SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT HẬU LỘC I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC TRÌNH BÀY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH...
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC I
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC TRÌNH BÀY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trang 2A MỞ ĐẦU
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, học sinh phảithực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện địnhnghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp,những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung
và những hoạt động ngôn ngữ
Việc giải một bài toán là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiểu biếtcủa người giải toán Có người phải mò mẫm rất lâu, thử hết cách này đến cáchkhác, trong khi có người lại có thể tìm được cách giải rất nhanh Vậy đâu là bíquyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng nhưthế nào? Những con đường mà người giải toán có thể trải qua để đi đến các lờigiải thoả đáng là gì?
Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu
theo hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập trong hoạt
động và bằng hoạt động" Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu
cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
Trong chương trình môn toán,hệ phương trình được đưa vào từ cấp 2 vàxuyên suốt trong chương trình môn toán trường phổ thông Nó có vai trò quantrọng và làm cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức toán học có liên quan
Trong chương trình toán THPT,hệ phương trình được thể hiện dưới cáchình thức chủ yếu: Các hệ phương trình thông thường, các hệ phương trình vô tỷchứa các hàm lượng giác, các hệ phương trình chứa hàm lôgarit Việc giải thànhthạo các hệ phương trình thể hiện khả năng lựa chọn công cụ, sự linh hoạt vàsáng tạo trong suy luận và phân tích bài toán
Mặt khác, thực trạng hiện nay là kỹ năng giải toán của học sinh đang cònyếu, các em học một cách thụ động, lười suy nghĩ, bắt chước nhiều hơn là sángtạo, tư duy logic của các em chưa được rèn dũa, chưa biết tìm tòi, khai thác giảthiết, xâu chuỗi kiến thức để đi đến tìm hướng giải bài toán,
Trang 3Từ những lý do đã nói trên, với mong muốn góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học môn toán, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình"
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Xác định nội dung và phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho họcsinh trên cơ sở trình bày các phương pháp giải hệ phương trình, nhằm góp phầnnâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán
- Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh
- Xây dựng các phương pháp giải hệ phương trình theo hướng rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh
- Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh
III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, phươngpháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng của việc giải bài tập toán Nghiên cứusách giáo khoa, sách tham khảo về hệ phương trình, để thấy được vị trí và tầmquan trọng của hệ phương trình, cũng như những vấn đề về nội dung và phươngpháp giảng dạy hệ phương trình
2 Điều tra quan sát:
+ Thực tiễn dạy học giải hệ phương trình ở trường THPT
+ Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải hệ phương trình
Trang 4B NỘI DUNG
Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Khái niệm,cách thức, phương pháp,…) để giải quyết một nhiệm vụ mới Thực chất của sựhình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạpcác thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bàitập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể
Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho họcsinh cần:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm
và mối quan hệ giữa chúng
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bàitập, các đối tượng cùng loại
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiếnthức tương ứng
Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán Ngay
cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợpkhông có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suynghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết
Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài Đây là
một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bài toán
Bước 2: Tìm cách giải Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ
có tính chất tìm đoán: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bàitoán hay liên hệ các giả thiết
Bước 3: Trình bày cách giải Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các
việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự nhất định
và thực hiện các bước đó
Trang 5Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả
của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề, từ đó sáng tạo ra bài toán mới
Sau đây tác giả xin giới thiệu một số phương pháp giải Hệ phương trình
I.PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
1.Kỹ thuật biến đổi tương đương
Nội dung: Biến đổi tương đương hệ đã cho, biến đổi rút ra một phương trìnhtrong hệ là phương trình tích
Trang 6<=> x = 2y hoặc x = y thay vào hệ phương trình ta được các
nghiệm (x;y) của hệ là: (1;1), (-1;-1), ,
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
Giải: Từ 2 phương trình của hệ suy ra hệ có nghiệm nếu x, y
Trừ vế cho vế của (1) và (2) ta được:
<=>
<=> hoặc
Nếu , khi đó ta được hệ: <=>
Trang 8Nhận xét: Ở ví dụ 3, nếu giải thông thường bằng cách rút y từ phương trình(2) thế vào phương trình (1) thì ta sẽ thu được một phương trình bậc 4 khôngđặc biệt, giải khó khăn hơn Vì vậy việc đưa về phương tích là hợp lý và nókhẳng định tính hiệu quả của phương pháp này đối với các hệ có dạng tương tự.
3.Kỹ thuật nhân, chia 2 vế với cùng một biểu thức hoặc nhân, chia 2 vế của 2 phương trình với nhau
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình:
Giải: Nhận xét: x = y = 0 là một nghiệm của hệ phương trình
Với x 0 và y hoặc x và y = 0 không thỏa mãn hệ phương trình
Ta xét x > 0 và y : Chia 2 vế của (1) cho và chia 2 vế của (2)
thay vào (4) ta được =>
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là: (0;0), ( ; )
4.Kỹ thuật thế
Trang 10II.PHƯƠNG PH ÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Áp dụng cho hệ có số hạng chung xuất hiện ở các phương trình trong hệ
1.Kỹ thuật giải hệ đối xứng loại 1
Hệ có chứa các biểu thức: xy, x+y
Trang 112 Kỹ thuật giải hệ đẳng cấp bậc hai
Nội dung: Xét xem hệ phương trình có nghiệm hay không.Xét khi đó đặt
Vậy hệ có 5 nghiệm (x;y) là: (0;0), ,
3 Kỹ thuật biến đổi và đặt ẩn phụ
Thường thì đề thi đại học cho hệ giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ nhưng takhông thể thấy ngay được nên đặt cái gì Vì vậy phải biến đổi như nhân hoặcchia với một biểu thức của biến nào đó( chẳng hạn như x, y, x2, x3, xy, ) sau đómới đặt ẩn phụ được
Trang 12Ví dụ 10: Giải hệ phương trình:
Giải: Nhận xét: là nghiệm của phương trình
Xét : Chia 2 vế của (1) cho x và chia 2 vế của (2) cho ta được:
Trang 131.Kỹ thuật dùng tính đơn điệu của hàm số
Nội dung: Biến đổi một phương trình của hệ thành
Nếu chứng minh được hàm số đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên miền xác định của hệ thì phương trình tương đương với lúc này
ta thế ngược lại hệ đã cho.
Ví dụ 12: Giải hệ phương trình:
Trang 14Giải: Điều kiện:
Đặt , khi đó phương trình (1) trở thành:
đơn điệu trên miền xác định Do đó <=>
<=>
Thay vào phương trình (2) ta suy ra ,
Ví dụ 13: Giải hệ phương trình:
Giải: Điều kiện:
Trang 16Ta có: => đồng biến
=>
Vậy Thay vào (2) thấy thỏa mãn
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) = ( 2; 1)
Ví dụ 15: Giải hệ phương trình:
Giải: Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có:
Khi đó từ phương trình thứ nhất ta suy ra Vậy
Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được:
Nội dung: Thông thường ta hay sử dụng các BĐT thông dụng như BĐT
Cauchy, Bunhiacopski để đánh giá hai vế của một PT Từ đó sử dụng điều kiện xảy ra dấu bằng của các BĐT thức để tìm nghiệm của PT.
Ví dụ 16: Giải hệ phương trình:
Trang 17Thử lại thấy thỏa mãn phương trình trên.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y) =
Trang 182 Nội dung kiểm chứng sư phạm
Kiểm chứng sư phạm tiến hành trong khoảng thời gian giảng dạy môn toánlớp 12 trường THPT Hậu Lộc 1 năm học 2012-2013
3 Tổ chức kiểm chứng sư phạm
* Tác giả chọn đối tượng kiểm chứng là lớp 12A1 với 44 học sinh và lớpđối chứng là 12A4 với 39 học sinh Qua điều tra thì thấy trình độ 2 lớp này làtương đương
* Tác giả dựa vào các khâu "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinhthông qua hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình", soạn giáo án kiểmchứng và trực tiếp dạy kiểm chứng sư phạm
* Cho học sinh lớp dạy kiểm chứng sư phạm và lớp đối chứng làm bàikiểm tra cùng đề Chấm bài kiểm tra, thống kê điểm làm cơ sở để đánh giá
4 Đánh giá kết quả kiểm chứng sư phạm
4.1 Kết quả định tính
Qua các giờ kiểm chứng cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các phươngpháp giải hệ phương trình mà giáo viên đã trình bày Trong tiết học không khíhọc tập sôi nổi và hào hứng
4.2 Kết quả định lượng
Sau thời gian thực hiện các giờ dạy kiểm chứng, cho hai lớp làm bàikiểm tra sau đây với thời gian 1 tiết:
Câu 1: Giải hệ phương trình:
Câu 2: Giải hệ phương trình:
Câu 3: Giải hệ phương trình:
Nhận xét cách làm bài của học sinh:
Trang 19+ Lớp đối chứng có 25 học sinh mắc sai lầm khi sử dụng phép biến đổitương đương để biến đổi phương trình thứ nhất của hệ thành phương trình tích
ở câu 1 Lớp kiểm chứng có 8 học sinh mắc sai lầm này
+ Câu 2, phần lớn học sinh hai lớp làm đúng
+Lớp đối chứng có 2 học sinh làm đúng câu 3, lớp kiểm chứng có 10 họcsinh làm đúng câu này
Bảng thống kê và tỷ lệ % (yếu- kém, trung bình, khá- giỏi) thu được sau khichấm bài kiểm tra
Bảng 1: Thống kê điểm bài kiểm tra.
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp kiểm chứng: X = 6,73
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp đối chứng: Y = 5,59
Bảng 2: Thống kê tỷ lệ % (yếu - kém, trung bình, khá - giỏi)
Xếp loại(điểm ) Yếu - kém Trung bình Khá -giỏi
Lớp kiểm chứng 12A1 9,1% (4 bài ) 31,8 %(14 bài) 59,1%(26 bài )Lớp đối chứng 12A4 25,6 %(10 bài ) 46,2%(18 bài ) 28,2 %(11 bài )
Qua đó cho thấy chất lượng làm bài kiểm tra của lớp kiểm chứng caohơn so với lớp đối chứng Điều đó chứng tỏ rèn luyện kỹ năng giải bài tậptoán cho học sinh là bước quan trọng và cần thiết
Trang 20C KẾT LUẬN
Nội dung Đề tài " Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình " Qua quá trình
nghiên cứu, từ những kết quả thu được tôi có thể kết luận
1 Đề tài đã góp phần làm sáng tỏ nội dung: "Rèn luyện kỹ năng giải toáncho học sinh trong dạy học giải bài tập toán"
2 Đề tài đã xây dựng được một hệ thống các phương pháp giải hệphương trình và lớp các ví dụ minh hoạ cho từng phương pháp theo hướng rènluyện kỹ năng giải toán cho học sinh
3 Những nghiên cứu lý luận và thực tiễn đã chứng tỏ rằng giả thuyếtkhoa học của Đề tài là chấp nhận được
Thanh Hoá, tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
Xác nhận của thủ trưởng đơn vị của mình viết không sao chép nội dung của người khác
Người viết
Trần Thị Hiếu
Trang 21Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải toán, NXBGD, 2004.
[2] Nguyễn Thái Hoè, Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXBGD,
[4] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXBĐHSP, 2003
[5] G.Polia, Giải bài toán như thế nào, NXBGD, 1997
[6] Lê Văn Hồng (Chủ biên), Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng, Tâm lý học lứa
tuổi và tâm lý học sư phạm, Hà Nội, 1995.