Đề cương ôn tập chương 3 Hình học 12

Mời các bạn cùng tham khảo “Đề cương ôn tập chương 3 Hình học 12”. Đề cương cung cấp lý thuyết, bài tập tự luận về Tọa độ của vectơ và của điểm, Biểu thức tọa độ của tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ, Mặt Phẳng, Đường thẳng trong không gian… sẽ giúp các bạn nắm chắc phần lý thuyết, làm nhanh các dạng bài tập tự luận phần này một cách chính xác.

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG 3 - HÌNH HỌC 12

-Thực hiện các phép toán trên tọa độ của vecto

- Lập phương trình mặt cầu,phương trình mặt phẳng,phương trình của đường thẳng trong không gian

- Tính được các loại khoảng cách cơ bản trong không gian

BÀI TẬP

I Tọa độ của vectơ và của điểm

Bài 1 Viết dưới dạng x i y j z k

  mỗi vectơ sau đây:

1 0; ; 2 ,

II Biểu thức tọa độ của tích vô hướng, tích có hướng của hai vectơ

Bài 1 Cho tam giác ABC, A(1;0;-2), B(2;1;-1), C(1;-2;2)

a) Tìm độ dài các cạnh của tam giác ABC b) Tìm toạ

độ trung điểm I của cạnh BC

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC d) Tính diện tích tam giác ABC

e) Tính đường cao của tam giác hạ từ A f) Tính các góc của tam giác ABC

g) Tìm điểm M thuộc Ox sao cho MA = MB h) Tìm giao (ABC) và Ox

a) Chứng minh với mọi m thì a b c, , không đồng phẳng b) Phân tích 1; 1;3

Bài 4 Cho  ABC biết A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5) Hãy tìm độ dài

đường phân giác trong của góc B

Bài 5 Cho  ABC biết A(-11; 8; 4), B(-1; -7; -1), C(9; -2; 4)

a) Chứng minh tam giác ABC vuông b) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 6 Cho sáu điểm A(3; 5; -4), B(-1; 1; 2), C(-5; -5; -2), A’(5; 1; 5), B’(4;

3; 2), C’(-3; -2; 1)

a) Chứng minh tam giác ABC cân, tam giác A’B’C’ vuông

b) Gọi G, G’, G’’ là trọng tâm tam giác  ABC,  A’B’C’và của tứ diện A’ABC Tính tan G'GG''

Bài 7 Chứng minh 4 điểm A(3; 3; 3), B(1; 2; -1), C(4; 1; 1), D(6; 2; 5) là

các đỉnh của hình bình hành

Bài 8 Chứng minh 4 điểm A(5; 2; -3), B(6; 1; 4), C(-3; -2; -1), D(-1; -4; 13)

là các đỉnh của hình thang Tính diện tích

Bài 9 Cho hai điểm A(-2; 0; 4), B(5; -2; -14)

Tìm điểm E trong mặt phẳng Oyx sao cho: OE 1, OA OB OC   , ,

đồng phẳng

Bài 11 Cho A(-3; 2; 4), B(2; 5; -2), C(1; -2; 2), D(4; 2; 3)

a) Tính cos( AB CD,

) b) Tính diện tích tam giác BCD

c) Tính độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện ABCD d) Tính cosin góc gữa AD và mặt phẳng (BCD)

e) Tính cosin góc gữa hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) f) Tìm toạ độ điểm I cách đều A, B, C, D

III Mặt Phẳng

Bài toán 1 Phương trình mặt phẳng

Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt n 

biết

Bài 5: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và

a) Song song với các trục 0x và 0y b) Song song với các trục 0x,0z

c) Song song với các trục 0y, 0z

Bài 6: Lập phương trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và

Bài 9: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :

a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận n( 2 , 3 , 4 ); làm VTPT

b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0

Bài 10: Lập phương trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và

song song với các mặt phẳng toạ độ

Bài 11: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt

Bài 13: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6)

a) Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD)

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD

Bài 14: Viết phương trình tổng quát của (P)

a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3)

b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) :

x+2y+3z+4=0

c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) ,

d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)

Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz

a) Viết phương trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và

vuông góc với mặt phẳng y0z

c) Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt

phẳng (P)

Bài toán 2 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Bài 1: Xét vị trí tương đối ciủa các cặp mặt phẳng sau:

a) (P1): y – z + 4 = 0, và  P2 :x   y z 3 0 b) (P1): 8z+9=0  P2 :x 2y 4z  1 0

2x+4y-c) (P1): x+y-z-4=0và  P2 : 2x 2y 2z  8 0

Bài toán 4 Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng

Bài 1:Tính khoảng cách từ điểm M(2;2;1) đến mặt phẳng (P) trong các

a) Lập phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC)

b) Tính chiều dài đường thẳng cao hạ từ đỉnh D của tứ diện, từ đó suy

IV Đường thẳng trong không gian

Bài toán 1 Phương trình đường thẳng

Bài 1:Lập phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau :

a) (d) đi qua điểm M(1;0;1) và nhận a (3; 2;3)

làm VTCP b) (d) đi qua 2 điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3)

Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phương trình tổng quát của các giao

tuyến của mặt phẳng

( ) : - 3P x y 2 - 6z  0 và các mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2;3;-5)

và song song với đường thẳng (d) có phương trình: 3 2 7 0

2

0 1 4 3

:

z y

x

z y

x

Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (D)

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9) Viết

phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC

và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó

Bài toán 2 Chuyển dạng phương trình đường thẳng

Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phương của các đường thẳng sau

a)

3

1 4

2 3

1 : )

2

0 10 4

:

z y

x

z y

2

0 10 4 :

z y x

z y x

viết phương trình tham số của đường thẳng đó

Bài 3: Cho đường thẳng (d) có phương trình :  

2

0 10 4 :

z y x

z y x

viết phương trình chính tắc của đường thẳng đó

Bài4: Cho đường thẳng (d) có phương trình :   , t R

2 1

2 2

t y

t x

phương trình tổng quát của đường thẳng đó

Bài 5: Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường thẳng

(d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

a) ( ) : P x 2y 3 - 4z  0 b)  P :x 2y 3z  1 0

Bài 6: Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường thẳng

(d) đi qua điểm A(1;2;3) và song song với đường thẳng () cho bởi :

Bài 7:Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường thẳng (d)

đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc

0 2 2

: 1

z x

y x

2

0 10 4 :

2

z y x

z y x d

Bài 8:Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số, chính tắc và tổng

quát của đường thẳng (d) đi qua điểm A(3;2;1), song song với mặt phẳng (P)

và vuông góc với đường thẳng () Biết mặt phẳng

0 1 :

) (

z y

y x

Bài toán 3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Bài1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:

a)   , t R

2 3

t y

t x

c)  

0 5

0 10 6 3 2 :

z y x

4 12

t z

t y

t x

0 10 6 3 2 :

z y x

 P :x 2z 3y  1 0

c)   , t R

2 2

2

2 1

t y

t x

2

1 :

a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P)

b) Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P)

Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P) và

đường thẳng (dm) có phương trình : ( ) : 2 -P x y  2 0 ,

 

0 2 4 ) 1 2

(

0 1 )

1 ( ) 1

m y m x

m

Bài toán 4 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

(d1) và (d2) có phương trình cho bởi:

t z

t y

t x

3 2

2 3 :

0 19 4

: 2

z x

y x

t z

t y

t x

2 1 :

1 3

2 3

2 :

0 1 2

x

y x

0 1 2

0 3 3

: 2

z y x d

Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

 

5

1

2 5

t z

t y

t x

1 1

1 3

2 3 :

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) song song với nhau b) Viết phương trình đường thẳng (d) song song ,cách đều (d1),(d2) và thuộc mặt phẳng chứa (d1),(d2)

Bài 3: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi:

 

4

9 1

5 3

7 :

4 3

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) song song với nhau b) Viết phương trình đường thẳng (d) song song ,cách đều (d1),(d2) và thuộc mặt phẳng chứa (d1),(d2)

Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

4 6

2

2 3

t y

t x

0 15

0 19 4

: 2

y x d

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) cắt nhau

b) Viết phương trình đường phân giác của (d1),(d2)

Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

 

3

4 1

2 2

1 :

1 :

t z

t y

t x

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) cắt nhau

b) Viết phương trình đường phân giác của (d1),(d2)

Bài 6: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

t y

t x

1 1

2 1 t, t

2 :

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

b) Viết phương trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d1),(d2)

Bài 7: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

-y

0 23 8z

x

:

0 2 2

0 3 2 : 2

z x d

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

b) Viết phương trìnhmặt phẳng(P) song song, cách đều (d1),(d2)

Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

 

3

3 2

2 1

0 2

: 2

z y x d

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

b) Viết phương trình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d1),(d2)

Bài toán 5 Hai đường thẳng đồng phẳng và bài tập liên quan

Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

(d1),(d2) ,biết:

 

2

3 2

1 3

1 :

1 1

Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1;-1;1) và hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

-2x

0 3 z -

t z

t y

t x

-x

0 1 y

0 3 3

: 2

z y x d

a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1), (d2) c) Viết phương trình đường phân giác của(d1), (d2)

Bài 4: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

 

1

1 2

1 1

2 :

2 1 :

t z

t y

t x

1 1

3 :

0 2 4

: 2

y x d

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) song song với nhau

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2)

c) Viết phương trình đường thẳng (d) trong (P) song song cách đều (d1),(d2)

Bài toán 6 Hai đường thẳng chéo nhau và bài tập liên quan

Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

3 4

2 4

3 7 :

t y

t x

t z

t y

t x

1 1

12

2 9

1 :

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2)

Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz , cho hai đường thẳng

(d1),(d2) có phương trình cho bởi : ( ) : d1 x-y 1 z-1, (d2) : -x  1 y-1 z Tìm toạ độ điểm A1 thuộc (d1) và toạ độ điểm A2 thuộc (d2) để đường thẳng

A1A2 vuông góc với (d1) và vuông góc với (d2)

Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

t z

t y

t x

1 1

2 1 t, t

2 :

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau.Viết phương trình mặt phẳng (P),(Q) song song với nhau và lần lượt chứa (d1),(d2)

b) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)

Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

1 2

2 3

3 1 :

t x

0 12 2 5

0 8 2 3 : 2

y x d

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2)

Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết:

 

1

2 3

1 2

1 :

2 2

2 :

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2)

Bài 6: (ĐHSPQui Nhơn-D-96): cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết:

0 y x :

d1

2

3 1 :

t z

t y

t x

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

3 1

1 7

3 :

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1),(d2)

Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

1

1

2 2

1 1

t x

t z

t y

2

2 t , t

3 1

1 :

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d1),(d2) chéo nhau

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và song song với (d2) c) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)

Bài 9: (ĐHNN-97): Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho bởi :

-x

0 2z y

2 2 :

t z

t y

t x

Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2;2;4), A(-2;2;0)

,B(-5;2;0) ,C(-2;1;1) Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và SB

0 3 8z x :

0 2 2

0 3 2 : 2

z x d

b)  

3

3 2

2 1

1 :

0 2

: 2

z y x d

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cả hai đường

thẳng:

  R

t z

t y

t x

2

2 1

:

1 3

2 3

2 :

u y

u x d

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng () và

cắt cả hai đường thẳng:  

0 1

0 2 :

z y x

t z

t y

t x

2 :

1

0 3

0 2 2

1 1

1 :

2

z y x

5x

0 8 -

3 1 :

t z

t y

t x

0 2 2 : 2

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ và cắt cả 2

2

1 2

:

0 3 1 3

2 3

2 :

u y

u x d

Bài toán 2: Đường thẳng đi qua một điểm vuông góc với cả hai đường thẳng cho trước

Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;2;3) và cắt cả hai đường

thẳng (d1) ,(d2):

0 3 8z x :

0 2 2

0 3 2 : 2

z x

0 12 2

5

0 8 2

3 1 :

t z

t y

t x

Bài 2: (ĐHTCKT 1999) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(1;1;-2)

song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d):

Bài 1: (ĐHSP TPHCM-95): Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0;1;1)

và vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt (d2) ,biết:  

1 1

2 3

1 :

1

z y

x

0 1

0 2 :

-z

y

0 3 - z y

x

:

0 1

0 9 2 2 : 2

z y x d

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng cắt cả ba đường thẳng (d1) (d2) , (d3)

và vuông góc với vectơ u1; 2;3

0 1 y - x :

0

0 1 :

1

0 1 :

y mx d

Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phương trình đường thẳng đi qua A(3;-2;-4) song

song với mặt phẳng (P) :3x-2y-3z-7=0 và cắt đường thẳng (d) biết:

 

2

1 2

4 3

Bài toán 4: Hình chiếu vuông góc củađiểm lên mặt phẳng

Bài 1: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2;1;3) qua (P) cho bởi:

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) Xác định toạ độ của

H

Bài3: (ĐHGTVTTPHCM-99): Cho ba điểm A(1;1;2), B(-2;1;-1), C(2;-2;-1)

.Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng (ABC)

Bài 4: (ĐHTCKT-2000): Cho điểm A(2;3;5) và mặt phẳng (P) có phương

trình: 2x+3y+z-17=0

a) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông gócvới (P) b) CMR đường thẳng (d) cắt trục 0z , tìm giao điểm M của chúng c) Xác định toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (P)

Bài 5: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình:

(P): 2x+5y+z+17=0 và  

0 7 3

6

0 27 4 3

z y x d

a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P)

b) Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với (d) qua (P)

Bài 6: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình :

( ) : 2P xy  z 4 0 và  

0 7 2 3

0 3 2 :

y x d

a) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) và (P)

b) Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với (d) qua (P)

Bài 7: (ĐHQG 1998) Cho các điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) (a,b,c

dương ) Dựng hình hộp chữ nhật nhận O,A,B,C làm 4 đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó

a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)

b) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C xuống mặt phẳng (ABD) Tìm điều kiện đối với a,b,c để hình chiếu đó nằm trong mặt phẳng (xOy)

Bài toán 5: Hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng

Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian với hệ trục toạ độ trực

chuẩn 0xyz ,cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình:

(P):x+y+z-3=0 và  

0 3 2

0 3 :

z x

d Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên (Q)

Bài 2: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của giao tuyến (d) của hai

mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0 lên mặt phẳng 2x-z+7=0

Bài 3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz cho

đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình:  

2

1 3

4 4