skkn phương pháp giải một số dạng bài tập về số phức và một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập về số phức

Trải qua hai năm thamgia dạy chương trình toán lớp 12, tôi đã có những trải nghiệm nhất định về việcdạy và việc học của học sinh tôi thấy: + Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở l

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM -********* -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI

GIẢI BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC”

Môn: Toán

Tên tác giả: Bùi Thị Hải

Giáo viên môn: Toán

Năm học 2011 - 2012 PHẦN MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung

“số phức” vào chương trình phổ thông Đây là một nội dung mới đối với họcsinh bậc phổ thông, mặc dù nội dung còn ở mức độ đơn giản song nó là mới lạđối với học sinh lớp 12, đặc biệt nó chỉ được phân bố trong khoảng thời lượngkhông nhiều, mặt khác tài liệu tham khảo về nội dung này còn rất ít, đã vậy nộidung này đã được đưa và hầu hết các đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học trongnhững năm gần đây và nó chiếm một tỉ lệ nhất định Vì vậy việc dạy và học “Sốphức” có hiệu quả thật sự là một vấn đề cần nghiên cứu Trải qua hai năm thamgia dạy chương trình toán lớp 12, tôi đã có những trải nghiệm nhất định về việcdạy và việc học của học sinh tôi thấy:

+ Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khi vậndụng các em bị ảnh hưởng nhiều tính chất của tập hợp số thực, vì vậy các em tỏ

ra lúng túng khi giải quyết bài toán về số phức, đặc biệt các em còn nhầm tưởngtính chất của tập hợp số thực cũng đúng trong tập hợp số phức

+ Nghiên cứu dạng toán này còn giúp học sinh kết hợp phương pháp đại số vàphương pháp tọa độ trong mặt phẳng để giải một số dạng toán nâng cao tronghình học, trong lượng giác

Từ lí do trên mà tôi xin trao đổi cùng đồng nghiệp và các em học sinh sángkiến kinh nghiệm với đề tài “ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀITẬP VỀ SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BÀITẬP VỀ SỐ PHỨC “ nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học chương sốphức của lớp 12

II PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

* Đề tài có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở trường THPTtham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và Cao đẳng – Đại học

* Phạm vi nghiên cứu của đề tài:

+ Một số dạng bài tập thường gặp về số phức

+ Một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập về số phức

+ Ứng dụng số phức để giải quyết một số bài toán về số thực

+ Các bài toán tham khảo qua các kì thi

III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

+ Cùng chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh về kinh nghiệm và phươngpháp giải một số bài tập về số phức Qua SKKN này học sinh nắm được nhữngnội dung chính và những vấn đề cần lưu ý khi nghiên cứu chương số phức Đặcbiệt học sinh nắm được phương pháp giải một số dạng toán về số phức và tránhđược một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong quá trình giải toán về sốphức

+ Tự bản thân trau rồi và rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sưphạm

+ Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT CAO BÁ QUÁT GIALÂM

IV CƠ SỞ LÝ LUẬN

Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:

+ Các kiến thức cơ bản về số phức

Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt nội dung chính và những vấn đề cần lưu ýkhi nghiên cứu chương số phức.

1) SỐ PHỨC

* Định nghĩa 1:

Mỗi số phức là một biểu thức có dạng a+ bi, với a, b R và i2 = -1

Kí hiệu số phức đó là z = a +bi ; i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức z = a + bi.

'

b b a a i

b a bi a

* Biểu diễn hình học của số phức:

+ Ứng với mỗi số phức z = a + bi có duy nhất một điểm M(a;b) trên mặt

phẳng Oxy và ngược lại Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b)

Ngoài ra, số phức z = a + bi còn được biểu diễn bởi vectơ u(a;b)

+ Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực Các điểm trên trục tung

Oy biểu diễn các số ảo.

* Phép cộng, phép trừ hai số phức:

Cho hai số phức z = a + bi và số phức z ’ = a ' + b ’ i.

Tổng của hai số phức trên là số phức z+z ’ = (a+a ’ ) + (b+b’)i

Hiệu của hai số phức trên là số phức z-z ’ = (a-a ’ ) + (b-b’)i

Khi đó, nếu u(a;b)biểu diễn số phức z, u' (a' ;b' )biểu diễn số phức z’ thì vectơ

Cho hai số phức z = a + bi và số phức z ’ = a ' + b’i.

Tích của hai số phức trên là số phức zz ’ = (aa ’ –bb ’ )+ (ab ’ +a’b)i

Chú ý: Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức một cách

hình thức tương tự như các phép toán cộng, trừ, nhân trên tập hợp số thực R.

* Phép chia số phức:

+ Số phức liên hợp của số phức z = a +bi là số phức za bi

+ Môđun của số phức z = a +bi là z  a2 b2

+ Số nghịch đảo của số phức z = a +bi khác 0 là số phức z z2 z

1 1





+ Thương

1 ' '



 

-Vậy: ,(a b ).

b a

bi) i)(a b

(a bi a

i b

a ' ' ' '

2 2 2

2) CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

* Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức w là số phức z sao cho z2= w.

*Nhận xét:

+) Mỗi số phức z 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)

+) Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

+) Đặc biệt: số thực a dương có hai căn bậc hai là a và  a ; số thực a âm

có hai căn bậc hai là a ivà  a i;

* Chú ý 1:Không được dùng kí hiệu để chỉ căn bậc hai của một số phức.

* Phương pháp tìm căn bậc hai của số phức wabi:

+ Giả sử z xyi là căn bậc hai của w

Vậy ta có: z2 w x2  y2 2xyiabi

+ Giải hệ phương trình: ( 1 )

2

2 2

a y x

B





3) DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

* Định nghĩa: Dạng lượng giác của số phức z là : zrcosisin, với r > 0.

* Phương pháp tìm dạng lượng giác: của số phức z = a + bi (a, b R) khác 0





sin cos

* Nhân và chia hai số phức dưới dạng lượng giác:

+) Nếu zrcosisin, z, r, cos, isin, , (r 0 ,r,  0) thì

z

+) Lưu ý:

Nhân hai số phức: tích các môđun và tổng các acgumen

Chia hai số phức: thương các môđun và hiệu các acgumen

* Công thức Moa – vrơ:

+) rcos  isin  n r ncosn isinn ;nN*

+) Đặc biệt khi r = 1: cos  isin n  cosn isinn

* Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

Số phức zrcosisin, r > 0, có hai căn bậc hai là:

)2

cos(

2

sin2

r

B) MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC

Dựa vào những nội dung trọng tâm và những kiến thức cần lưu ý, trên cơ sở đó

ta có thể phân loại một số dạng bài tập vận dụng sau đây:

Dạng 1: Các phép tính về số phức và các bài toán định tính

* Yêu cầu:

- Nắm chắc các khái niệm và các phép toán.

- Rèn luyện kĩ năng tính toán thành thạo, chính xác.

- Biết sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.

* Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết :

(1+ i)2.(2- i)z = 8 + i + (1+2i)z





 1

Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn: z  2 và z2 là số thuần ảo

(Đề thi Đại học Khối D- năm 2010)

2 2

b a

b a

1

2 2

b a

b a b a b a b a

Vậy các số phức cần tìm là: 1+i; -1- i; 1- i; -1+i.

Chú ý : Trong một số trường hợp, thực chất yêu cầu của bài toán là thực hiện

các phép tính trên tập hợp các số phức mà áp dụng tương tự trên tập hợp số thực.

Ví dụ 5: Tính tổng :    2  3  2011

1

11

1

S         

Giải

Áp dụng công thức tính tổng của 2012 số hạng của một cấp số nhân với số hạngđầu u1 1, công bội q1  i ta được

 

i i

i i

i i

i S

3

32

13

213

211

11

i x

y i x

i

5 3 )

2 1 ( 3

2 )

10 3 ( ) 2 1 (

y x

i y x

y

5 3 4

) 3 3 (

2 ) 10 2

( ) 3 1 ( 

3 3

3

0 10

2

2 3

1

y

y x

y x

y

 Hệ vô nghiệm

*Phân tích sai lầm: Học sinh hiểu sai x, y  R nên đã coi hệ số của i ở vế phải

của mỗi phương trình trong hệ trên là phần ảo, phần còn lại là phần thực

5 3 ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( 3

6 ) 10 3 ( 3 ) 2 1 ( 3

i x

i

y i x

i x

i

y i x

i

11 7 )

2 11 ( ) 2 1 ( 3

6 ) 10 3 ( 3 ) 2 1 ( 3 

i y i x

i

11 7 )

28 20 (

6 ) 30 9 ( ) 6 3 ( 

20 11 7

6 )

10 3 ( 3 ) 2 1 ( 3

i i

i y

y i x

563552

1777 2843

i y

i x

b a i bi

a

i b a i bi

a i

5 3 ) ' ' ( ) 2 1 ( ) (

3

2 ) ' ' )(

10 3 ( ) )(

2 1 (

2 

a b b b

a a

i b

a b b

a b a

5 3 )

' 4 ' 3 3 ( ) ' 4 ' 3 3 (

2 ) ' 10 ' 3 2 ( ) ' 10 ' 3 2 (

' 4 '

3 3

3

' 4 '

3 3

0

' 10 '

3 2

2 '

10 '

3 2

a b

b

b a

a

b a

b

b a

b a

Giải hệ trên trong tập số thực ta được

296 56 '

3552 3552

b a b a

Vậy nghiệm của hệ là

563552

1777 2843

i y

i x

3

2 3

1

z

z

i z

i z

b) 

i x

y i x

i

5 3 2

) 2 1 ( 3

2 )

10 3 ( ) 2

3

z

i w

z

Dạng 2: Biểu diễn hình học của số phức

* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:

+) Biểu diễn hình học các số phức trong mặt phẳng Oxy (mặt phẳng phức) +) Tìm điểm hoặc tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn một hoặc một vài điều kiện cho trước.

i i

21).(

1(

;1

4

a) Chứng minh tam giác ABC vuông cân

b) Tìm số phức z có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình vuông.

i

23

62

Vậy tam giác ABC vuông cân tại B

b) Do tam giác ABC vuông cân tại B, ABCD là hình vuông

1

D D

y x

D D

y x

z i z

2 2

z

1 1 2

2

z i

2

11

Phân tích sai lầm: Học sinh nhầm tưởng kí hiệu môđun của số phức với kí hiệu

gái trị tuyệt đối trong tập hợp số thực.

Từ đó suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường Elip nhận F1, F2

là hai tiêu điểm, trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8

Phương trình chính tắc của (E): 1

9 25

2 2



 y x

Cách 2:

Gọi điểm M biểu diễn số phức z, điểm F1(-4; 0) biểu diễn số phức -4+0i; điểm

F2(4;0) biểu diễn số phức 4 + 0i.

Khi đó, z 4 là khoảng cách MF1; z 4 là khoảng cách MF2

Ta có : z 4  z 4  10  MF1MF2  10

Theo định nghĩa đường Elip, suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là

đường Elip nhận F1, F2 là hai tiêu điểm, trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8

Lưu ý:Với câu b)

- Học sinh thường gặp rắc rối trong cách 1 là từ (*) khó biến đổi về một phương trình đường Elip dạng chính tắc quen thuộc nếu không phát hiện ra công thức tính khoảng cách giữa hai điểm khi biết tọa độ của chúng, và định nghĩa đường Elip thì khó có thể chỉ ra quỹ tích điểm M một cách cụ thể.

- Để vận dụng được theo cách 2 thì học sinh phải nắm được môđun z  z, biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức z và z ’

Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức

Dạng 3: Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc 2

* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:

- Tìm căn bậc hai của số phức z.

- Giải phương trình bậc hai với hệ số thực hoặc hệ số phức.

a) 31 có hai căn bậc hai là 31i và  31i

4

31 3

4

31 3

2 1

i z

 i i có hai căn bậc hai là 1 và -1

1

121

-1 1

12

và i i

*Tìm căn bậc hai của 

Cách 1: Gọi  xyi;x,yR là một căn bậc hai của , khi đó ta có

1 8

2

15

2 2

y

x y

x xy

y x

)41(23

-2 2

)41(23

2

1

i i

i z

và

i i

i z

Chú ý: Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lí Viet vẫn đúng trong trường hợp xét

phương trình bậc hai trong tập hợp số phức

Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

(2 3i)z2(4i 3)z1 i0

Giải

Ta có ( 2  3i)  ( 4i 3 )  1  i  0

-Vậy phương trình có hai nghiệm

13

113

532

1

i

i z

Dạng 4: Phương trình quy về bậc hai

* Những dạng phương trình quy về bậc hai thường gặp:

- Đối với phương trình bậc cao, thông thườngsử dụng phương pháp đổi biến hoặc phải nhẩm được một nghiệm để tách thành nhân tử là những biểu thức bậc thấp hơn tương tự như cách giải phương trình bậc cao trong tập hợp số thực

* Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

z i

i z

i z

27

34

i z

27

34

 i i có hai căn bậc hai là 1 và -1

1

121

-1 1

12

ivà i

12 4

2

t

t t

0 6

2 2

z z

z z

2

23 1

z z

i z

i z

là bốn nghiệm của phương trình đã

cho

Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

1 0

2

2 3 4

z

0

2

5 1

z

Đặt

z z

3 1 0

2

5

2

i t

i t

i z

i i

i z

i i

2

1 2

1 4

3 3 1

1 4

3 3 1 )

2 ( , 3 6

8

2

1 2

i z

i i

i z

i i

1 4

3 3

1 2

1 4

3 3

1 )

3 ( , 3 6

8

4

3 2

Vậy phương trình có bốn nghiệm

Ví dụ 4: Giải phương trình sau :

i z

i z

i

z i z

i z

* Phân tích sai lầm:Học sinh đã áp dụng phương pháp giải phương trình x 4 = 1trong tập hợp số thực Nhưng trong tập hợp số phức, ngoài số 1 và -1 ra còn có

số i và –i thỏa mãn i4 = 1, (-i)4 = 1

* Lời giải đúng:

i z

i z

i i z

i

z i z

i

z i z

i z

1 1

) (

i z i i z

i z i i z

i z i z

i z i z

i

i z

i z

1 )

1 (

1 ) 1 ( 0

z z z

i z

 zi4  (z i) 4  z4 4z36z24z1z4 4z36z2 4z1

z z

z

là ba nghiệm của phương trình đã cho

Bài tập tương tự Bài 1: Giải các phương trình sau

Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức

* Bài toán thường cho dưới dạng:

- Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác hoặc ngược lại.

- Thực hiện nhân, chia và căn bậc hai các số phức dưới dạng lượng giác.

- Bài toán ứng dụng công thức Moa – vrơ.

* Kiến thức:

- Nắm chắc dạng lượng giác của một số phức và cách xác định môđun và acgumen của số phức, đặc biệt là phải biết vận dụng công thức giá trị lượng giác giữa các góc (cung) có liên quan đặc biệt.

- Nắm chắc các phép toán nhân, chia, hai số phức dạng lượng giác và căn bậc hai của số phức dạng lượng giác.

5cos2

sin6

53cos43

7cos

3 4

7cos

cos2sin

2   i  (1) là dạng lượng giác của

số phức z.

*Phân tích sai lầm: Do học sinh không hiểu đúng định nghĩa dạng lượng lượng

giác của số phức là z r(cosisin), với môđun r > 0

cos2sin

cos2sin

của số phức z

,cossin

cos24sin224sin

cos2

4

sin24sin

sin2

4

cos24sin

w  nếu 1 1,

z z

i z

2

3 2 1 2

3 2 1

cos

3

sin 3

cos 2

i z

Áp dụng công thức Moa – vrơ

* Với

3

sin3

cos

13

sin3

13

2012sin3

2012cos

2cos

13

2sin3

2cos

12

32

z , tương tự ta có phần thực của w bằng -1, phần

ảo của w bằng 0.

Chú ý: Trong bài tập trên có thể thay số mũ bởi số khác sẽ được bài tập tương

tự Khi đó có thể vận dụng công thức lược giác liên hệ giữa các cung có liên qua đặc biệt để tính toán.

Ví dụ 4: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức z biết:

sin4

sin4

2cos   i  

và dạng lượng giác của hai căn bậc hai đó là 

sin4

2cos   i   và

sin4

sin 4

cos 3

3 2

1

b)  

20 3

4 2102

2 2012

Khai triển nhị thức Niu – tơn của (1 + i)2012 ta được:

4 2102

2 2012

1

9 6 3

n n

2cos  i 

z  , có z3 = 1;

3

sin3

cos2

32

cos2

32

1

n n n

Bài tập tương tự Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có các hệ thức sau:

0 3 2 3 2 4 3 3 6 2 cosn3

C C

C

n n

2 3

* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:

- Biểu diễn biểu thức lượng giác theo các biểu thức lượng giác khác

- Chứng minh đẳng thức lượng giác, …

* Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh công thức lượng giác:

cos3 4cos3 3cos và sin3 3sin 4sin3

-Giải

Đặt z cos  isin  Ta tính z3 theo 2 cách rồi đồng nhất

Từ công thức Moa- vrơ ta có: (cosisin)3 cos3isin3 (1)

Mặt khác theo khai triển Niu – Tơn ta có:

2 3

sin sin

cos 3 3 sin

sin cos 3 cos

3 cos

Thay sin2 = 1- cos2 , cos2 = 1- sin2 ta được:

cos3 4cos3 3coss





và sin3 3sin 4sin3

Ví dụ 2: Cho các số thực a, ,b sao cho 0

2

sin a Với mỗi số nguyên n  1, xét

các tổng:

S  cosb cos(ab)  cos( 2ab)   cos(nab)

T  sinb sin(ab)  sin( 2ab)   sin(nab)

=

z

z w

=

a i a

a n i a n w

sincos

1

)1sin(

)1cos(

sin2sin

2

1cos2

1sin2

1sin

a i a a

a

n i a

n a

n w

sin2

1cos2

1sin2

sin2

1

i

a a

n i a

n a

a

n w

cos2

sin2

1

i

na a

a n w

a na i na  b i b

a

n

sincos

2

sin2

cos2

sin2

1sin

2

sin2

cos2

sin2

1sin

2cos2

sin2

1sin

2sin2sin2

1sin

Bài tập tương tự:

Bài 1: Tính sin4, cos4 theo các lũy thừa của cos và sin

Bài 2: Cho z = cos + isin

a)Chứng minh rằng: z n z n n

cos 2



 và z n z n i n

sin 2

Ssinxsin2xsin3x sinnx

T cosx cos2x cos3x cosnx