skkn phương pháp dựng thiết diện và các dạng toán trung học phổ thông

Phần mặtphẳng của P nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do Pcắt một số mặt của T được gọi là thiết diện mặt cắt.. Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng s

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU

-*** -H N

G

J

O I

F

E

B A

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP DỰNG THIẾT DIỆN

VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN TỚI THIẾT DIỆN

PHẦN I: MỞ ĐẦU TÊN ĐỀ TÀI:

PHƯƠNG PHÁP DỰNG THIẾT DIỆN

VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI THIẾT DIỆN

I Lý do thực hiện đề tài

I.1 Cơ sở lý luận:

Bài toán dựng thiết diện trong môn hình học không gian là bài toán khóđối với học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng Dạng toán liênquan đến thiết diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thiđại học, cao đẳng hàng năm

Việc giải quyết một bài toán dựng thiết diện không hề đơn giản, yêu cầungười giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linhhoạt, sáng tạo và phải cần được thực hành nhiều

I.2 Cơ sở thực tiễn

Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến hình học khônggian, cho rằng rất khó thực hiện được, bằng chứng khi các em đi thi đại học, caođẳng các em nói rằng bài toán hình không gian thường để cuối nếu có thời gianthì làm còn không còn thời gian thì thôi

Nguyên nhân là các em khó liên hệ giữa hình thật và hình biểu diễn, sựliên hệ logic giữa các yếu tố trong không gian yếu nên nhiều bài toán dễ thànhkhó đối với các em

Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và họcchuyên đề hình học không gian, đem lại cho học sinh cách nhìn thấu đáo về bàitoán thiết diện, giúp các em định hướng được đường hướng giải cho dạng bài tậpnày, tôi viết thành chuyên đề riêng về thiết diện và các dạng toán liên quan

I.3 Khảo sát thực tế trước khi thực hiện đề tài:

Cho học sinh lớp 11 (48 em) làm bài tập sau:

Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a

Kết quả như sau:

+ 27,08% (13/48) học sinh kẻ đồng thời AH  SC, BK  SC rồi không biếtkết luận thế nào, có em kết luận thiết diện là tứ giác AHKB

+ 33,33% (16/48) học sinh kẻ AH  SC (hoặc BH  SC) rồi khẳng định tamgiác AHB là thiết diện cần dựng mà không lí luận gì (không biết lí giải tạisao)

+ 18,75 % (9/48) học sinh kẻ BH  SC sau đó chứng minh CHB = CHA(cgc) suy ra AH  SC thiết diện là tam giác AHB

+ 20,84 % (10/48) học sinh biết gọi M là trung điểm AB và chứng minh

AB  (SMC) sau đó dựng MH  SC được thiết diện là tam giác AHB

Nguyên nhân:

Ít em học sinh nghĩ đến việc gọi M là trung điểm AB để tạo ra mặt phẳng phụ chứng minh AB  SC từ đó kẻ MH  SC suy ra thiết diện bởi vấn đề thiết diện không được cung cấp kiến thức một cách bài bản để học sinh có định hướng phát hiện vấn đề (sách giáo khoa phần lí thuyết đề cập rất ít về vấn đề này)

Vì những lý do trên nên tôi đã chọn đề tài này

II Phương pháp nghiên cứu:

1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

2 Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp thống kê

III Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình chóp, hình lăng trụ.Các bài toán tính toán liên quan đến thiết diện, các bài toán liên quan đến phânchia khối đa diện…

IV Bố cục đề tài

Đề tài gồm hai phần nội dung chính:

Phần thứ nhất: Cách dựng thiết diện

Ở phần này, tác giả tập trung phân tích phương pháp dựng thiếtdiện trong trường hợp tổng quát, trong trường hợp có quan hệ song song,quan hệ vuông góc Phương pháp được thể hiện qua một số ví dụ chọnlọc.

Phần thứ hai: Một số bài toán liên quan đến thiết diện.

Trong phần này, tác giả đi vào hai bài toán liên quan đến thiết diện:

- Tính diện tích thiết diện và bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất của diện tích thiết diện

- Tính tỉ số thể tích khối đa diện khi được phân chia bởi thiết diện.Phần này dùng để dạy cho học sinh lớp 12

V Ứng dụng thực tế

Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh lớp 11, 12 học sinh

ôn thi đại học, học sinh ôn thi học sinh giỏi

Thời gian nghiên cứu: 01 năm

PHẦN II: NỘI DUNG

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT

1 Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P) Phần mặtphẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P)cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt)

2 Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giaotuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặctrùng với một trong hai đường thẳng ấy

3 Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giaotuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó

- Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T

- Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng vàphần biện luận nếu có

- Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình Tnên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnhcủa T

- Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T

- Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiếtcủa đầu bài

- Các bài toán liên quan tới thiết diện thường là:

+ Tính diện tích thiết diện+ Tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏnhất

+ Thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước (hoặc tìm tỉ số giữa 2 phần)

- Các ví dụ được đánh thứ tự liên tục từ đầu cho đến hết chuyên đề

B NỘI DUNG CHÍNH

I Một số phương pháp dựng thiết diện

I.1 Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng….

1 Phương pháp giải

Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T

(thường được gọi là giao tuyến gốc) Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao

điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểmchung Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiếtdiện

2 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD).

Gọi I, J là trung điểm SB, SC Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặtphẳng (AIJ)

Giải:

Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm

không thẳng hàng A, I, J Có 2 giao

tuyến gốc là AI, IJ

Kéo dài AD cắt BC tại K, kéo dài

IJ cắt SK tại E ta có E là điểm chung

của (AIJ) và (SAD)

Nối AE cắt SD tại F ta có AF, FJ

là các đoạn giao tuyến tiếp theo

Thiết diện là tứ giác AIJF.

I J

K

A

B S

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn

thẳng AD, AB Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’)

Giải:

Kéo dài MN cắt CB CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới Nối C’E cắtBB’ tại I, nối C’F cắt DD’ tại J

Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J.

C

B'

A' D

M

N

Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó

thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các

tam giác DAB, DBC, ABC Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng(MNP)

Giải:

Chưa có giao tuyến gốc giữa

mặt phẳng cắt và tứ diện Mặt

phẳng(MNP) có điểm chung P với

mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm

chung nữa ta tìm giao điểm O của

MN với (ABC) Kéo dài DM cắt AB

tại M1, kéo dài DN cắt BC tại N1

mặt phẳng (DM1N1) chứa MN cắt (ABC) theo giao tuyến M1N1 nên O là giaođiểm của MN và M1N1

 OP là giao tuyến gốc Nối OP cắt AB BC tại E, F

N 1

M 1

I N

O

M A

B

C

D K

Hình a

Tùy theo vị trí OP trong tam

giác ABC ta có thiết diện là tứ

giác EFIK (hình a) hoặc tam giác

EFI (hình b)

Khi MN // M1N1 thì giao tuyến

gốc là đường thẳng qua P song

song với M1N1

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

(ABCD) sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA Hãy xác địnhthiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trườnghợp:

a Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD

b Đường thẳng d đi qua điểm C

Giải:

a) d là giao tuyến gốc ta tìm

thêm giao điểm của d với các

cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F

là giao điểm của AB AC, AD

với d

Xét (M, d) và (SAB) có M, H

chung nối MH cắt SB tại N ta có

một đoạn giao tuyến MN Tương

tự nối ME cắt SC tại P, nối MF

B

C D

P

F

M

Hình b

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi Gọi M, N là trọng tâm các

tam giác SAB và SAD; E là trung điểm CB Xác định thiết diện của hình chópkhi cắt bởi mặt phẳng (MNE)

Giải:

Gọi I là trung điểm SA

Ta có M thuộc BI, N thuộc DI

I

A

B

C D

S

Q

Ta có EF là giao tuyến gốc Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm

chung của (MNE) và (SAD) Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K,

nối KE, PF Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK

Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần

lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó.

I.2 Mặt phẳng (P) được cho bởi các tính chất song song

I.2.1 Mặt phẳng (P) đi qua d và song song với đường thẳng d, chéo nhau với đường thẳng l.

1 Phương pháp

Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d và d’ // l.

Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của

d và (Q) dựng được ngay Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi

đó (P) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’

2 Ví dụ

Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm

thuộc cạnh SC Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH vàsong song với BD

Giải:

Chọn mp (SBD) chứa BD Gọi O là

giao điểm AC và BD Đường thẳng AH

cắt mặt (SBD) tại I là giao điểm của AH

và SO Trong mp (SBD) kẻ qua I đường

thẳng song song với BD, gọi M, N là giao

điểm của đường thẳng đó và SB SD Mặt

B

S

A

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm AB và N là điểm thuộc cạnh

CD không trùng với C và D Mặt phẳng (P) chứa MN và song song với BC

a Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P)

b Xác định vị trí N trên CD sao cho thiết diện là hình bình hành

Giải:

(P) và (BCD) có N chung và chứa

hai đường thẳng song song nên

(P)  (BCD) theo giao tuyến NF //

BC (F  BD), nối MF, EN

Thiết diện là tứ giác MENF.

b Theo cách dựng thiết diện ở phần

a) thiết diện là hình thang MENF

(ME // NF) ta có 1

2

ME  BCnên đểMENF là hình bình hành thì

Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC.

Hãy dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song vớiAD

Giải:

K E

F M

N G

J

I B

C

D A

Gọi I, J lần lượt là trung điểm BC, AD thì G là trung điểm IJ Ta có mặtphẳng (IAD) chứa G và AD // (P)  (IAD) cắt (P) theo giao tuyến qua G vàsong song với AD cắt AI, ID tại M và N

Nối EM cắt AC tại F, nối EN cắt CD tại K.

nếu E trùng với I thì thiết diện không tồn tại

nếu E không trùng với I thì thiết diện là tam giác EFK

Tuỳ theo E thuộc IB hay I thuộc IC ta có cách vẽ theo H.1 hoặc H.2.

I.2.2 Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M song song với hai đường thẳng chéo nhau d và l.

1 Phương pháp

Ta xét 2 mặt phẳng (M, d) và (M, l) mỗi mặt phẳng này chứa một đường thẳng qua M song song với d và l Mặt phẳng (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa dựng.

2 Ví dụ

Ví dụ 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trọng

tâm tam giác SBD Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua Msong song với SB AC

Giải:

Gọi O là giao điểm AC và

BD Ta có trọng tâm M thuộc

SO Mặt phẳng (M,SB) là (SBD)

trong mp này kẻ qua M đường

thẳng song song với SB cắt SD,

DB tại N, K

Mặt phẳng (M, AC) là mặt

phẳng (SAC) nên qua M kẻ

đường thẳng song song với AC cắt SA SC tại P, I vậy (P) chứa NK, PI.

Xét mp (P) và mp (ABCD) có điểm K chung và (P) // AC nên (P) cắt đáy (ABCD) theo giao tuyến qua K và song song với AC cắt AB BC tại E, F

Ngũ giác EFINP là thiết diện cần dựng.

O

I P

F E

Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có M là điểm thuộc AD Dựng thiết

diện của hình hộp cắt bởi (P) qua M song song với BD và AC’

BD) (P) cắt (ABCD) theo giao

tuyến qua M và song song với BD

cắt AB CB CD lần lượt tại N, F, E

(P) sẽ là mặt phẳng qua E, F và

song song với AC’ (trở thành bài

toán 1)

H N

EF cắt AC tại I nên (P)  (ACC’A’) theo giao tuyến qua I và song song vớiAC’ nó cắt CC’ tại J Nối JE cắt DD’ tại G, JF cắt BB’ tại H

Thiết diện là ngũ giác MNHJG

Chú ý: Nếu mặt phẳng (M, l) khó xác định thì ta chỉ cần xét mặt phẳng (M, d)

(gọi là mặt phẳng (P) Trong mặt phẳng (P) này dựng d’ qua M và song song với l thì (P) là mặt phẳng chứa d’ và song song với l.

Ví dụ 11: Cho lăng trụ OAB.O’A’B’ Gọi M, E, F lần lượt là trung điểm OA.

OB OE, H là điểm thuộc AA’ sao cho AH = 2 HA’ Dựng thiết diện của lăngtrụ cắt bởi mặt phẳng (P) trong các trường hợp:

a Qua F song song với B’E và A’O

b Qua M song song với A’E và OH

Kéo dài FK cắt OO’ tại I, khi đó ta được OO' 2 OI 2 'A J nên A JIO'

là hình bình hành Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua I đường thẳng d songsong OA’ thì d cắt OA AA’ lần lượt tại M, J là trung điểm của OA AA'

Mặt phẳng (P) cắt (OAB) theo giao tuyến FM nên sẽ cắt (O’A’B’) theogiao tuyến KQ // FN (Q thuộc B’A’) Thiết diện là ngũ giác FKQJM (H1)

Q

J K

b Mặt phẳng qua M và song song với OH là mp (OAA’O’) còn mặt phẳng qua

M và song song với A’E khó xác định hơn Trong mặt phẳng (OAA’O’) kẻ qua

M đường thẳng song song với OH cắt AA’ tại L (P) là mặt phẳng chứa ML và song song với A’E.

Trong mặt phẳng (A’AE) kẻ LT // A’E (T thuộc AE)

Khi đó T là điểm chung của (P) và (OAB)

Nối MT cắt AB tại G

Thiết diện là tam giác MLG (H2).

I.2.3 Mặt phẳng (P) qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q).

1 Phương pháp

Dựa vào tính chất: Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì phải cắt mặt phẳng còn lại và giao tuyến của chúng song song.

Chọn mặt phẳng (R) chứa M có giao tuyến với (Q) là a

Khi đó (P)  (R) = a’,a’ // a a’ qua M

Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R)

Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện.

2 Ví dụ

Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD) Điểm M

thuộc cạnh BC không trùng với B và C Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởimặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) Thiết diện là hình gì?

Nên (P) cắt (SBC) theo giao tuyến

MF // SB (F SC) Nối EF, ta được thiết

diện là tứ giác MNEF.

Ví dụ 13: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ Điểm M thuộc cạnh AD, N thuộc

cạnh D’C’ sao choAM MD D N NC:  ’ : ’ Dựng thiết diện của hình hộp cắt bởimặt phẳng (P) qua MN và song song với mp(C’BD)

Theo định lý Talet đảo MN, AD’,

DC’ cùng song song với một mặt

D

D' A'

N

Mặt phẳng (CDD’C’) chứa N, (CDD’C’)  (C’BD) = C’D nên (P) cắt(CDD’C’) theo giao tuyến NJ // C’D (J DD’)

I.3 Mặt phẳng (P) cho bởi các yếu tố vuông góc

I.3.1 Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng d.

Ví dụ 14: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, M là trọng tâm tamgiác BCD Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M vuônggóc với AB

Giải:

Gọi I là trung điểm AB ta

có SI  AB (do tam giác SAB

đều), BC  AB suy ra (P) đi

qua M song song với BC, SI.

Tương tự trong (SAB) kẻ qua E đường thẳng song song với SI cắt SB tại

H, trong (SBC) kẻ đường thẳng qua H và song song với BC cắt SC tại G

Thiết diện là tứ giác EFGH.

Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông

góc với đáy Dựng thiết diện với hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua A vàvuông góc với SC

Giải:

Kẻ AH  SC ta có AH  (P).

Ta có: BDAC BD, SA

nên BDSC

Vậy (P) chứa AH và song song BD.

Gọi O là giao điểm AC và BD, E là

giao điểm của SO và AH

M

N E

Ta được thiết diện là tứ giác AMHN.

Ví dụ 16: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,

CA = CB = a AA’ = a 2, M là trung điểm CA Dựng thiết diện của lăng trụ cắtbởi mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với A’B

Giải:

Theo giả thiết tam giác ABC vuông cân

tại C nên AB = a 2 Tứ giác ABB’A’ là

hình vuông  AB’  A’B

Gọi H là trung điểm AB  CH  AB

H A

C

B

B'

C' A'

Xét mặt phẳng (P) và (ABC) có M chung, (P) // CH nên trong mặt phẳng(ABC) qua M kẻ đường thẳng song song với CH cắt AB tại N thì

  P  ABC MN

Tương tự trong mặt phẳng (ABB’A’) kẻ qua N đường thẳng song song vớiAB’ cắt BB’ tại P Kéo dài MN cắt BC tại E, nối EP cắt CC’ tại Q, nối MQ được

I.3.2 Mặt phẳng (P) đi qua một đường thẳng d và vuông góc với một đường thẳng l.

1 Phương pháp

Dựng mặt phẳng phụ (Q) chứa l và vuông góc với d tại một điểm M.

Trong (Q) dựng qua M đường thẳng vuông góc với l tại H khi đó mặt phẳng (P) là mặt phẳng (H, d).

2 Ví dụ

Ví dụ 17: (ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A) Cho hình chóp đều S.ABC

đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a Qua AB dựng một mặt phẳng(P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện theo a và h

Giải:

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC ta có

SO(ABC) khi đó SOAB, gọi M là

trung điểm AB do tam giác ABC đều nên

B S

Theo giả thiết AB = a ta có

2 33

I.3.3 Mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (Q)

đã cho (d xiên góc với (Q))

1 Phương pháp

Tìm một đường thẳng a vuông góc (Q) khi đó (P) đi qua d và song song với a (Sử dụng tính chất: nếu mặt phẳng (P) và đường thẳng d cùng vuông góc với (Q) thì hoặc (Q) // d hoặc (Q)  d).

2 Ví dụ

Ví dụ 18: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2 cạnh bên

bằng 3 Gọi M, N là trung điểm AB AC Dựng thiết diện của hình chóp cắtbởi mặt phẳng (P) chứa MN và vuông góc với mặt phẳng (SBC)

Giải:

Gọi I là trung điểm BC, H là trung điểm

SI Do hình chóp đều nên BC  (SAI)

H

D

N

M A

B

C S

Cách dựng: Gọi E là giao điểm MN và AI Trong mặt phẳng (SAI) kẻ qua E

đường thẳng song song với AH cắt SI tại F, F là điểm chung của (P) và (SBC).Xét mặt phẳng (P) và (SBC) có F chung và MN // BC nên (P) cắt (SBC) theogiao tuyến qua F và song song với BC cắt SB SC tại Q, P

Thiết diện là tứ giác MNPQ.

Ví dụ 19: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác vuông,

CA = CB = a AA’ = a 2, M, N, I, K là trung điểm CA CC’, AB BB’ Dựngthiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) qua MN và vuông góc với mặt

Ta tìm một đường thẳng vuông góc (IKC)

Theo giả thiết:

M A

C

B

B' C'

A'

Cách dựng: Kéo dài MN cắt AA’ tại G, xét mặt phẳng (P) và (ABB’A’) có G

chung, (P) // A’B nên kẻ qua G đường thẳng song song với A’B cắt BB’ tại H,

nối NH cắt CB tại E, nối ME ta có thiết diện là tam giác MNE.

Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy Gọi F là trung điểm

SA M là một điểm bất kỳ trên AD (P) là mặt phẳng chứa FM và vuông góc vớimặt phẳng (SAD) Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P)

Giải:

Từ giả thiết, hai mặt phẳng (SAB),

(SAD) cùng vuông góc với đáy nên SA 

Vậy (P) là mặt phẳng qua MF và song

song với AB

Cách dựng: Xét (P) và (ABCD) có M

chung, (P) // AB nên kẻ qua M đường

thẳng và song song với AB cắt BC tại N

(P)  (ABCD) = MN

N

E F

D

S

C M

Tương tự trong mặt phẳng (SAB) kẻ qua F đường thẳng và song song với

AB cắt SB tại E Nối EN được thiết diện là tứ giác MNEF.

Nhận xét: Qua một số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm

được cách dựng thiết diện Tuy nhiên đề dựng được thành thạo học sinh cần

II Các bài toán liên quan đến thiết diện

II.1 Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất

1 Một số lưu ý:

- Thiết diện là đa giác nằm trong mặt phẳng cắt nên tính diện tích thiếtdiện là tính diện tích đa giác trong mặt phẳng Vì vậy ta có thể áp dụngtất cả các phương pháp đã biết về tính diện tích đa giác trong mặtphẳng để tính

- Công thức diện tích tam giác:

- Công thức diện tích của đa giác hình chiếu: S’ = S.cos

- Để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích thiết diện ta ápdụng các phương pháp tìm cực trị đã biết như dùng bất đẳng thứcCauchy, Bunhiacovxki …dùng đạo hàm hoặc sử dụng tính chất hìnhhọc…

- Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm a i , i = 1,2,3…

Ví dụ 21: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I là trung điểm AD, J là điểm đối

xứng với D qua C, K là điểm đối xứng với D qua B

a Xác định thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng (IJK)

b Tính diện tích thiết diện được xác định ở câu a

Giải:

a Mặt phẳng cắt trong trường hợp này đi qua ba điểm không thẳng hàng.

B C

J A

Ví dụ 22: (Học viện quan hệ quốc tế năm 1999 khối D)

Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AB (P) là mặt phẳng qua Msong song với AC và BD

a Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi (P)

b Xác định vị trí M để thiết diện là hình thoi

c Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất.

Giải:

a Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa M

và AC, qua M kẻ đường thẳng và song

song với AC cắt BC tại N Mặt phẳng

(ABD) chứa M và BD, qua M kẻ đường

thẳng và song song với BD cắt AD tại Q

tiếp tục quá trình được 2 giao tuyến NP,

QP thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Q M

B

C

D A