skkn bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn môn toán lớp 10

PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦUI.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Bất đẳng thức và các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là các vấn đề đã được đề cập trong chương trình sách giáo kh

MỤC LỤC

Trang

Mở đầu

I Lý do chọn đề tài

II Mục đích nghiên cứu

III Phạm vi nghiên cứu

IV Cơ sở nghiên cứu

V Phương pháp nghiên cứu

VI Thời gian nghiên cứu

VII Giới hạn của đề tài

2333333

PHẦN THỨ NHẤT : MỞ ĐẦU

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Bất đẳng thức và các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là các vấn đề đã được đề cập trong chương trình sách giáo khoa môn toán ở bậcTrung học phổ thông Thời gian giảng dạy chủ đề này không nhiều, mức độ bài tậptrình bày trong sách giáo khoa và sách bài tập đều ở dạng cơ bản Tuy nhiên trongcác kỳ thi Đại học và các kỳ thi học sinh giỏi thì các bài toán về bất đẳng thức và tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lại là một đỉnh cao mà rất ít học sinh có thể vượt qua.Rất nhiều học sinh còn lúng túng trước các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất của biểu thức đặc biệt là học sinh lớp 10

Trong những năm gần đây thực hiện chương trình giảm tải của Bộ giáo dục,môn toán chương trình ban cơ bản của lớp 10 còn 3 tiết trên tuần Trường THPTNguyễn Trung Ngạn xây dựng kế hoạch giảng dạy thêm một tiết tự chọn dành chomôn toán dạy theo chủ đề bám sát Căn cứ vào kế hoạch của nhà trường, của Banchuyên môn, Tổ toán đã xây dựng kế hoạch dạy tự chọn môn toán lớp 10 theo từngchủ đề, bám sát với phân phối chương trình của Sở giáo dục trong đó có chủ đề : Tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biếu thức, chủ đề này được thực hiện sau khi họcsinh học xong bài Bất đẳng thức

Năm học 2012-2013 tôi được nhà trường phân công giảng dạy lớp 10A1.Thực

tế trong những năm học trước bản thân tôi cũng đã có những băn khoăn trăn trở vềcách hướng dẫn học sinh học giờ tự chọn như thế nào cho hiệu quả và làm thế nào đểhọc sinh có hứng thú học trong các giờ tự chọn? Trong khi tài liệu chung để học sinh

và giáo viên tham khảo không có Khóa học 2008 - 2011 tôi đã mạnh dạn đưa một sốdạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào giảng dạy ở giờ tự chọn và họcsinh đã có hứng thú trong việc giải các dạng bài tập đó.Tuy nhiên kết quả thi học sinhgiỏi cấp tỉnh học sinh chỉ đạt giải ba, còn thi đại học mới có một số em đạt điểm 9khối A và khối B Trong năm học này tôi mạnh dạn giới thiệu cho học sinh lớp 10

một số dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức để giúp bồi dưỡng

tư duy cho học sinh, nâng cao năng lực, rèn luyện kỹ năng giải toán và đặc biệt tạo cho học sinh hứng thú học trong giờ tự chọn và lòng đam mê chinh phục đỉnh cao trong các kỳ thi sắp tới

Các bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất có một vị trí quan trọng trongcác kỳ thi và nó có sức hấp dẫn đối với học sinh khá giỏi và cả những người say mêtoán.Đối với đối tượng học sinh lớp 10 các em chưa học đạo hàm nên chỉ dừng lại ởmột số phương pháp cơ bản để giải các bài toán đó.Tuy nhiên thời gian dạy chủ đềnày không nhiều nên tôi chỉ dừng lại ở việc giới thiệu các bài toán tìm giá trị lớnnhât, giá trị nhỏ nhất bằng bất đẳng thức giúp cho các giờ học tự chọn đạt hiệu quả vàhọc sinh thích học giờ tự chọn hơn Chính vì lý do đó tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến

“ Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn môn toán lớp 10” Xin trao đổi

cùng các đồng nghiệp

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Giúp học sinh lớp 10 nâng cao khả năng tư duy toán học, có những suy nghĩtích cực trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.Học sinh thích học cácgiờ tự chọn hơn, đồng thời qua đó giúp học sinh say mê nghiên cứu toán học, hamhọc hỏi Tạo cho học sinh có niềm tin, mơ ước chinh phục được đỉnh cao của trí tuệ

III PHẠM VI NGHIÊN CỨU

1 Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 10A1 của Trường THPT Nguyễn Trung Ngạn trong giờ học tự chọnmôn toán

2 Phạm vi nghiên cứu:

“ Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn môn toán lớp 10” bằng các bài

toán Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât

IV CƠ SỞ NGHIÊN CỨU

Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở TrườngĐHSP, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên,sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học phổthông …

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:

– Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu sách tham khảo, đề thi học sinhgiỏi, mạng Internet, các tài liệu liên quan khác…

– Phương pháp khảo sát thực tiễn: Khảo sát học sinh lớp 10A1 của TrườngTHPT Nguyễn Trung Ngạn

– Phương pháp quan sát : Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT

Nguyễn Trung Ngạn

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm, cho đề kiểmtra khảo sát kết quả sau khi thực hiện chuyên đề

– Phương pháp thống kê toán học

VI THỜI GIAN THỰC HIỆN

- Đề tài được thực hiện từ ngày 20 - 03 -2013 đến ngày 10 - 04 - 2013

VII GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI

Đề tài được sử dụng trong giờ học tự chọn môn toán của lớp 10A1 và dùng đểbồi dường học sinh thi Đại học , bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi cấp tỉnh

PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG

I Khảo sát tình hình thực tế

Năm học 2012 – 2013, tôi được BGH nhà trường phân công giảng dạy môntoán lớp 10A1 Đây là một cơ hội rất tốt để tôi thực hiện đề tài này.Bài toán tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một trong những dạng bài toán khó Trong quá trìnhgiải toán học sinh còn rất lúng túng, kể cả những học sinh đã đạt giải học sinh giỏicấp tỉnh ở cấp THCS Sau khi học sinh học xong bài bất đẳng thức và một số ứngdụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tôi tiến hành khảo sát trên 46học sinh ở lớp 10A1 và kết quả đạt như sau:

11/46 HS đạt điểm trên trung bình35/46 HS đạt điểm dưới trung bình

II Nội dung đề tài:

a a

B Giới thiệu các bài toán

- Bài tập học sinh thực hiện trên lớp: Từ bài 1 đến bài 20

- Bài tập học sinh thực hiện ở nhà : Từ bài 21 đến hết.

I.1 Giới thiệu các bài toán thực hiện trên lớp:

Bài 1: Cho x,y,z là các số dương và x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

4 khi và chỉ khi x = y = z =

1

3.

Bài 2: Cho x, y , z là các số dương thay đổi và thỏa điều kiện : xy2z2 + x2z +y = 3 z2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

Lời giải : Do a2+b2 ≥2ab, b2 + 1 ≥2b khi đó :

Bài 4 ( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên)

Cho a, b, c là các số dương tùy ý và thỏa điề kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

3.

Bài 5 Cho a,b,c là ba số dương thỏa điều kiện a+ b+ c = 3

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3 1 3 1 3 1

Lời giải: Áp dụng BĐT (x+y+z) 1 1 1

Vậy Min P = 1 khi x = 1, y = 2 , z = 1

Bài 7 Cho x,y,z dương và thỏa mãn xy + yz + zx = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P = 3x2 + 3y2 + z2

Lời giải: Ta có 2P = ( 4x2 + z2) + (4y2+ z2) +(2x2+ 2y2)

Áp dụng BĐT Cô si ta có 4x2 + z2 ≥ 4xz , 4y2 + z2 ≥4yz, 2x2 + 2y2 ≥4xy

Khi đó 2P ≥4( xy + yz + zx) = 20 hay P ≥ 10

P =10 khi x = y = 1 , z =2

Kết luận Min P = 10 khi và chỉ khi x = y =1 , z= 2

Bài 8 Cho x≥ 0, y≥ 0 và x y+ = 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

1 0

4

t

≤ ≤Vậy MaxP = 1 khi x= 1, y =0 hoặc x= 0 ,y= 1

Bài 11 Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện:

xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).Lời giải: Ta có xy yz xz 2xyz 1 1 1 2

x

+ ≥ (1) Dấu bằng xảy ra khi 1

3

x= Tương tự: 18y 2 12

3

P= ⇔ = = =x y z Vậy MinP = 19 ⇔x = y = z =1

3

Bài 13 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4

3

Bài15 Cho hai số dương x y, thỏa mãn: x y+ = 5.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 2

4

P xy

Thay y= − 5 x ở tỉ số cuối được:

≥ = Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1

Vậy MinS = 3 3 khi x = y = z = 1

Bài 17 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2≤ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1

Bài 18 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x (y z) y (z x) z (x y) P

+ +

Lời giải: Vì x;y;z> 0, Áp dụng BĐT Côsi ta có:

xy z

z zx

y

y yz

x

x

P

2 2

=

xy zx

yz

2 2

2 4

1

≤  + + + + + =  + + ≤  +xyz+ 

z y x xyz

xy zx yz y

x x z z

y

2 2 2

2

1 2

1 1 1 1 1 1

Dấu bằng xảy ra ⇔ x= y= z= 3 Vậy MaxP =

− ≥ − nên ta có

2

2 2

(3 2) 4

2 1

I.2 Các bài toán giao về nhà cho học sinh thực hiện

Bài 21 Cho x >0,y>0,x y+ =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 22 Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy

Lời giải: S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy

= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy

= 16x2y2 – 2xy + 12

Đặt t = x.y, vì x, y ≥ 0 và x + y = 1 nên 0 ≤ t ≤ 1

4 Khi đó S = 16t2 – 2t + 12 = f(t) Hàm số f(t) xét trên đoạn 0 ≤ t ≤ 1

4 đạt giá trị lớn nhất tại t = 1

4, đạt giá trị nhỏ nhất tại t =

1

16 Max S = 25

4

2 3 y

4

2 3 y

4(z3 + x3) ≥ (z + x)3 Dấu = xảy ra ⇔ z = x

Do đó 34 x( 3 + y 3) +34 y( 3 + z 3) +34 z( 3 + x 3) ≥ 2 x y z( + + ≥) 6 xyz3

Ta lại có 2 2 2 3 xyz

6 x

z z

y y

1 xyz

⇔x = y = z = 1Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1

Bài 24 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x y 4 + ≥

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Dấu “=” xảy ra ⇔ = = = x y z 1 Vậy Min P = 2

Bài 30 Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z ≤ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z + 1 1 1x y z+ +

Lời giải: Theo BĐT Côsi: 1 ≥ x + y + z ≥ 33 xyz > 0 ⇔ 3xyz1 ≥ 3

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 13.Vậy MinA = 10 đạt được khi x = y = z = 31

Bài 31 Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x2 12 y2 12 z2 12

Suy ra P ≥ 82 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 13

Vậy Min P = 82khi và chỉ khi x = y = z = 13

Bài 32 Cho x,y,z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z – x – y) = x + y + 1 Tìm giá

34

≤ ( *)

Dấu bằng xảy ra khi và chí khi

7151

4.

III Kết quả :

-Kết quả khảo sát học sinh lớp 10A1 : ( sĩ số 46 học sinh )

28/ 46 HS đạt điểm trên 5

18/ 46 HS đạt điểm dưới 5

-Học sinh giỏi cấp tỉnh : 01 em đạt giải ba trong kỳ thi giải toán trên mạngIternet

VI Bài học kinh nghiệm

Qua việc thực hiện chuyên đề “ Bồi dưỡng tư duy học sinh qua giờ học tự chọn môn toán lớp 10 ” và thực tế giảng dạy.Bản thân tôi đã rút ra được một số bài

học kinh nghiệm như sau:

1 Về công tác chỉ đạo

Đây là một công tác quan trọng trong việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộmôn và bồi dưỡng năng lực, tư duy cho học sinh đặc biệt là học sinh khá giỏi Trongnăm học vừa qua, chúng tôi luôn nhận được sự chỉ đạo sát sao, sự quan tâm thườngxuyên từ phía Ban giám hiệu Nhà trường và của các cấp lãnh đạo Kết quả thi Đạihọc và thi học sinh giỏi cấp tỉnh ngày một nâng lên, nhà trường đã và đang gặt háiđược những thành công lớn.Cũng nhờ có kết quả đó, mà ngành giáo dục Tỉnh Hưngyên đã có những bước đột phá trong kết quả thi ĐH-CĐ những năm gần đây

2 Về phía học sinh

Để gặt hái được những thành tích cao trong công tác mũi nhọn Học sinh lànhân vật trung tâm trong việc bồi dưỡng đào tạo, đây là nhân tố giữ vai trò quyết địnhtrong sự thành công hay thất bại của mỗi giáo viên làm công tác giảng dạy, bồidưỡng Vì chính các em mới là người học, là người đi thi và là người đem lại nhữngthành tích đó.Làm thế nào để ngay từ khi bước vào ngôi trường cấp ba học sinh đã cónhững niềm mơ ước được chinh phục đỉnh cao của trí tuệ

Tuy nhiên, để giúp cho học sinh có thể gặt hái được những thành công, đòi hỏicác em phải có một sự nỗ lực rất lớn Một sự quyết tâm học tập trên 100% khả năngcủa bản thân mình Nhất là đối với lứa tuổi học sinh lớp 10 mới bước vào năm đầutiên của chương trình học phổ thông Nhưng kiến thức của năm lớp 10 này lại có vaitrò quyết định tương lai của các em sau này Nhận thức rõ điều đó, mỗi giáo viên làmcông tác bồi dưỡng cần phải dành một sự quan tâm sát xao đến các em, thường xuyênđộng viên, uốn nắn kịp thời để giúp cho các em có một sự đam mê trong công việchọc tập của mình Đặc biệt là với những học sinh tham gia học tập bộ môn Toán vìđây là một môn học khó và mất nhiều thời gian để nghiên cứu

3 Về phía giáo viên tham gia trực tiếp giảng dạy

Đặc thù của các tiết học tự chọn là giảng dạy theo chủ đề bám sát, như vậy căn

cứ vào kế hoạch của nhà trường, của tổ chuyên môn giáo viên phải tự tìm tòi, đọcsách tham khảo để lựa chọn bài tập phù hợp với đối tượng học sinh trên lớp mà mìnhgiảng dạy.Đối với các lớp có nhiều học sinh khá giỏi thì giờ học tự chọn thường rấtsôi nổi, các em được củng cố bổ sung kiến thức và được tiếp cận với các đề thi họcsinh giỏi, đề thi Đại học vì vậy việc định hướng để học sinh biết tìm tòi khám phá tìm

ra các lời giải hay là trách nhiệm của mỗi giáo viên chúng ta

Để thực hiện được điều đó về phía giáo viên cần :

Một là, kiến thức của thầy cô phải có chiều sâu, giáo viên giảng dạy toán phải làngười có một cái nhìn tổng quát về môn toán trong bậc học của mình, phải là ngườigiải toán thường xuyên, cặp nhật thường xuyên những thuật toán, những thủ thuậtgiải toán hiệu quả Kiến thức của thầy phải vững vàng, thầy thực sự phải là ngườiđam mê toán học.

Hai là, cần phải lên được kế hoạch giảng dạy một cách chi tiết, chuẩn mực Cặpnhật thường xuyên những kiến thức mới mà các em vừa học để bồi dưỡng ngay, đặcbiệt là phải kích thích được các em say sưa học tập, tự giác học tập, phát huy đượcnhững tố chất tốt nhất của các em để công việc học tập của các em đạt được hiệu quảcao

V Kiến nghị : Bộ giáo dục và Sở giáo dục cần có hướng dẫn cụ thể, và có những tài

liệu tham khảo chung định hướng để giáo viên thực hiện các giờ dạy tự chọn đạthiệu quả cao hơn

Người thực hiện

Vũ Thị Hương Lan

TÀI LIỆU THAM KHẢO:

- Sách giáo khoa đại số lơp 10

- Sách tham khảo của thư viện

- Mạng Internet

- Báo toán học tuổi trẻ

- Đề thi Đại học của các năm học trước

- Tài liệu tập huấn bồi dưỡng giáo viên dạy học sinh giỏi của Đại học Khoahọc tự nhiên

NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ BGH NHÀ TRƯỜNG

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………