skkn lớp bài toán tìm toạ độ điểm trong không gian thoả mãn một số điều kiện cho trước

Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu lí luận và đề xuất phơng pháp dạy học góp phần nâng cao hiệu quả dạy học lớp bài toán:"Tìm toạ độ điểm trong không gian thoả mãn một số điều kiện cho trớc

về các phép biến hình trong mặt phẳng và bắt đầu làm quen với hình học không gian các em lại thấy khó và quá trìu tợng Đến lớp 12 học sinh vẫn tiếp tục học hình học không gian và đến kì II thì học sang phơng pháp toạ

độ trong không gian Đến phần này, các em lại gặp trở ngại là cần liên

hệ với các kiến thức hình học không gian đã học ở lớp 11 và đòi hỏi phải

Đồng thời học sinh phải biết vận dụng đại số vào hình học, biết qui lạ về quen Đặc biệt lớp bài toán này yêu cầu học sinh phải cần cù, cẩn thận,

đã tích luỹ và rút ra đợc trong quá trình dạy học.

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận và đề xuất phơng pháp dạy học góp phần nâng cao hiệu

quả dạy học lớp bài toán:"Tìm toạ độ điểm trong không gian thoả mãn một

số điều kiện cho trớc".

3 Phơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu bằng lí luận: Nghiên cứu các giáo trình về phơng pháp dạy họcToán ở trờng phổ thông, tài liệu hớng dẫn đổi mới phơng pháp dạy học, các sáchgiáo khoa, sách tham khảo, báo Toán học và tuổi trẻ

Nghiên cứu bằng thực nghiệm: Thông qua việc dạy và học phần phơngpháp toạ độ trong không gian ở các năm của bản thân và tổng kết các kinhnghiệm giảng dạy của các bạn đồng nghiệp trong tổ nhóm.

4 Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm

Phần I: Mở đầu

Phần II: Nội dung

A Thực trạng của việc dạy và học "lớp bài toán tìm toạ độ điểm trong không

gian thoả mãn một số điều kiện cho trớc" ở Trờng THPT Yên Khánh A.

B Đề xuất phơng pháp

C Kết quả đạt đợc

Phần III: Kết luận

Phần II: Nội dung

A Thực trạng của việc dạy và học "lớp bài toán tìm toạ độ điểm trong không gian thoả mãn một số điều kiện cho trớc" ở Trờng THPT Yên Khánh A.

1 Thực trạng

- Qua nghiên cứu, tìm hiểu tôi phát hiện đợc phần lớn học sinh trờng tôi đều

cho rằng :"bài toán tìm toạ độ điểm trong không gian thoả mãn một số điều

kiện cho trớc" là không quan trọng và không khó nên có phần xem nhẹ, hơn nữa

để giải các bài toán này thì cần phải viết nhiều và tính toán nhiều nên nhiều họcsinh ngại học, ngại làm, có nhiều học sinh cho rằng học phần này nhàm chánquá, những học khá giỏi thì chủ quan chỉ cần biết phơng pháp nên rất lời tínhtoán, rèn luyện kỹ năng nên rất dễ bị tính toán sai dẫn đến kết quả học tập khôngcao, bởi đối với lớp bài tập này đòi hỏi phải có tính cần cù, chịu khó và phải tínhtoán chính xác, còn nếu phơng pháp đúng mà tính toán sai thì cũng không thu đ-

ợc kết quả gì

- Xuất phát từ thực trạng đó, ở trờng tôi, giáo viên đã nêu lên tầm quan trọngcủa bài, gợi động cơ học tập đồng thời tích cực trao đổi, tìm tòi phơng pháp, khơidậy hứng thú, niềm đam mê học tập của học sinh giúp các em không còn cảm

thấy nhàm chán khi học lớp bài toán này, góp phần nâng cao chất lợng dạy vàhọc.

- Đối với bản thân tôi, trớc đây các bài toán tìm điểm này tôi chỉ đa lồng vào cácbài toán lập phơng trình đờng thẳng và phơng trình mặt phẳng và cũng khôngchú ý rèn kỹ năng tính toán cho học sinh mà nghĩ rằng chỉ cần hớng dẫn họcsinh xây dựng đợc phơng pháp, có phơng pháp rồi chắc chắn các em sẽ làm đợc

và tôi cũng chỉ hớng dẫn cho học sinh xây dựng phơng pháp giải các bài toán cơ

bản: "Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P), tìm toạ độ

điểm M' đối xứng với M qua (P), tìm toạ độ điểm K là hình chiếu của M trên

đờng thẳng d, tìm toạ độ điểm M 1 đối xứng với M qua đờng thẳng d" bởi tôi

cho rằng nếu nắm đợc các bài toán cơ bản đó thì khi gặp các bài toán tìm điểmkhác có liên quan đến các bài toán đó thì học sinh có thể tự chuyển về bài toánquen thuộc Nhng trên thực tế, tôi thấy rằng phần lớn học sinh không biết qui lạ

về quen, không có hứng thú học phần này, không chịu rèn luyện kỹ năng tínhtoán Chính vì vậy tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, đổi mới phơng pháp nhằm cuốn hútcác em vào mỗi bài học ở đó các em nhận thức đợc vai trò trung tâm của mình,các em lĩnh hội tri thức thông qua tự giải quyết vấn đề, tự hớng dẫn tìm tòi vàcộng tác với bạn bè

2 Yêu cầu của bài học:

2.1 Kiến thức

2.1.1 Toạ độ của véctơ và của điểm

a) Định nghĩa toạ độ của véctơ : u ( x ; y ; z )  u xi  yj  z k

b) Véctơ bằng nhau, toạ độ của véctơ tổng, véctơ hiệu

' y y

' x x

k 1

' ky y y

k 1

' kx x x

OB k 1 k OA

k 1 1 OM

) 1 k ( MB k MA

M M M

* k = -1, M là trung điểm của AB

z

2 ' y y

y

2 ' x x

x

M M M

* G là trọng tâm tam giác ABC

z z

3

y y

y y

3

x x

x x

C B

A G

C B

A G

C B

A G

z z

z

4

y y

y y

y

4

x x

x x

x

D C

B A

G

D C

B A

G

D C

B A

; ' x ' z x z

; ' z ' y z y w v ,

D Cz By Ax

2.1.4 Khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng

Đờng thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phơng u

d(A;d) =  

u

AM , u





2.1.5 Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau

Đờng thẳng d1 đi qua A và có vectơ chỉ phơng u1

Đờng thẳng d2 đi qua B và có vectơ chỉ phơng u2

d(d1;d2)=  

 1 2

2 1

u , u

AB u

,

2.1.6 Các bài toán lập phơng trình mặt phẳng và phơng trình đờng thẳng cơ bản (phần lớn các bài toán lập phơng trình đờng thẳng thờng qui về bài toán này).

; B

; A ( n

) P ( ) z

; y

; x

(

M

P

0 0 0

; b

; a ( u

d ) z

; y

; x

(

M

d

0 0 0

thì phơng trình tham số của đờng thẳng d là: 

z

bt y

y

at x

x

0 0

phơng trình chính tắc của đờng thẳng d là:

( abc 0 )

c

z z b

y y a

2.2.2 Biết tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng, tọa độ giao

điểm của hai đờng thẳng.

2.2.3 Biết xét vị trí tơng đối của hai đờng thẳng, vị trí tơng đối của mặt cầu

và mặt phẳng, xét xem hai điểm cùng phía hay khác phía đối với một mặt phẳng, hai điểm cùng phía hay khác phía đối với một đờng thẳng trong tr- ờng hợp chúng đồng phẳng.

2.2.4 Biết xác định tâm và bán kính mặt cầu khi biết phơng trình của mặt cầu.

2.2.5 Biết khai thác dữ kiện điểm thuộc đờng thẳng, điểm thuộc mặt phẳng 2.3 T duy

Biết quy nạp và khái quát hoá

Biết vận dụng linh hoạt các công thức, biết qui lạ về quen

nên học sinh không biết cách khai thác, qui lạ vê quen

* Giải pháp cải tiến

1 Cung cấp một số đẳng thức vectơ, đẳng thức độ dài và một số kĩ năng cần thiết

1.1 Một số đẳng thức vectơ

a) Cho hai điểm A, B và hai số thực a, b thoả mãn: a + b ≠ 0

* Tồn tại duy nhất điểm I xác định bởi : a IA  b IB  0

* Với điểm I xác định nh trên và một điểm O bất kì, ta có:

b a

b OA b a

a OI OI ) b a ( OB

b) Cho ba điểm A, B, C và ba số thực a, b, c thoả mãn: a + b + c ≠ 0

* Tồn tại duy nhất điểm I xác định bởi : a IA  b IB  c IC  0

* Với điểm I xác định nh trên và một điểm O bất kì, ta có:

OI ) c b a ( OC c OB

b

OA

c b a

c OB c b a

b OA c b a

a OI

* Tồn tại duy nhất điểm I xác định bởi : a IA  b IB  c IC  d ID  0

* Với điểm I xác định nh trên và một điểm O bất kì, ta có:

OI ) d c b a ( OC d OC c OB b OA

OD d c b a

d OC

d c b a

c OB

d c b a

b OA

d c b

a) Công thức độ dài đờng trung tuyến:

* Trong tam giác ABC, M là trung điểm của BC thì:

2

BC AM 2 AC AB 4

BC 2

AC AB AM

2 2 2

2 2

2 2 2

b) Trong tam giác ABC với trọng tâm G, M là một điểm tuỳ ý trong không gian

ta luôn có: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2

*Với ba điểm A, B, C và điểm I xác định bởi: a IA  b IB  c IC  0( a  b  c  0 )

M là một điểm tuỳ ý, ta có:

aMA2 + bMB2 + cMC2 = (a + b + c)MI2 + aIA2 + bIB2 + cIC2

c) Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, M là một điểm tuỳ ý, ta có:

MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 + GA2 + GB2 + GC2 + GD2

Với bốn điểm A, B, C, D và điểm I xác định bởi:

a IA  b IB  c IC  d ID  0 ( a  b  c  d  0 ), M là một điểm tuỳ ý, ta có :

aMA2 + bMB2 + cMC2 + dMD2 = (a + b + c + d)MI2 + aIA2 + bIB2 + cIC2+ dID2

Bằng suy luận tơng tự, ta có thể xây dựng các đẳng thức tơng tự cho hệ n điểm

1.3 Kĩ năng khai thác dữ kiện điểm thuộc mặt phẳng hoặc thuộc đ ờng thẳng

Tôi lu ý cho học sinh: tìm tọa độ của một điểm trong không gian là phải tìm:hoành độ, tung độ, cao độ của điểm đó và coi nh ba ẩn Vì vậy muốn tìm toạ độcủa một điểm trong không gian thông thờng ta phải dựa vào dữ kiện bài toán đểlập đợc số phơng trình bằng với số ẩn cần tìm Và nếu nh bài toán cho dữ kiện

điểm thuộc mặt phẳng thì toạ độ của nó phụ thuộc vào hai ẩn, muốn tìm đợc toạ

độ điểm đó ta phải lập đợc hai phơng trình nữa, còn nếu bài toán cho dữ kiện

điểm thuộc đờng thẳng thì toạ độ của nó chỉ phụ thuộc vào một ẩn vì vậy muốntìm toạ độ của điểm đó ta chỉ cần lập thêm một phơng trình.

y

at x

a) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu của M trên (P)

b) Tìm toạ độ điểm M' đối xứng với M qua (P)

 Hớng dẫn học sinh hình thành phơng pháp giải bài toán

Tôi yêu cầu học sinh vẽ hình minh hoạ và trả lời các câu hỏi sau:

Nêu cách xác định điểm H là hình chiếu của M trên (P)?

 





) P ( MH

) P ( H

* MH và nP(là vectơ pháp tuyến của (P)) có quan hệ nh thế nào?

z

k B y

y

k A x

x

0 D

Cz By

Ax

0 0

Từ đó tôi yêu cầu học sinh nêu các bớc giải bài toán tìm toạ độ điểm H là hìnhchiếu của M trên mặt phẳng (P)

Bớc 1: Gọi H(x; y; z) là hình chiếu của điểm M(x0; y0; z0) trên mặt phẳng

) P ( H

z

k B y

y

k A x

x

0 D

Cz By

Ax

0 0

Bớc 4: Giải hệ tìm đợc toạ độ điểm M và kết luận.

Từ cách giải trên, tôi lu ý cho học sinh để ý đến đẳng thức MH  k nP , cho

ta biết điểm H thuộc tập hợp điểm nào?

 H thuộc đờng thẳng d là đờng thẳng đi qua M và vuông góc với (P)

Mặt khác, H lại phải thuộc (P), vậy H xác định nh thế nào?

 H là giao điểm của đờng thẳng d và mặt phẳng (P)

Vậy ta có thể trình bày lời giải bài toán trên theo cách khác nh thế nào?

Bớc 1: Lập phơng trình đờng thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).

Bớc 2: H là hình chiếu vuông góc của M trên (P) thì H là giao điểm của d và (P)

=> Toạ độ H là nghiệm của hệ gồm phơng trình đờng thẳng d và phơng trình mặtphẳng (P)

Bớc 3: Giải hệ suy ra toạ độ điểm H và kết luận.

M' là điểm đối xứng của M qua (P) thì M' xác định nh thế nào?

 Cách 1:     





 P H

P M

' M

(H là trung điểm của MM')

 Cách 2: Tìm toạ độ H là hình chiếu của M trên (P)

M' đối xứng với M qua (P)  H là trung điểm của M'M

?

Suy ra toạ độ của M': 

' M

M H

' M

M H

' M

z z

2 z

y y

2 y

x x

2 x

Cho điểm M và mặt phẳng (P), I là điểm bất kì trên (P) Gọi H là hình chiếucủa M trên (P), hãy so sánh MH và MI

 MI ≥ MH

Dấu bằng xảy ra khi nào?

 Khi I trùng với H

Nh vậy bài toán 1a) có thể cho bằng cách khác nh thế nào?

 Cho điểm M và mặt phẳng (P) Tìm điểm H trên mặt phẳng (P) sao cho

Khi đó điểm M' là điểm đối xứng của M qua mặt phẳng (P)

Nh vậy bài toán một (b) có thể hỏi dới cách khác là: cho mặt phẳng (P) và điểm

M, tìm điểm M' sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MM'

Để học sinh có kỹ năng giải bài toán này thành thạo Tôi cho bài tập vậndụng và chú ý rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày và cách tính để thu đợckết quả một cách nhanh nhất

) P ( H

k 2 1 y

k 1 x

0 5 z y 2 x

k z

k 2 1 y

k 1 x

0 5 z y 2 x

H ( 2 ; 1 ; 1 )

1 z 1 y 2 x 1 k

k z

k 1 y k 1 x

0 6 k

; 2

; 1 ( n u

d M

t 2 1

y

t 1

; 2

4 y

; 2

2 x H

M' là điểm đối xứng của M qua (P)

k 2

z

k y

k 2

0 28 k 14

k 2 z k 4 y

k 2 x

0 34 z

; 6

; 8 ( '

; 1

; 3 ( n

z

t 4

y

t 3 2

; 5

; 6

; 8 ( ' M 2

2 0 z

z

2

z

6 4

10 y

y

2

y

8 2

10 x

x

2

x

M H

'

M

M H

'

M

M H

Để các em có kĩ năng giải bài toán này nhanh và chính xác, tôi cho bài tập t

-ơng tự để các em làm ở nhà, ở một số bài tôi đều cho trớc kết quả để các em cóthể so sánh xem mình làm có đúng không và đặc biệt tôi cũng hớng dẫn các embiết cách thử lại để tự kiểm tra khi không có kết quả trớc

Cách suy luận để giải bài toán này là một cơ sở để tìm lời giải của các bài toántìm toạ độ điểm trong không gian không gian Đặc biệt có nhiều bài toán tìm

điểm đều qui về bài toán này Để các em nhận thức đợc điều đó, tôi đa ra một sốbài toán sau và hớng dẫn để các em tự tìm ra phơng pháp giải, qui lạ về quen

Bài toán 2: Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (P)

a) Tìm điểm M trên (P) sao cho ( MA2 +MB2) nhỏ nhất

b) Tìm điểm N trên mặt phẳng (P) sao cho (aNA2 + bNB2) ( với a + b > 0) đạt giátrị nhỏ nhất

c) Tìm điểm K trên mặt phẳng (P) sao cho (cKA2 + dKB2) (với c + d < 0) đạt giátrị lớn nhất

 Hớng dẫn học sinh hình thành phơng pháp

Bài toán 2a)

Khi M di động trên (P) thì MA, MB đều có độ dài thay đổi Vì vậy muốn tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức (MA2 + MB2) ta có thể biến đổi nó chỉ theo một

đại lợng thay đổi

Vậy với tam giác MAB thì biểu thức MA2 + MB2 gợi cho em nghĩ đến côngthức nào?

 Công thức độ dài đờng trung tuyến:

Trong tam giác MAB, I là trung điểm của AB thì:

2

AB MI 2 MB MA 4

AB 2

MB MA

MI

2 2 2

2 2

2 2 2

 Vì AB có độ dài không đổi nên (MA2 + MB2) đạt giá trị nhỏ nhất khi MI2

ngắn nhất, mà M lại di động trên (P), I cố định nên MI2 ngắn nhất khi M là hìnhchiếu của I trên (P)

Hãy nêu phơng pháp giải bài toán 2a):

Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I là trung điểm của AB.

Bớc 2: Với ba điểm M, A, B ta luôn có:

2

AB MI 2 MB MA

2 2 2

AB có độ dài không đổi nên (MA2 + MB2) đạt giá trị nhỏ nhất khi MIngắn nhất.

M di động trên (P), I cố định nên MI ngắn nhất khi M là hình chiếu của

 (aNA2 + bNB2) = a NA2  b NB2  a ( IA  IN ) 2  b ( IB  IN ) 2

= ( a  b ) IN2  a IA2  b IB2  2 IN ( a IA  b IB )

= ( a  b ) IN 2  aIA 2  bIB 2

Với điều kiện a + b > 0 thì (aNA2 + bNB2) đạt giá trị nhỏ nhất khi nào

 Do aIA  2 bIB 2có giá trị không đổi, a + b > 0 nên (aNA2 + bNB2) đạt giá trịnhỏ nhất khi IN ngắn nhất

Mà I cố định, N di động trên (P) nên NI ngắn nhất khi N là hình chiếu của Itrên (P)

Hãy nêu các bớc giải bài toán 2b).

Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I thoả mãn: a IA  b IB  0

Bớc 2: Chứng minh: (aNA2 + bNB2) = ( a  b ) IN 2  aIA 2  bIB 2

Bớc 3: (bớc chuyển bài toán)

Do aIA  2 bIB 2có giá trị không đổi, a + b > 0 nên (aNA2 + bNB2) đạt giá trịnhỏ nhất khi IN ngắn nhất

Mà I cố định, N di động trên (P) nên NI ngắn nhất khi N là hình chiếu của Itrên (P)

Bớc 4: Tìm toạ độ điểm N là hình chiếu của I trên (P) (Bài toán 1a)

Bớc 5: Kết luận.

Bằng suy luận tơng tự học sinh dễ dàng suy ra phơng pháp giải bài toán 2c):

Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I1 thoả mãn: c I1A  d I1B  0

Bớc 2: Chứng minh: (cKA2 + dKB2) = 2

1

2 1

2

I d c

2) Tìm toạ độ điểm N trên (P) sao cho (- NA2 + 3NB2) đạt giá trị nhỏ nhất

3) Tìm toạ độ điểm K trên (P) sao cho (KA2 - 2KB2) đạt giá trị lớn nhất

2 2 2

Mà M thuộc (P), I cố định nên M là hình chiếu của I trên (P)

(P) có vectơ pháp tuyến là n ( 1 ; 1 ;  1 ) Gọi d là đờng thẳng đi qua I và vuônggóc với (P)

 d có vectơ chỉ phơng u n ( 1 ; 1 ;  1 ) và đi qua I(1; 1; 3) nên có phơngtrình: 

z

t 1

y

t 1

; 1

; 9 ( E OB 2

3 OA

Gọi d1 là đờng thẳng đi qua E và vuông góc với (P)

 d1 có vectơ chỉ phơng u n ( 1 ; 1 ;  1 ) và đi qua E(9; -1; 7) nên có phơngtrình: 

z

t 1 y

t 9

(

N  (P)         

3

1 t 1 t

; 2

; 13 ( F OB 2 OA

Gọi d2 là đờng thẳng đi qua F và vuông góc với (P)

 d2 có vectơ chỉ phơng u2  n ( 1 ; 1 ;  1 ) và đi qua F(-13;2;-9) nên có phơngtrình: 

t 2 y

t 13 x

K là hình chiếu của F trên (P) nên K là giao điểm của d2 và (P)

2

K d   K(-13 + t; 2 + t; -9 - t);

0 2 ) t 9 ( ) t 2 ( ) t 13

(

N  (P)          

3

4 t 4 t

7 3;

Để rèn luyện đợc kỹ năng cho học sinh và để học sinh có khả năng tự nhậnxét, đánh giá bài làm của mình cũng nh bài làm của bạn và học hỏi đợc những u

điểm của nhau và tránh dợc những sai lầm thờng mắc phải, tôi gọi một học sinhlên bảng làm bài tập 1, còn lại tất cả các học sinh còn lại đều phải làm vào giấynháp, rồi thu lại cho học sinh đánh giá chéo bài của nhau dới sự hớng dẫn củagiáo viên qua việc chữa bài của học sinh lên bảng Việc làm đó giúp các em tựrút ra đợc những sai lầm, nhợc điểm thờng mắc phải để tránh, rút ra đợc những u

điểm của bạn cũng nh của bản thân để học hỏi và phát huy

Sau bài toán 2, để học sinh hiểu rõ cơ sở của phơng pháp giải đó và cách suy

luận tơng tự, tôi cho bài toán mở rộng sau và chia nhóm để học sinh trao đổi vàtìm ra phơng pháp giải

Bài toán 3:

Bài 3.1 (Nhóm 1): Cho ba điểm A, B, C và mặt phẳng (P).

a) Với điểm I thoả mãn: a IA  b IB  c IC  0 (ba số thực a, b, c thoả mãn: a + b +

c  0) thì ta luôn có:

aMA2 + bMB2 + cMC2 = (a + b + c)MI2 + aIA2 + bIB2 + cIC2 (*)

b) Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho aMA2 + bMB2 + cMC2 đạt giá trị nhỏnhất( nếu a + b + c > 0) (hoặc đạt giá trị lớn nhất nếu a + b + c < 0)

Bài 3.2.(Nhóm 2): Cho bốn điểm A, B, C, D và mặt phẳng (P).

a) Với điểm I thoả mãn: a IA  b IB  c IC  d ID  0 (bốn số thực a, b, c,d thoảmãn: a + b + c + d  0) thì ta luôn có: aMA2 + bMB2 + cMC2 + dMD2 =

= (a + b + c + d)MG2 + aGA2 + bGB2 + cGC2 + dMD2 (**)b) Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho aMA2 + bMB2 + cMC2 + dMD2 đạtgiá trị nhỏ nhất nếu a + b + c + d > 0

( hoặc aMA2 + bMB2 + cMC2 + dMD2 đạt giá trị lớn nhất nếu a + b + c + d < 0).Qua theo dõi và kiểm tra, tôi thấy rằng, học sinh hởng ứng nhiệt tình và phântích tìm ra phơng pháp:

Ta có: MA2 = 2

MA , MB2 = MB2, MC2 = MC2

 VT(*) = aMA2 + bMB2 + cMC2 = 2 2 2

MC c MB b MA

=  2  2  2

IM IC IM

IB IM

IA

= a IA2  b IB2  c IC2  ( a  b  c ) IM2  2 IM  ( a IA  b IB  c IC )

= (a+b+c)MI2 + aIA2 + bIB2 + cIC2 = VP(*)  đpcm

Nhờ đẳng thức (*), ta thấy aIA2 + bIB2 + cIC2 có giá trị không đổi nên:

* Nếu a + b + c > 0 thì aMA2 + bMB2 + cMC2 đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏnhất Mà M thuộc (P) và I không đổi nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của Itrên mặt phẳng (P)

* Nếu a + b + c < 0 thì aMA2 + bMB2 + cMC2 đạt giá trị lớn nhất khi MI nhỏnhất Mà M thuộc (P) và I không đổi nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của Itrên mặt phẳng (P).

Bài toán của nhóm 2 đợc phân tích tơng tự, học sinh rút ra đợc phơng pháp giải

bài toán 3:

Phơng pháp giải bài toán của nhóm 1:

Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I xác định bởi: a IA  b IB  c IC  0

Bớc 2: Chứng minh đẳng thức

aMA2 + bMB2 + cMC2 = (a + b + c)MI2 + aIA2 + bIB2 + cIC2 (*)

Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)

Do aIA2 + bIB2 + cIC2 có giá trị không đổi nên aMA2 + bMB2 + cMC2 đạtgiá trị nhỏ nhất (nếu a + b + c > 0)

(hoặc đạt giá trị lớn nhất (nếu a + b + c < 0)) khi MI nhỏ nhất Mà Mthuộc (P) và I không đổi nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trênmặt phẳng (P)

Bớc 4: Tìm toạ độ điểm M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).

(Bài toán 1a)

Bớc 5: Kết luận.

Phơng pháp giải bài toán của nhóm 2:

Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I xác định bởi: a IA  b IB  c IC  d ID  0

Bớc 2: Chứng minh đẳng thức:

aMA2 + bMB2 + cMC2 + dMD2 =

= (a + b + c + d)MG2 + aGA2 + bGB2 + cGC2 + dMD2 (**)

Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)

Do aIA2 + bIB2 + cIC2+dID2 có giá trị không đổi nên aMA2 + bMB2 +cMC2 + dMD2đạt giá trị nhỏ nhất (nếu a + b + c + d> 0) (hoặc đạt giá trịlớn nhất(nếu a + b + c + d < 0) khi MI nhỏ nhất Mà M thuộc (P) và Ikhông đổi nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P)

Bớc 4: Tìm toạ độ điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P).

(Bài toán 1a)

25

; 22 58

10

; 9 29

Bài tập 3:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 4; 0), B(1;-3;-2),C(1; 1; 1), D( 2; 2; 2) và mặt phẳng (P): 2x + y + 2z - 6 = 0,

Bài toán 4: Cho bốn điểm A, B, C, D và mặt phẳng (P)

a)Tìm điểm M trên (P) sao cho u a MA  b MB ( a  R ; b  R ; a  b  0 )có độ dàingắn nhất

b)Tìm điểm N trên (P) sao cho v a NA  b NB  c NC ( a  R ; b  R ; c  R ; a  b  c  0 )

có độ dài ngắn nhất

c) Tìm điểm K trên (P) sao cho

) 0 d c b a

; R d

; R c

; R b

; R a ( KD d KC c KB

Bài toán 4a)

Ta đã biết với hai điểm A, B và hai số thực a, b thoả mãn: a + b ≠ 0

tồn tại duy nhất điểm I xác định bởi : a IA  b IB  0

Hãy phân tích u để làm xuất hiện a IA  b IB

Hãy nêu các bớc giải bài toán 4a)

Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I thoả mãn a I A  b IB  0

Bớc 2: Phân tích

u aMI  IA bMI  IB  ( a  b ) MI  a IA  b IB  ( a  b ) MI

Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)

u ngắn nhất khi MI ngắn nhất

 M là hình chiếu của I trên (P)

M di động trên (P), I cố định

Bớc 4: Tìm tọa độ điểm M là hình chiếu của I trên (P) (Bài toán 1a)

Bớc 5: Kết luận.

Bằng suy luận tơng tự, tôi yêu cầu học sinh nêu các bớc giải bài toán 4b), 4c).

bằng cách ghi ra giấy và kiểm tra thì nhìn chung học sinh đều nêu đúng:

Bài toán 4b):

Bớc 1: Tìm toạ độ điểm I1 thoả mãn a I1A  b I1B  c I1C  0

c b a

c OB c b a

b OA c b a

1 1

1

1 1 1

1 1

1

NI ) c b a ( C I c B I b A I a NI ) c b a (

C I NI c B I NI b A I NI a v

Bớc 3: (Bớc chuyển bài toán)

v ngắn nhất khi NI1 ngắn nhất