một số phương pháp tính thể tích khối đa diện nhằm nâng cao chất lượng dạy - học hình học lớp 12

Vì lí do đó, để giúp học sinh tháo gỡ những vướng mắc trên,nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáodục và giúp học sinh có thêm phương pháp trong giải toán, tôi

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I LỜI MỞ ĐẦU

Trong chương trình ôn thi tốt nghiệp THTP và Đại học – Caođẳng hiện nay, bài toán về tính thể tích của một khối đa diện xuất hiệnkhá phổ biến Bài toán hình học không gian nói chung và bài toán vềtính thể tích khối đa diện nói riêng là một phần kiến thức khó đối vớihọc sinh THPT

Đa số học sinh bây giờ đang còn học theo kiểu “làm nhiều rồiquen dạng, làm nhiều rồi nhớ”, nếu học như thế sẽ không phát triểnđược tư duy sáng tạo, sẽ không linh hoạt khi đứng trước một tìnhhuống mới lạ hay một bài toán tổng hợp

Vì lí do đó, để giúp học sinh tháo gỡ những vướng mắc trên,nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáodục và giúp học sinh có thêm phương pháp trong giải toán, tôi đãquyết định chọn đề tài:

“Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện

nhằm nâng cao chất lượng dạy – học hình học lớp 12 ”.

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm là nghiên cứu phương pháptính thể tích khối đa diện một cách hệ thống và sáng tạo để giúp giáoviên trang bị kiến thức cơ bản nhất về phương pháp tích thể tích khối

đa diện cho học sinh, từ đó phát triển tư duy sáng tạo giải quyết cácbài toán khó

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

1 Thực trạng

Trong chương trình phổ thông, phần kiến thức về tính thể tíchkhối đa diện được đưa vào giảng dạy ở lớp 12 Đây là phần kiến thức

rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập; đây cũng

là phần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rấtnhiều trong thực tế

Để giải bài toán về tính thể tích khối đa diện có hai phương pháp

cơ bản là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính gián tiếp.Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào việc tính chiều cao và diện tíchđáy từ đó suy ra thể tích khối đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức

là ta chia khối đa diện thành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích

Đứng trước một bài toán học sinh thường lúng túng và đặt ra câuhỏi: “Phải định hướng lời giải bài toán từ đâu?” Một số học sinh cóthói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làm ngay, có khi thửnghiệm đó sẽ dẫn đến kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán như thế làkhông cao Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trongquá trình giải toán, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen xétbài toán dưới nhiều góc độ, khai thác các yếu tố đặc trưng của bài toán

để tìm lời giải Trong đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duytheo các phương pháp giải là một điều cần thiết Việc trải nghiệm quaquá trình giải toán sẽ giúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng vàgiải toán

Đặc biệt đối với bài toán về hình học không gian nói chung vàbài toán tính thể tích khối đa diện nói riêng thì đối với hầu hết họcsinh, kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn khigiải bài tập Nguyên nhân của thực trạng trên là học sinh chưa trang bịcho mình một kiến thức về phương pháp tính đầy đủ và hệ thống nênrất lúng túng khi đứng trước một bài toán

Trước khi áp dụng nghiên cứu này vào giảng dạy tôi đã tiếnhành khảo sát chất lượng học tập của học sinh hai lớp 12A3, 12A4trường THPT Hậu Lộc 4 (về vấn đề tính thể tích khối đa diện) và thuđược kết quả như sau:

Như vậy số lượng học sinh nắm bắt các dạng này không nhiều

do chưa nắm vững được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết

Để thực hiện để tài vào giảng dạy, trước hết tôi nhắc lại côngthức tính thể tích các khối đa diện, tiếp đó đưa ra các phương pháptính và ví dụ cụ thể để hướng dẫn học sinh thực hiện, cuối cùng tôiđưa ra bài tập tổng hợp để học sinh rèn luyện phương pháp tính

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Thực hiện nghiên cứu và ứng dụng vào thực tiễn giảng dạy tôichia nội dung thành 3 phần dạy cho học sinh vào 3 buổi, mỗi buổi 3tiết; trong mỗi buổi có các thí dụ minh họa và bài tập cho học sinh tựrèn luyện về phương pháp tính

Sau đây là nội dung cụ thể:

Phần I

Để tính thể tích khối đa diện, phương pháp quan trọng nhất vàđược ứng dụng rộng rãi nhất trong quá trình tính toán là tính trực tiếp,tức là dựa vào chiều cao của các khối và diện tích đáy Như vậy mấuchốt của phương pháp này là phải xác định được chiều cao và diện

tích đáy, ta xét một số ví dụ minh họa như sau: Các thí dụ minh họa

Thí dụ 1 Cho khối chóp S ABC. có BC 2a, BAC  90 , 0 ACB  Mặtphẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác SAB cân tại S

và tam giác SBC vuông Tính thể tích

của khối chóp S ABC.

Vì (SAB) (  ABC) và SA SB nên SH  (ABC)

với H là trung điểm cạnh AB

Bây giờ ta xác định tam giác SBC vuông tại đỉnh nào

Nếu SBC vuông tại đỉnh B thì CBBA (theo định lí ba đường vuônggóc), điều này vô lý vì ABC vuông ở A

Tương tự, nếu SBC vuông ở C thì HCB  90 0 (Vô lí)

Từ đó suy ra SBC vuông tại S

Gọi K là trung điểm cạnh BC thì

2

3

1 3 1 sin 2 sin 3

1

= sin 2 sin 3

Nhận xét: Ở ví dụ trên dễ dàng nhận thấy SH là chiều cao của khối

chóp từ giả thiết (SAB) (  ABC) và SA SB và việc còn lại là xác định SH

Thí dụ 2 Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 1 có cạnh bằng a Gọi

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD thì MONE

Suy ra MO là đường cao của hình chóp M N O O 1 2

M O





Nhận xét: Khi gặp bài toán này nhiều học sinh nghĩ đến phương pháp

tính gián tiếp, tuy nhiên các khối “bù” với khối MNO O1 2 là quá nhiều vàphức tạp Nếu để ý mặt phẳng (NO O1 2 ) nằm trong mặt phẳng (NEE N1 1 )

thì việc xác định chiều cao và diện tích đáy của hình chóp M N O O 1 2 trởnên đơn giản

Thí dụ 3 Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.Giả sử H là trung điểm cạnh AB và hai mặt phẳng (SHC),(SHD) cùngvuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp nếu hình chóp

có ba mặt bên là tam giác vuông

Lời giải (h.3)

Vì (SHC) và (SHD) cùng vuông

góc với đáy (ABCD) nên SH là

đường cao của khối chóp

Hai tam giác SAD và SBC lần

lượt vuông tại A và B(theo định

Nếu SCD vuông tại S thì SC CD a  Nhưng do SBC vuông tại B

Từ giả thiết suy ra SAB phải là tam giác vuông

Lời giải (h.4)

Vì khối chóp S ABCD. có các

cạnh bên bằng nhau nên đáy

phải nội tiếp

Bài 2 Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy là hình thoi cạnh a và

 60 0

BAD  Hai mặt chéo (ACC A' ') và ( DD' ')B B cùng vuông góc với mặtphẳng đáy Gọi M N, lần lượt là trung điểm của CD B C, ' ' và MN BD'.Tính thể tích của hình hộp

1, 2, 3, AS 60 , AS 90 , 120

SA SB SC B C BSC Tính thể tích khối chópđó

Bài 4 Cho khối chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a và

 60 0

BAD  Các mặt phẳng (SAB SBD SAD),( ),( ) nghiêng đều với đáy (ABCD)

một góc  Tính thể tích khối chóp đó

Bài 5 Cho khối chóp S ABCD. có đáy là hình thang cân, đáy lớn AB

bằng 4 lần đáy nhỏ CD, chiều cao của đáy bằng a Bốn đường cao củabốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài bằng nhau và bằng b Tính thểtích của hình chóp

Bài 6 Cho khối chóp S ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a Tam giác

SAB cân tại đỉnh S và mặt phẳng (SAB) (  ABC) Giả sử E là trung điểm

SC và hai mặt phẳng (ABE),(SCD) vuông góc với nhau Tính thể tíchcủa khố chóp đó.

Bài 7 Hình chóp S ABC. có SA a , SA tạo với đáy một góc  ,

 90 ,o 

ABC ACB  G là trọng tâm ABC Hai mặt phẳng (SGB SGC),( )

cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích của khối chóp

.

Bài 8 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a.Các cạnh A A A B A C' , ' , ' nghiêng đều trên đáy một góc  Tính diện tíchxung quanh và thể tích của lăng trụ

Bài 9 Cho hình chóp S.A A ( 1 2 A n  n 3) có diện tích đáy bằng D, chu viđáy bằng P Các mặt bên nghiêng đều trên đáy một góc  Hình chiếucủa S lên mặt phẳng đáy nằm trong đa giác A A 1 2 A n Tính thể tíchhình chóp đó

khối cần tính Sau đây là một

số thí dụ minh họa cho phương

Thí dụ 1 Cho khối chóp S ABC. với tam giác ABC vuông cân tại B,

Nhận xét: Trong bài toán trên ta hoàn toàn có thể tính trực tiếp, tuy

nhiên việc tính gián tiếp dựa vào tỉ lệ thể tích thì tính toán trở nên đơngiản hơn rất nhiều

Thí dụ 2 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật,

F

Ta có S ABCD AB BC  2a2.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABD ta có

BD AB AD a Gọi OACBD thì 1 5

a

BO BD Xét tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao của tam giác SBD Suy ra SOBD

Chứng minh tương tự SOAC Suy ra SO (ABCD) hay SO là đường cao của hình chóp S ABCD.

3 3 12 3

SABEF S ABE S AEF

Nhận xét: Khối đa diện cần tính thể tích không thuộc các khối quen

thuộc (không có công thức tính trực tiếp), nên ta phải tìm cách chia thành các khối nhỏ quen thuộc, và ta có thể tính gián tiếp một cách dễ dàng dựa vào tỷ lệ thể tích

Thí dụ 3 Chi hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a Gọi M là trungđiểm của cạnh BB' Mặt phẳng

( 'A MD) chia hình lập phương

thành hai khối đa diện Tính tỉ

số thể tích của hai khối đa diện

trên

Lời giải (h.7)

Gọi N là giao điểm của A M' và

AB, K là giao điểm của DN và BC

Mặt phẳng ( 'A MD) chia hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' thành hai khối

đa diện A MKDAB' và khối diện A B C D MKCD' ' ' '

1 AA' .

Nhận xét: Trong hai thí dụ đầu, ta chủ yếu dựa vào tỷ lệ thể tích thì ở

thí dụ này ta dựa vào việc tính thể tích các khối “bù” với khối cần tính

OA OB OC lần lượt là đường cao

của các tam giác OBC OAC OAB, ,

Tính thể tích khối chóp O A B C ' ' '

Lời giải (h.8)

Ta có .

1

b c

OB OC OA

4 ' ' ' '

' '

Nhận xét: Trong thí dụ 3 ta đã áp dụng việc tính thể tích các khối

“bù” với khối cần tính thì trong thí dụ 4 ta thấy phương pháp này rất hiệu quả

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, đườngthẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), G là trọng tâm của tamgiác SBD, mặt phẳng (SBG) cắt SC tại M , mặt phẳng (ABG) cắt SD tại

N Tính thể tích khối chóp S ABMN. ; biết rằng SA AB a  , góc giữađường thẳng AM và mặt phẳng (ABCD) bằng 30 0

Bài 2 Cho hình chóp O ABC. có OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau;

điểm A trên các cạnh SB SD, Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại I Tính thểtích của khối chóp S AHIK.

Bài 4 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình vuông tâm O SA

vuông góc với đáy và SA = a 2 Cho AB a Gọi H, K lần lượt làhình chiếu của A trên SB, SD CM: SA  (AHK) Tính thể tích hìnhchóp OAHK

Bài 5 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có hình chóp A1ABC làhình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, AA1 = b Gọi  là góc giữahai mặt phẳng (ABC) và (A1BC) Tính tan và thể tích hình chóp

A1BB1C1C

Phần 3

Trong các buổi trước, chúng ta đã được rèn luyện 2 phương pháptính thể tích là tính trực tiếp và tính gián tiếp Để tính thể tích khối đa diện, trong các bài toán thi đại học và học sinh giỏi còn sử dụng một phương pháp rất hiệu quả đó là phương pháp tọa độ hóa, nội dung phương pháp này gồm 4 bước:

Thí dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng

đáy, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA=AB=a, AD=a 2 , gọi M, N lầnlượt là trung

điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC

Thí dụ 2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC Biết rằng (AMN)  (SBC).Tính thể tích hình chóp

2

1 1 ( )cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ: n ( ; ; ) 3

M y

bằng .

2

a

Lời giải (H.11)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AB và A’B’ Ta có MN là đường cao

của lăng trụ Giả sử MN h

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O

trùng với M, các điểm A, C, N lần lượt

thuộc các tia Ox, Oy, Oz (Hình 11)

Nhận xét: Qua các ví dụ trên ta thấy việc gắn hệ trục tọa độ để đưa

bài toán hình học không gian thông thường thành bài toán hình họctọa độ giúp việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều, như ở ví

dụ 3 nếu không dùng tọa độ thì việc tính chiều cao h là rất khó khăn.Điều quan trọng là cần xác định được những yếu tố vuông góc tronghình để lựa chọn hệ trục tọa độ hợp lý

Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

SA vuông góc với đáy và SA = a 2 () là mặt phẳng qua A vàvuông góc với SC, () cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K CM: AH 

SB, AK  SD Tính thể tích khối chóp AHIKBCD

Bài 2 Cho hình lập phương ABCDA B C D' ' ' ' cạnh a, M N, lần lượt làtrung điểm của AA ' và BC ; P, Q lần lượt là trọng tâm của tam giác

'

A AD và C BD' Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo a

Bài 3 (Đề khối A năm 2011) Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là

tam giác vuông cân tại B, AB BC  2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC)

cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa

hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 Tính thể tích khối chóp

.

II KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ KIẾN NGHỊ ĐỂ XUẤT

1 Kết quả nghiên cứu

Trong năm học 2012 – 2013, tôi được nhà trường phân công dạymôn toán tại các lớp 12A3, 12A4 Đứng trước thực trạng học sinh rấtngại khi đối mặt với những bài toán hình học không gian, tôi đã mạnhdạn đưa vào chương trình bồi dưỡng phương pháp tính thể tích đadiện Và thực tế sau khi được học một cách có hệ thống và đầy đủ các

phương pháp tính thể tích thì học sinh đã hứng thú hơn trong các giờhọc hình học không gian, học sinh giải tốt các bài toán về tính thể tíchnói riêng và bài toán hình học không gian nói chung Qua đó học sinhcòn rèn luyện được cách trình bày bài giải một cách khoa học, chặtchẽ, đầy đủ; đặc biệt còn rèn luyện cho học sinh về tư duy logic, tưduy sáng tạo, củng cố được những kiến thức cơ bản

- Tổ chuyên môn cần tổ chức những diễn đàn trao đổi về chuyên môn

để giáo viên có thể học hỏi kinh nghiệm và phổ biến các sáng kiếnkinh nghiệm của cá nhân

- Nhà trường cần tăng cường hơn nữa những trang thiết bị hỗ trợ chogiảng dạy

- Sở Giáo dục và Đào tạo cần mở những lớp chuyên đề hướng dẫngiáo viên sử dụng những phần mềm trong công tác giảng dạy

C KẾT LUẬN

Trong quá trình thực hiện và áp dụng sáng kiến trên, mặc dù đãthu được những kết quả nhất định, học sinh đã hứng thú hơn đối vớicác bài toán hình học không gian, kết quả học tập môn toán được nânglên rõ rệt; tuy nhiên để sáng kiến được sử dụng hiệu quả và rộng hơnthì rất cần những ý kiến đóng góp của đồng nghiệp để khắc phụcnhững thiếu sót, hoàn thiện hơn nữa đề tài nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nguyễn Sỹ Tam

C KẾT LUẬN .Trang

18