skkn xay dựng và sử dụng phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy tính tự học và tự rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít

Từ nhận thức ấy tôi chọn đề tài của mình với tiêu đề: Xõy dựng và sử dụng phơng tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy tính tự học vàtự rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán p

Mở đầu

I Lý do chọn đề tài:

Thực hiện chủ trơng của Đảng, của Bộ giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu phát triển mới của xã hội, quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng đã

có nhiều sự thay đổi

Một trong những hớng quan trọng của sự phát triển phơng pháp hiện đại trong dạy học toán là xây dựng các phơng tiện dạy học và chỉ dẫn phơng pháp sử dụng chúng trong các giờ toán, nhằm hình thành ở học sinh các hình ảnh cảm tính của đối tợng nghiên cứu, gợi cho học sinh các tình huống có vấn đề, tạo nên sự hứng thú trong các giờ học toán

Trong thời gian gần đây dới ảnh hớng của sự tiến bộ khoa học kỹ thuật và sự phát triển lý luận dạy học, nhiều dạng phơng tiện dạy học đã xuất hiện ở trờng phổ thông Nó không chỉ là nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh họa mà còn là phơng tiện tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức của học sinh, là phơng tiện tổ chức khoa học lao động s phạm của giáo viên và học sinh

Thực tế dạy học ở nhà trờng Trung học phổ thông nớc ta cho thấy học sinh thờng gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm hàm số mũ, hàm số logarít, nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức, học thuộc khái niệm, nhng không giải thích đợc đầy đủ ý nghĩa và bản chất của nó, từ đó dẫn tới việc vận dụng một cách máy móc, hoặc không biết hớng vận dụng Do vậy việc sử dụng các phơng tiện trực quan vào quá trình dạy học là việc làm cần thiết và phù hợp với xu thế đổi mới

ph-ơng pháp dạy học hiện nay ở trờng phổ thông

Từ nhận thức ấy tôi chọn đề tài của mình với tiêu đề:

Xõy dựng và sử dụng phơng tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy tính tự học vàtự rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít

II Mục đích nghiên cứu

Xác định một số dạng phơng tiện dạy học trực quan cần thiết Giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít

III Nhiệm vụ nghiên cứu

Hình thành các yêu cầu s phạm của các dạng phơng tiện trực quan trong dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít và thể hiện cụ thể qua một số dạng phơng tiện trực quan tơng ứng với các hoạt động chủ yếu trong dạy học

IV Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở chơng trình sách giáo khoa,chúng tôi cho rằng nếu xây dựng đợc các phơng tiện dạy học trực quan và có chỉ dẫn phơng pháp sử dụng hợp lý thì sẽ góp phần nâng cao chất lợng dạy học

V Phơng pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về cơ sở tâm lý học, giáo dục học, phơng pháp dạy học toán và sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến đề tài nghiên cứu

1

Nghiên cứu các bài báo về khoa học toán học, các luận văn, luận án, các công trình nghiên cứu liên quan trực tiếp đến đề tài

2 Quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh về hàm số

mũ, hàm số logarít có sử dụng các phơng tiện dạy học trực quan

Phân tích những khó khăn và sai lầm của học sinh khi học phần hàm số mũ, hàm số logarít làm cơ sở cho việc xây dựng và sử dụng các phơng tiện dạy học trực quan

Chơng 1

Cơ sở lý luận và thực tiễn.

1 Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phơng tiện trực quan

2 Đặc điểm yêu cầu và thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trờng phổ thông

3.Kết luận chơng I

Chơng 2 Xõy dựng và sử dụng phơng tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy tính tự học và tự rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít

Chơng 1

Cơ sở lý luận và thực tiễn.

i Tính hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phơng tiện trực quan

Khi xây dựng và sử dụng đúng đắn các phơng tiện trực quan phục vụ cho việc dạy học theo một chủ đề thì vừa đạt đợc mục đích dạy học nói chung, vừa đạt đợc mục đích dạy học một chủ đề nói riêng, đồng thời phải góp phần nâng cao hiệu quả của quá trình dạy học Việc phân tích đánh giá hiệu quả của quá trình dạy học theo một chủ đề, không chỉ thể hiện ở việc đánh giá kết quả học tập nhất thời của học sinh mà còn phải xem xét việc lựa chọn phơng tiện và cả quá trình sử dụng phơng tiện của thầy cô và trò ở lớp Nếu đã lựa chọn phơng tiện dạy một cách thích hợp thì khi sử dụng nó có thể khai thác đợc các chức năng của phơng tiện nhằm đạt đợc yêu cầu đặt ra cho nó và nh thế sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học

1 Các yêu cầu của việc lựa chọn và sử dụng phơng tiện trong quá trình dạy học

a) Thông tin đợc trình bày trong phơng tiện dạy học phải hớng vào mục đích giáo dục toàn diện Những thông tin này vừa đảm bảo tính khoa học, phù hợp với chơng trình môn học tạo điều kiện hình thành có hiệu quả những tri thức cơ bản phát triển năng lực nhận thức và khả năng công tác tự lập

b) Phơng tiện dạy học phải kích thích và tạo điều kiện sử dụng những phơng pháp dạy học đa dạng và có hiệu quả

c) Phơng tiện dạy học phải đảm bảo việc tổ chức hợp lý lao động s phạm của giáo viên và học sinh, các phơng tiện phải hấp dẫn, phù hợp về hình dáng, kích th-ớc…

d) Phơng tiện dạy học phải đảm bảo những yêu cầu về kinh tế, kỹ thuật đòi hỏi phơng tiện dạy học phải có chất lợng phản ánh cao

2 Hiệu quả của quá trình học tập nhờ sử dụng phơng tiện trực quan

Kết quả của việc giảng dạy khi sử dụng phơng tiện trực quan phụ thuộc vào việc lựa chọn đúng đắn các phơng tiện trực quan và việc sử dụng đúng đắn các

ph-ơng tiện đó trong quá trình dạy học toán

Thực tiễn dạy học cho thấy rằng nếu có ý thức và kỹ năng sử dụng các phơng tiện trực quan một cách hợp lý thì sẽ góp phần:

- Tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động dạy học

- Cung cấp cho học sinh những kiến thức bền vững, chính xác trong dạng ngắn gọn, rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo cần thiết cho lao động sản xuất và đời sống

Có thể nói rằng: Giảng dạy trực quan có nghĩa là giảng dạy dựa trên các

hình tợng hiểu biết của học sinh.

Vận dụng đúng đắn nguyên tắc trực quan trong quá trình giảng dạy là đảm

bảo sự chuyển từ “Trực quan sinh động sang t duy trừu tợng” Do đặc thù của môn

toán đòi hỏi phải đạt tới một trình độ trừu tợng, khái quát cao hơn so với các môn học khác Vì thế, nếu sử dụng hợp lý các phơng tiện trực quan sẽ góp phần vào việc phát triển t duy trừu tợng, nâng cao hiệu quả của quá trình dạy và học

ii Đặc điểm, yêu cầu và thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trờng phổ thông

Xuất phát từ mục tiêu đào tạo của trờng Trung học phổ thông chúng tôi phân tích đặc điểm, yêu cầu dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít nhằm xác định các nhiệm vụ và yêu cầu s phạm của phơng tiện trực quan trong quá trình dạy và học

1 Đặc điểm, yêu cầu dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít

Mục đích, nội dung, phơng pháp, phơng tiện và hình thức dạy học vốn gắn bó chặt chẽ với nhau, trong đó mục đích dạy học giữ vai trò chi phối, quyết định sự liên hệ giữa các thành phần đợc thể hiện ở các đặc điểm sau

a) Về phơng diện mục đích dạy học:

Dự thảo chơng trình cải cách môn toán đã chỉ rõ: Cung cấp cho học sinh một

hệ thống vững chắc những tri thức, kỹ năng phơng pháp toán phổ thông, cơ bản, hiện đại, tơng đối hoàn chỉnh, thiết thực, sát thực tế Việt Nam, theo tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp Khi dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít có thể, thể hiện

tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp ở những điểm sau:

Làm cho học sinh nắm vững chắc những khái niệm về hàm số mũ, hàm số logarít, các tính chất, định lý, các dạng đồ thị, các phơng trình, bất phơng trình mũ, logarít

Giúp học sinh thấy đợc mối liên hệ giữa hàm số mũ với hàm số logarít, chỉ ra các ứng dụng thực tế của hàm số mũ và hàm số logarít (trong các ngành kỹ thuật, trong hóa học, trong âm nhạc) và giải các bài toán thích hợp

Rèn luyện những kỹ năng, kỹ xảo cần thiết cho lao động sản xuất và đời sống Thông qua việc giảng dạy phần hàm số mũ, hàm số logarít theo tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp sẽ làm cho khả năng t duy, nhận thức của học sinh phát triển cao hơn Đồng thời góp phần hớng nghiệp cho các em, bởi vì một trong những

nguyên tắc hớng nghiệp là “Bảo đảm tính chất giáo dục kỹ thuật tổng hợp trong

h-ớng nghiệp ”

Việc dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít có mục đích chủ yếu là cung cấp cho học sinh các khái niệm về hàm số mũ, hàm số logarít, các phơng pháp suy

3

đồ thị, giải các phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình theo tinh thần giáo dục tổng hợp Các phơng tiện dạy học trực quan phải thể hiện đợc đặc điểm này của việc dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít

b) Về phơng diện nội dung dạy học:

Nội dung chơng trình phần hàm số mũ, hàm số logarít đợc xây dựng bằng phơng pháp tổng hợp, nhằm cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản về hàm số

mũ, hàm số ngợc, hàm số logarít với những nội dung chính sau:

- Mở rộng khái niệm về số mũ của các lũy thừa

- Hàm số mũ, các tính chất hàm số mũ, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ, so sánh các dạng lũy thừa, tìm giới hạn của hàm số mũ, các phép suy đồ thị, phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình và hệ bất phơng trình mũ

- Hàm số ngợc

Trong quá trình giảng dạy phần hàm số mũ, hàm số logarít về mặt phơng diện nội dung dạy học, cần đạt mức độ và yêu cầu sau:

* Về mặt lý thuyết:

Xây dựng khái niệm hàm số mũ y = ax (a > 0) với tập xác định là toàn bộ R,

đó là một hàm số liên tục, đồng biến khi a > 1 và nghịch biến khi 0 < a < 1 và luôn luôn có giá trị dơng

Việc học hàm số mũ có tác dụng quan trọng là chuẩn bị cho việc học hàm số logarít, để dẫn tới logarít là một vấn đề có ý nghĩa về mặt thực tiễn

Bằng việc sử dụng các phơng tiện trực quan hợp lý khi giảng dạy giáo viên phải làm cho học sinh thấy đợc ý nghĩa lý thuyết và thực tế, tác dụng giáo dục của toàn chơng, nắm vững khái niệm, tính chất, các định lý về logarít và ý nghĩa của

định lý đó Trên cơ sở đó học sinh mới có ý thức trong việc rèn luyện kỹ năng sử dụng logarít vào việc giải các bài toán và thực tiễn

* Về phơng diện bài tập:

Hệ thống hóa bài tập trong sách giáo khoa phần hàm số mũ, hàm số logarít

đ-ợc lựa chọn nhằm mục đích: Củng cố kiến thức cơ bản, rèn luyện t duy lôgíc, khả năng trừu tợng hóa và bổ sung một số kiến thức không đề cập trong sách giáo khoa

Bằng các hình ảnh minh họa trực quan cần rèn luyện cho học sinh đạt đợc những kỹ năng sau đây: Giúp học sinh biết lập luận có căn cứ, trình bày lời giải một cách mạch lạc, biết vận dụng công thức một cách sáng tạo khi giải các bài toán về phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình mũ và logarít

Biết khai thác các ứng dụng của hàm mũ và hàm số logarít vào thực tiễn,

đồng thời rèn luyện các phẩm chất t duy linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tự kiểm tra

đánh giá

c) Về phơng diện phơng pháp dạy học:

Tất cả các tính chất của hàm số mũ, hàm số logarít không chứng minh vì phép chứng minh phần lớn vợt ra ngoài chơng trình toán bậc phổ thông; vì thế các

em không khỏi băn khoăn ngờ vực, thậm chí thiếu niềm tin vào tính đúng đắn của nội dung các tính chất

Điều đó sẽ cản trở học sinh lĩnh hội chúng một cách tự giác, học sinh sẽ thiếu cơ sở để tiến hành lập luận có căn cứ

Nếu thừa nhận rằng dạy toán là dạy “hoạt động toán học” theo cách nói của

A.A Xtoliar, thì theo ông giai đoạn đầu tiên, giai đoạn tích lũy các sự kiện nhờ quan sát, quy nạp, tơng tự, khái quát hóa là cơ sở cho giai đoạn tiếp theo

Việc giảng dạy phần hàm số mũ, hàm số logarít cần coi trọng đặc biệt giai

đoạn đầu Có thể giải quyết vấn đề này bằng việc sử dụng hợp lý các phơng tiện trực quan, đồng thời làm chỗ dựa vững chắc cho việc hình thành các khái niệm và tính chất, lập luận có căn cứ

Tóm lại, bằng phơng pháp trực quan, các phơng tiện trực quan khi dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít có thể tạo điều kiện thuận lợi cho cho hoạt động dạy học, kích thích quá trình học tập, cung cấp cho học sinh những kiến thức bền vững, chính xác

Sự phân tích các đặc điểm nêu trên cho phép kết luận rằng:

Yêu cầu s phạm của việc xây dựng và sử dụng phơng tiện trực quan dùng cho việc dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít phải góp phần:

- Tạo ra các hình ảnh ban đầu, các biểu tợng về đối tợng nghiên cứu

- Tái tạo lại nội dung các vấn đề nghiên cứu trong dạng ngắn gọn, nhằm giúp học sinh củng cố ghi nhớ, áp dụng kiến thức

- Hớng dẫn học sinh lập luận có căn cứ

- Tạo điều kiện cho quá trình suy diễn trừu tợng phát triển thuận lợi

2 Thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít ở trờng Trung học phổ thông

Việc phân tích thực tế dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít là việc làm rất cần thiết Điều đó cho chúng tôi có thêm cơ sở xác định đúng đắn các yêu cầu s phạm đối với các phơng tiện dạy học trực quan

Thực tiễn dạy học ở trờng Trung học phổ thông cho thấy chất lợng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít cha cao, học sinh nắm kiến thức một cách hình thức, lẫn lộn giữa đẳng thức định nghĩa với định lý Chẳng hạn cho rằng lý luận dẫn

đến định nghĩa số mũ 0, a0 = 1(a 0) là một chứng minh

Nhiều học sinh còn mơ hồ hoặc là không nắm đợc các tính chất, không hiểu đợc bản chất của các định lý về hàm số mũ, hàm số logarít

Chẳng hạn: “4 3nghĩa là gì” thì câu trả lời của đa số học sinh còn thiếu chính xác Bên cạnh đó, do việc không nắm chắc các giả thiết, định lý, các công thức… nhiều học sinh còn phạm phải sai lầm

Ví dụ nh cho rằng:

+) logaA.B = log

aA.logbB (A,B > 0 và a,b 1)

+) loga(A+B) = logaA + logaB +) log2-8 = -3 (họ lý giải rằng (-2)3 =- 8) +) logax =logax; n

.

a ma = m n

a

 …

Trớc hết phải thấy rằng do học sinh nắm kiến thức thiếu vững chắc dẫn tới việc vận dụng vào các bài toán cụ thể thờng mắc sai lầm giáo viên lại không có biện pháp thích hợp để khắc phục Thực tế đó giúp ta hiểu rằng càng phải chuẩn bị cho giáo viên những điều kiện cần thiết, trong đó có việc hớng dẫn giáo viên tạo ra và

sử dụng các phơng tiện dạy học một cách thích hợp, để họ có thể dạy tốt phần hàm số

mũ, hàm số logarít theo yêu cầu của chơng trình sách giáo khoa

1.5 Kết luận chơng I

Từ sự phân tích cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học toán ở trờng phổ thông đối chiếu với những quan điểm đổi mới phơng pháp dạy toán trong giai đoạn hiện nay, chúng tôi cho rằng:

Để giáo dục toán cho học sinh ở trờng Trung học phổ thông qua dạy học toán cần quan tâm tới phơng pháp dạy học trực quan, để từ đó thông qua việc tổ chức hoạt động toán học, học sinh tự giác tìm tòi kiến thức mới

5

Chơng 2 XÂY DỰNG VÀ sử dụng phơng tiện trực quan nhằm giúp học sinh phát huy tính tự học và tỰ rèn luyện kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít

xÂY DỰNG VÀ sử dụng phơng tiện trực quan nhằm giúp học sinh vận dụng tri thức và kỹ năng trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít

Trên cơ sở phân tích các nguyên tắc ở mục chương 1 Để đạt đợc kết quả nhất

định trong việc giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít theo hớng vận dụng các

ph-ơng tiện dạy học trực quan chúng tôi đề xuất một số biện pháp sau:

Biện pháp 1: Sử dụng hợp lý các phơng tiện trực quan nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức Đồng thời rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng vận dụng các phơng tiện trực quan trong quá trình giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít.

Do đặc điểm của môn toán, phơng pháp trực quan rất cần thiết trong dạy học

bộ môn giúp học sinh khắc phục khó khăn ban đầu, tiếp thu vận dụng đợc các khái niệm tính chất và suy luận trừu tợng trong quá trình giải toán

Các dạng trực quan bao gồm: Trực quan tĩnh và trực quan động

- Trực quan động thờng dựa vào máy tính đợc xây dựng từ các phần mềm dạy học (gọi là trực quan ảo)

- Trực quan tĩnh thờng là hình ảnh vật chất, hình biểu diễn, sơ đồ, ký hiệu… Hình thức trực quan đợc sử dụng rộng rãi nhất trong môn toán là trực quan t-ợng trng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức…) ([3])

Trong quá trình giải toán phần hàm số mũ và hàm số logarít việc sử dụng hợp

lý các phơng tiện trực quan tợng trng sẽ giúp học sinh tìm ra hớng giải quyết bài toán đỡ khó khăn hơn, cách lập luận sẽ có căn cứ xác đáng hơn, rèn luyện đợc kỹ năng nhiều hơn, những sai sót trong tính toán sẽ ít mắc phải hơn

Thực tiễn s phạm cho thấy đa số học sinh khi giải các phơng trình và bất

ph-ơng trình mũ, logarít không gặp nhiều khó khăn lắm khi vận dụng các phph-ơng pháp

- Phơng pháp đa về cùng cơ số

- Phơng pháp logarit hóa và mũ hoá

- Phơng pháp đặt ẩn phụ

- Phơng pháp đánh giá

Nhng đối với một số dạng phơng trình đặc biệt là các bài toán có chứa tham

số học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, bằng việc sử dụng hợp lý các phơng tiện trực quan sẽ làm cho học sinh hiểu rõ các vấn đề và mấu chốt của bài toán

Chẳng hạn ta xét các bài toán sau:

Bài toán 1 Giải và biện luận theo m số nghiệm của phơng trình

x

2

Bằng việc kết hợp giữa suy diễn và mô hình trực quan là đồ thị

Giáo viên hớng dẫn học sinh: đặt 2x = t với điều kiện t > 0, rồi yêu cầu học sinh đa phơng trình về hệ

t2 + m2 = 1

Có thể hỏi học sinh nh sau: Cứ giả sử rằng phơng trình (1) là có nghiệm khi

đó hiển nhiên m phải có điều kiện gì ? (m  0) nếu m < 0 phơng trình (1) vô nghiệm

t2 + m2 = 1

Hệ (I)  m  0 (II)

t > 0 Bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu học sinh biết biểu diễn miền nghiệm của t2 +

m2 = 1 là đờng tròn tâm 0(0,0) bán kính R = 1 xét trong hệ tọa độ vuông góc t0m

Dựa vào hình vẽ bằng trực quan học sinh sẽ dễ dàng phát hiện: các điểm M(t,m) thỏa mãn (II) đợc biểu diễn bằng đờng đậm trong hình (cung tròn AB, bỏ

điểm B)

Vậy: 0  m < 1 phơng trình có nghiệm duy nhất

Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán tơng

tự

Bài toán 2.

Tìm m để hệ phơng trình:

Giáo viên yêu cầu học sinh tìm tập xác định của hệ phơng trình:

Điều kiện:

Đối với hệ phơng trình trên bằng cách đa về hệ đối xứng loại 1 học sinh có thể biện luận đợc để hệ phơng trình có nghiệm, nhng học sinh dễ bị thiếu sót các tr-ờng hợp, hoặc lầm lẫn trong tính toán, bằng sự mô tả trên đồ thị học sinh sẽ phát hiện vấn đề một cách rõ ràng trực quan hơn

Giáo viên gợi ý để học sinh biểu diễn các tập nghiệm của (1) và (2) lên mặt phẳng tọa độ 0xy

Gọi x1, x2 lần lợt là tập nghiệm của (1) và (2)

- x1 là tập các điểm trên đờng tròn (c)

- x2 là tập hợp các điểm trên các đờng thẳng (d1): x + y + 2 = 0 và (d2): x + y - 2

= 0

7

m >-1

m  -

x2 + y2 = 2(m + 1) (1) (x + y)2 = 4 (2)

Hệ ph ơng trình

Tâm 0(0,0) Bán kính R =

m

1 B

A

1

m < 0

m  1 Ph ơng trình vô nghiệm

log (x+y)2 = 4

(x2 +y2) 2(m+1)

= 1

có nghiệm

có 2 nghiệm

Bằng sự minh họa trực quan theo hình vẽ

học sinh dễ dàng tìm đợc điều kiện để hệ phơng

trình có nghiệm, bao gồm các trờng hợp:

Trờng hợp 1: (d1) và (d2) cùng là tiếp tuyến

của đờng tròn (C)  R = 2  2 (m 1 )  2 

m = 0 khi đó hệ phơng trình có 2 nghiệm phân

biệt

Trờng hợp 2: (d1) và (d2) cùng cắt (C) tại

hai điểm phân biệt  R> 2

 2 (m 1 ) > 2  m > 0 khi đó hệ phơng

trình có 4 nghiệm phân biệt

Tóm lại, hệ phơng trình có nghiệm khi m  0

Giáo viên có thể ra cho học sinh làm các

bài toán tơng tự sau:

Bài tập ôn luyện

1 Tìm a để phơng trình sau có nghiệm duy nhất

1 2

1 5 a 2

1









 









 

2

1 5 2

1 5















2 1

5 x









 

Đa phơng trình về với ẩn t rồi dùng các phơng tiện trực quan là đồ thị để suy

ra điều kiện của a

2 Tìm a để bất phơng trình sau đúng  x  R

25x + (m +1)5x – 2m + 3  0

Hớng dẫn: Sử dụng bài toán 1.3

3 Tìm m để hệ phơng trình

log2(x+y)(x 2 +y2) = 1 (x +y)2 = m

Hớng dẫn: Sử dụng bài toán 1.4

4 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình 1 - 2 x = m –2x

Hớng dẫn: Đặt 2x = t, điều kiện t > 0, đa phơng trình về hệ rồi biện luận tơng

tự bài toán 1.1

5 Cho phơng trình

4| x | - m.2| x | + 1+ 2 = 0

a Giải phơng trình với m = 3

b Tìm m để phơng trình có nghiệm

Hớng dẫn: đặt 2| x | = t điều kiện t  1, sử dụng các phơng tiện trực quan là đồ thị để suy ra điều kiện của m

Biện pháp 2: Việc sử dụng các phơng tiện trực quan có thể khai thác tiềm năng logíc bên trong của vấn đề đợc trình bày trong SGK, nhờ đó học sinh nắm

2

2

x

-2

0

- 2

x + y+2=0

2 2 y

0

x + y –2 = 0

D D

vững bản chất vấn đề, tạo điều kiện giải quyết vấn đề đó rõ ràng hơn, mạch lạc

hơn.

Ta biết rằng, mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động

nhất định, đó là những hoạt động đã đợc tiến hành trong quá trình hình thành vận

dụng nội dụng đó Khi đứng trớc một vấn đề, nếu thờng xuyên quan tâm đến việc

khai thác tiềm năng từ logíc bên trong để nắm đợc các thuộc tính bản chất thì chúng

ta sẽ phát hiện đợc những hoạt động tiềm tàng trong mỗi vấn đề, nghĩa là lúc đó về

thực chất chúng ta đã vạch ra đợc con đờng, cách thức giải quyết vấn đề

Bài toán 1 Với giá trị nào của a thì phơng trình

4x - 2x + a = 0 (1) có nghiệm

Cách 1: giáo viên yều cầu học sinh đặt 2x = t điều kiện t > 0 rồi đa phơng

trình về dạng t2- t = -a (t > 0)

- Yêu cầu học sinh vẽ parabol: y =

t2-t và đờng thẳng y = -a trên cùng hệ trục tọa

độ t0y

Để phơng trình (2) có nghiệm t > 0

thì -a phải là một giá trị của hàm số y = t2 - t

với tập xác định là (0, +)

Từ đồ thị học sinh sẽ suy ra đợc:

ph-ơng trình (2) có nghiệm t > 0 thì đờng thẳng

y = -a phải cắt đồ thị hàm số f(t) = t2 – t

trên (0,+)

 a 

-4

1

 a 

4 1

Qua bài toán trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh phát biểu mệnh đề tổng

quát: để giải và biện luận phơng trình f(x ) = g(m) (1)

Ta thực hiện các bớc sau:

Bớc 1: Lập luận: Số nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số

y = f(x ) và đờng thẳng (d): y = g(m)

Bớc 2: Xét hàm số y = f(x )

Tìm miền xác định (D)

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bớc 3: Kết luận: Phơng trình có nghiệm

 min f(x )  g(m)  max f(x ) Nếu biện luận phơng trình trên thì có thể tùy thuộc vào số giao điểm của đồ thị y

= f(x) và đờng thẳng y = g(m)

Bài toán 2 Tìm m để hệ bất phơng trình sau có nghiệm duy nhất.

Giải: giáo viên gợi ý: vế trái của hệ luôn luôn dơng vậy để hệ phơng trình có

nghiệm thì tham số m phải thỏa mãn điều kiện gì ?

(m-1 0  m  1)

9

22x +22y+2y+1  m-1

22y+22x + 2x+1  m-1

u = 2x

v = 2y

điều kiện u,v > 0 hệ t ơng đ ơng Yêu cầu học sinh đặt:

u2 +(v+1)2  m(1)

v2 + (u+1)2  m (2)

y = -a

y

t

4

1



2

1 1

0

0 I

1

I2

v

u Tâm I1(0,-1)

Bán kính R1 = m

Bài toán sẽ trở nên đơn giản nếu học sinh

phát hiện ra rằng:

Gọi X1, X2 lần lợt là tập nghiệm của (1) và (2)

X1 là tập các điểm trong hình tròn

X2 là tập các điểm trong hình tròn

Giáo viên có thể hỏi: từ các đồ thị trên hãy tìm điều kiện để hai đờng tròn trên tiếp xúc với nhau? Bằng trực quan học sinh sẽ nhận ra rằng hệ bất phơng trình

có nghiệm duy nhất khi (C1) tiếp xúc với (C2)

 I1 I2 = R1 + R2  2 = 2 m  m =

2 1

Kết luận: với m =

2

1

thỏa mãn điều kiện đầu bài Bằng cách lập luận tơng tự bài toán 2 giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài toán sau:

Bài toán 3 Tìm m để hệ phơng trình:

Bài toán 4 Cho hệ phơng trình

Tìm m để hệ có nghiệm, khi đó hãy khẳng định rằng hệ có nghiệm duy nhất

Hớng dẫn:

Đặt:

Yêu cầu học sinh vẽ đồ thị của 2 đờng tròn (C1) và (C2), đối với (C1) ta chỉ lấy cung AB (trên góc phần t thứ nhất)

u = 2x

v = 2y điều kiện u,v > 0

(C1)

log(x2+y2) = 1

có 2 nghiệm (x+y)2 = m

Tâm I

1(-1, 0) Bán kính R

2 =

(C

2)

22x+ (2y+1)2 = m (2x+1)2+22y = 4