skkn một số biện pháp sử dụng phương tiện trực quan nhằm nâng cao chất lượng dạy học giải bài tập phần hàm số mũ - hàm số logarit.

Vì các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số biện pháp sử dụng phương tiện trực quan nhằm nâng cao chất lượng dạy học giải bài tập phần hàm số mũ - hàm số logarít”... Điều đ

A MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Một trong những hướng quan trọng của sự phát triển phương pháp hiệnđại trong dạy học toán là xây dựng các phương tiện dạy học trực quan vàphương pháp sử dụng chúng trong các giờ toán, nhằm hình thành ở học sinhcác hình ảnh cảm tính của đối tượng nghiên cứu, gợi cho học sinh các tìnhhuống có vấn đề, tạo nên sự hứng thú trong các giờ học toán

Trong thời gian gần đây dưới ảnh hướng của sự tiến bộ khoa học kỹthuật và sự phát triển lý luận dạy học, nhiều dạng phương tiện dạy học đã xuấthiện ở trường phổ thông Nó không chỉ là nguồn kiến thức, cho hình ảnh minhhọa mà còn là phương tiện tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức của họcsinh, là phương tiện tổ chức khoa học lao động sư phạm của giáo viên và họcsinh

Thực tế dạy học ở nhà trường Trung học phổ thông cho thấy học sinhthường gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm hàm số mũ, hàm sốlogarít, nhiều học sinh có thể nhớ các biểu thức, học thuộc khái niệm, nhưngkhông giải thích được đầy đủ ý nghĩa và bản chất của nó, từ đó dẫn tới việcvận dụng một cách máy móc, hoặc không biết hướng vận dụng Mặt khác, đây

là nội dung kiến thức cơ bản trong chương trình toán lớp 12, có phần trìutượng và dễ lẫn lộn giữa hai nội dung hàm số mũ - hàm số logarít này nhưnglại được trình bày sau nội dung khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Do vậy, việc sửdụng các phương tiện trực quan vào quá trình dạy học nội dung này là việclàm cần thiết và phù hợp với xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ởtrường phổ thông

Hơn nữa, đây là nội dung kiến thức thường xuất hiện trong các kỳ thiĐại học - Cao đẳng và học sinh không khó khăn lắm khi biết cách khai thácbài toán để lấy điểm

Vì các lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Một số biện pháp sử dụng phương tiện trực quan nhằm nâng cao chất lượng dạy học giải bài tập phần hàm số mũ - hàm số logarít”.

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

Xuất phát từ đặc thù bộ môn toán học, phép trừu tượng thoát rakhỏi nội dung có tính chất chất liệu của sự vật và chỉ giữ lại các quan hệ số

lượng và hình dạng Chẳng hạn như: Từ những hình ảnh cụ thể như “hạt

bụi”, “Sợi dây mảnh căng thẳng”, “mặt nước đứng yên”, đi tới các khái niệm

“điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng”

Có thể nói rằng: Giảng dạy trực quan có nghĩa là giảng dạy dựa trên

các hình tượng hiểu biết của học sinh.

Vận dụng đúng đắn nguyên tắc trực quan trong quá trình giảng dạy là

đảm bảo sự chuyển từ “Trực quan sinh động sang tư duy trừu tượng” Do đặc

thù của môn toán đòi hỏi phải đạt tới một trình độ trừu tượng, khái quát caohơn so với các môn học khác Vì thế, nếu sử dụng hợp lý các phương tiện trựcquan sẽ góp phần vào việc phát triển tư duy trừu tượng, nâng cao hiệu quả củaquá trình dạy và học

Qua tìm hiểu, nghiên cứu lý luận của các nhà triết học, toán học trong

và ngoài nước về vai trò, chức năng và hiệu quả của việc sử dụng phương tiệntrực quan vào quá trình dạy học, tôi nhận thấy đó là yêu cầu cần thiết và thiếtthực, phù hợp với tư duy phát triển của con người

Sau đây là sơ đồ thể hiện mối quan hệ phương tiện trực quan và tư duycon ngườisau:

II THỰC TIỄN DẠY HỌC PHẦN HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGRÍT Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Thực tiễn dạy học ở trường Trung học phổ thông cho thấychất lượng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít chưa cao, học sinh nắmkiến thức một cách hình thức, lẫn lộn giữa đẳng thức định nghĩa với định lý

Nhiều học sinh còn mơ hồ hoặc là không nắm được các tính chất,không hiểu được bản chất của các định lý về hàm số mũ, hàm số logarít

Chẳng hạn: “4 3nghĩa là gì” thì câu trả lời của đa số học sinh còn thiếuchính xác Bên cạnh đó, do việc không nắm chắc các giả thiết, định lý, cáccông thức… nhiều học sinh còn phạm phải sai lầm

Phương tiện trực quan

Cái cụ thể

tượng lý thuyết

Trừu tượng hoá

Sơ đồ 1

Cụ thể hoá

Ví dụ như cho rằng:

+) logaA.B = log

aA.logbB (A,B > 0 và a,b 1)

+) loga(A+B) = logaA + logaB+) log2-8 = -3 (họ lý giải rằng (-2)3 =- 8)+) logax =logax; n a ma = mna…

Trước hết phải thấy rằng do học sinh nắm kiến thức thiếu vững chắcdẫn tới việc vận dụng vào các bài toán cụ thể thường mắc sai lầm Điều đó có

lẽ một phần là do nội dung cấu trúc chương trình và sách giáo khoa chưa thậthợp lý, phương pháp dạy học của giáo viên lại có chỗ cần được điều chỉnh,chẳng hạn hầu như các tính chất hàm số mũ, hàm số logarít không đượcchứng minh, giáo viên lại không có biện pháp thích hợp để khắc phục; mặtkhác, hệ thống bài tập và câu hỏi trong sách giáo khoa chỉ đòi hỏi học sinh ởmức độ rất đơn giản, áp dụng đơn thuần, học sinh dễ vấp phải các sai lầm màbản thân không phát hiện ra

Từ thực tế đó, tôi mạnh dạn đưa ra một số biện pháp sau:

III MỘT SỐ BIỆN PHÁP SỬ DỤNG PHƯƠNG TIỆN TRỰC QUANTRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP PHẦN HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ

LOGARÍT

Biện pháp 1: Sử dụng hợp lý các phương tiện trực quan nhằm giúp học sinh

chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện cho học sinh ý thức và khả năng vận dụng các phương tiện trực quan trong quá trình giải phương trình ( bất phương trình)mũ - logarít.

Hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi nhất trong môn toán là trựcquan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức…)

Trong quá trình giải phương trình mũ - logarít việc sử dụng hợp lý cácphương tiện trực quan tượng trưng sẽ giúp học sinh tìm ra hướng giải quyếtbài toán đỡ khó khăn hơn, cách lập luận sẽ có căn cứ xác đáng hơn, rèn luyệnđược kỹ năng nhiều hơn, những sai sót trong tính toán sẽ ít mắc phải hơn

Thực tiễn sư phạm cho thấy đa số học sinh khi giải các phương trình vàbất phương trình mũ, logarít không gặp nhiều khó khăn lắm khi vận dụng cácphương pháp: Phương pháp đưa về cùng cơ số; logarit hóa và mũ hoá; đặt ẩnphụ; đánh giá

Nhưng đối với một số dạng phương trình đặc biệt là các bài toán cóchứa tham số học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, bằng việc sử dụng hợp lýcác phương tiện trực quan sẽ làm cho học sinh hiểu rõ các vấn đề và mấu chốtcủa bài toán.Chẳng hạn ta xét các bài toán sau:

Bài toán 1.1 Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x

2

Bằng việc kết hợp giữa suy diễn và mô hình trực quan là đồ thị

GV: đặt 2x = t ( t > 0), yêu cầu học sinh đưa phương trình về hệ

? Cứ giả sử rằng phương trình (1) là có nghiệm khi đó hiển nhiên mphải có điều kiện gì ? (m  0) nếu m < 0 phương trình (1) vô nghiệm

Dựa vào hình vẽ bằng trực quan học sinh sẽ dễ dàng phát hiện: cácđiểm M(t,m) thỏa mãn (II) được biểu diễn bằng đường đậm trong hình (cungtròn AB, bỏ điểm B)

Vậy: 0  m < 1 phương trình có nghiệm duy nhất

Nhận xét: Bài toán 1 có thể giải

bằng phương pháp sử dụng các định lý

đảo về dấu của tam thức bậc 2.

Giáo viên yêu cầu học sinh giải bài

6-m



 thì f(t) có 2 nghiệm phân biệt t1  t2 Trong trường hợp này đa số học sinh gặp khó khăn, hoặc có vận dụng định

lý về dấu của tam thức bậc hai thì cũng rất mơ hồ và máy móc bằng sự minhhọa của trục số học sinh dễ dàng quan sát

Như vậy (0, +) là tập con của (-,t1] [tt2 +), căn cứ vào trục số để(0, +) tập hợp con của (-, t1 ] [tt2 +) thì t2  0  t1  t2 < 0

Trong khi giảng dạy giáo viên cần phải phát huy tích cực nhận thức củahọc sinh trong việc vận dụng các phương tiện trực quan Chẳng hạn như trongbài toán 1.3 Có thể dẫn dắt học sinh bởi những câu hỏi để họ tích cực suy nghĩ:

- t(0, +) đều làm cho f(t)  0 tức là t(0, +) đều thuộc vào tậpnghiệm của bất phương trình f(t)  0 có mối quan hệ như thế nào giữa (0,+) với tập nghiệm đó?

- Tập nghiệm của bất phương trình f(t)  0 còn phụ thuộc vào những yếu

tố nào ? hãy chỉ ra tập nghiệm của bất phương trình tương ứng với các trường hợp

?

- Hãy biểu diễn (0, +) cùng với (-, t1) (t2,+) (trong trường hợp

 > 0) trên trục số để rút ra vị trí tương đối giữa (0, t1, t2)…

Những câu hỏi như vậy có tác dụng dẫn dắt học sinh đi đến cách giảinhưng đồng thời cũng có chức năng kiểm tra những kiến thức cơ bản, nhìnnhận vấn đề một cách rõ ràng trực quan hơn

Nhận xét:

- Nếu như học sinh có ý thức và kỹ năng sử dụng phương tiện trực quanthì đối với bài toán trên, cho dù t = 0 nhìn vào trục số ta vẫn thấy [t0, +) làtập con của (-, t1 ]  [tt2 +)

Sau khi giảng xong bài toán trên giáo viên có thể truyền thụ cho họcsinh những tri thức, phương pháp sau đây

“Tìm điều kiện để tam thức f(x)  0 (f(x)  0; f(x) > 0…) xA là

một dạng toán rất quan trọng, thực chất ta tìm điều kiện để tập nghiệm bất phương trình f(x)  0 chứa A sau đó biểu diễn A lẫn tập nghiệm lên trục số

-”.

Biện pháp 2: Việc sử dụng các phương tiện trực quan có thể khai thác

tiềm năng logíc bên trong của vấn đề được trình bày trong SGK, nhờ đó học sinh nắm vững bản chất vấn đề, tạo điều kiện giải quyết vấn đề đó rõ ràng hơn, mạch lạc hơn.

Khai thác tiềm năng từ logíc bên trong vấn đề, ta càng nắm vững cácthuộc tính bản chất của vấn đề, chính hoạt động đó từ các phương tiện trựcquan tạo điều kiện tối ưu trong qúa trình giải quyết vấn đề Chẳng hạn trongquá trình giải các bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

mũ và logarit rất nhiều trường hợp ta thu được một hệ hỗn hợp gồm có phéphội lẫn phép tuyển, các mối liên hệ còn tiềm ẩn chưa rõ ràng, khi đó bằng cácphương tiện trực quan sẽ giúp học sinh hiểu rõ vấn đề hơn

Bài toán 2.1 Với giá trị nào của a thì phương trình

 > 0 f(0) > 0

Cách 2: đặt 2x =t(t > 0) để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình

t2 - t + a = 0 (2) phải có nghiệm t > 0

Trường hợp 1: phương trình (2) có 1 nghiệm thỏa mãn t1 < 0 < t2

 1.f(0) < 0  a < 0Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm thỏa mãn 0 < t1  t2

Kết hợp 2 trường hợp phương trình có nghiệm khi a 

4

1 Qua bài toán trên giáo viên có thể yêu cầu học sinh phát biểu mệnh đềtổng quát: để giải và biện luận phương trình f(x ) = g(m) (1)

Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Lập luận: Số nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của đồ thị

hàm số y = f(x ) và đường thẳng (d): y = g(m)

Bước 2: Xét hàm số y = f(x )

Tìm miền xác định (D)

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bước 3: Kết luận: Phương trình có nghiệm

 I1 I2 = R1 + R2  2 = 2 m  m =

21

Kết luận: với m =

2

1 thỏa mãn điều kiện đầu bàiBằng cách lập luận tương tự bài toán 2.2 giáo viên có thể yêu cầu họcsinh giải bài toán sau:

Bài toán 2.3 Cho hệ phương trình

22x +22y+2y+1  m-1

22y+22x + 2x+1  m-1

(C1)

Tâm I1(-1, 0)Bán kính R2 = (C2)

22x+ (2y+1)2 = m(2X+1)2+22Y = 4

Tìm m để hệ có nghiệm, khi đó hãy khẳng định rằng hệ có nghiệmduy nhất

Vậy 2 < m < 4+2 3 hệ có nghiệm duy nhất

Bài toán 2.5 Tùy theo m biện luận số nghiệm của phương trình

lg (m-x2) = lg (x2 –3x +2)

Phân tích lời giải: Biến đổi phương trình về dạng

Để biện luận hệ phương

trình (I) bằng các định lý đảo

của tam thức bậc 2 thì học sinh

sẽ phải phân chia làm rất nhiều

các trường hợp, sẽ không tránh

khỏi khó khăn và sai sót Khi

học sinh đã biết kiến thức về

đồ thị hàm số:

f(x) = ax2 + bx + c (a0) ở lớp 10, bài toán sẽ trở nên đơn giản, bằng sự

mô tả đồ thị học sinh dễ dàng phát hiện số nghiệm của phương trình là sốgiao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = 2x2-3x+2 trên miền(-,1)  (2,+)

Phương trình (2) là đường tròn (C2) có

Tâm I1(0,-1)Bán kính:R1 = Tâm I2(-1,0)

R2 =2

Hệ 

x2-3x+2>0m-x2 = x2-3x+2

x< 1 x >2 (I) 2x2-3x+2 = m

1

Thông qua các bài toán trên giáo viên có thể ý thức cho học sinh một

“quy trình”, “phương pháp mới” khi giải các bài toán phương trình, bất

phương trình mũ, logarít (có chứa tham số) bằng việc vận dụng các phươngtiện trực quan

Biện pháp 3: Việc sử dụng các phương tiện trực quan có thể khai thác

các kết quả ứng dụng khác nhau của khái niệm, định nghĩa, định lý và đề

xuất bài toán nâng cao nhằm khắc sâu các khái niệm, định nghĩa, định lý.

Theo quan điểm “đặt bài toán cần giải quyết trong mối quan hệ tương

quan với các khái niệm, định nghĩa, định lý đã biết” Chính việc thực hiện

quan điểm trên là phát triển được năng lực định hướng, năng lực huy độngkiến thức cho học sinh, thông qua việc vận dụng các phương tiện trực quan,

cụ thể ta xét các bài toán sau:

Bài toán 3.1:

Giải phương trình: 2x = 4x

GV dẫn dắt HS phát hiện

được phương trình trên không giải

được bằng phương pháp đại số,

nên cần phải khai thác theo con

4 1 2

cần thiết đối với việc giải bất phương trình (1)

Giáo viên yêu cầu học sinh: xác định tập xác định của bất phương tình(x > 0) rồi sử dụng các tính chất logarít đưa bất phương tình về dạng

0xlogxlog

2 1 2

- Với 1 < x < 2 đều làm cho f(x) = x2 + mx + m2 + 6m < 0 tức là

x(1,2) đều thuộc vào tập nghiệm của bất phương trình f(x) < 0 có mốiquan hệ như thế nào giữa (1,2) với tập nghiệm đó ?

- Hãy biểu diễn (1,2) cùng với các tập nghiệm của bất phương trình (2)lên trục số ?

Những câu hỏi này có tác dụng dẫn dắt học sinh đi đến cách giải: mọinghiệm của (1) là nghiệm của (2) có nghĩa là cần tìm m để tập nghiệm của (2)chứa hết khoảng 1 < x < 2 Bằng sự biểu diễn trên trục số học sinh sẽ pháthiện dễ dàng hơn

Bài toán tương đương với điều kiện



324-m2

45-7-

Xác định a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó ?

Giáo viên dẫn dắt học sinh đặt

Với điều kiện u,v > 0 hệ phương trình sẽ đưa về dạng:

Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu học sinh biểu diễn miền nghiệm

hệ (I) trên hệ trục uOv: u2 + v2 = 1 là đường tròn đơn vị (C) có

(chỉ lấy cung AB góc phần tư thứ nhất)

u + v = a là phương trình đường thẳng (d) từ mô hình trực quan dễ thấy rằng

hệ phương trình có nghiệm duy nhất  (d) tiếp xúc với đường tròn tâm (O)

tại cung AB

Khi (d) tiếp xúc (c) tại điểm M

(-2

2

;2

2 ) suy ra u = v =

22

Bài toán 3.5: Giải bất phương trình:

1)x(log

1

13x-x2log

1

3 1 2

3

Đa số học sinh khi gặp bài toán này đều thấy khó khăn và phải phân

chia rất nhiều trường hợp Nếu các em để ý biểu diễn trên trục số thì bài toán

sẽ đơn giản hơn rất nhiều Bằng phương tiện trực quan là trục số

Giáo viên có thể khai thác các tính chất, định lý về logarít nhằm giúp

học sinh phân chia các trường cho chính xác Cụ thể như sau:

Điều kiện của bất phương trình:

u + v = a

u 2 + v 2 = 1

(I)

Tâm O(0,0)Bán kính R = 1

a -



Đặt

2

3x00x3x201x3x2log

- Trong khoảng (

2

3

, +∞) VT < 0, VP < 0 bất phương trình (1) tươngđương với:

132

01

05

x x

x

x

vì điều kiện x >

2 3

Tóm lại nghiệm của bất phương trình ) (5, )

2

3,1()2

1,0(

Nhận xét:

Con đường giải toán theo định hướng trên đòi hỏi người giáo viên cầnphải cung cấp cho học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh tự tìmtòi, tự phát hiện vấn đề, tìm ra được hướng giải của một bài toán

Biện pháp 4: Sử dụng phương tiện trực quan với mục đích vạch ra sai

lầm và sửa chữa thiếu sót, sai lầm của học sinh trong quá trình học phần hàm

dấu, hoặc khi thiết lập sự tương ứng qua phép đặt ẩn phụ thì học sinh quên

điều kiện Cụ thể là xét các bài toán sau:

Bài toán 4.1 Cho phương trình 4x -2.2x 1 1-2m 0

3

04S

0m21P

0m214't

3m

- Nguyên nhân dẫn đến sai lầm

ở đây là việc chuyển dịch sang bài

toán tương đương, nói cách khác họ

chưa nhận ra được khi đặt: 2x t

thì t sẽ biến thiên trong miền nào với

điều kiện của x

Để khắc phục được sai lầm kiểu này giáo viên cần nhấn mạnh cho học

sinh thấy rằng theo mục 2.4.4 đồ thị x

y2 luôn nằm phía trên đường thẳng

y = 1 có nghĩa là 2x 1 x



 (hoặc có thể lý luận: x 0 2x 20 1)

- Khi đã mắc phải sai lầm trên thì trong lập luận tiếp theo học sinh lại

mắc phải thiếu sót sau:

Học sinh cho rằng: Phương trình (2) có nghiệm t > 0 chỉ xảy ra 0 < t1 t2

0

y = 2 | x |