phương trình tham số đường thẳng ∆1:

1 2 1

Đường thẳng d có vtcp  d               [ ,1 ]

u u n = (40; 29; 69)Phương trình d :

40  29  69 x-1 y+1 z -2

Bài toán 5: Cho mặt phẳng (α)α)) và điểm A thuộc

(α)α)), đường thẳng d không song song hoặc nằm

trên (α)α)) Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α)α)), đi

qua A và tạo với d góc lớn nhất, nhỏ nhất.

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường thẳng ∆