skkn hướng dẫn học sinh giải một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐA.. Phần hàm số là phần rất nhiều vấn đề vàrất nhiều bài tập phong phú điển hình là các bài toán về đồ thị

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A ĐẶT VẤN ĐỀ I/ Lời mở đầu.

Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng

và nhà nước Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạchchuyên môn của trường THPT Hoàng Lệ Kha năm học 2012 –2013

Trong quá trình giảng dạy, tôi được nhà trường tin tưởng giao chodạy các lớp mũi nhọn, đối tượng học sinh chủ yếu là học sinh khá,giỏi Chính vì vậy ngoài việc giúp các em nắm chắc kiến thức cơbản tôi còn phải bồi dưỡng các em tham gia các kỳ thi học sinh giỏicấp tỉnh và đặc biệt tôi coi việc bồi dưỡng cho các em ôn thi đại học

là nhiệm vụ quan trọng số một

Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần hàm số đóng vaitrò quan trọng hàng đầu Phần hàm số là phần rất nhiều vấn đề vàrất nhiều bài tập phong phú điển hình là các bài toán về đồ thị hàm

số, trong đề tài của mình tôi chọn vấn đề quan trọng của đồ thị hàm

số là một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số

Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh

ôn thi đại học, cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi

đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Hướng dẫn học sinh giải

một số bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số’’.

Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một

số phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyếtcác bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, tránh tìnhtrạng khi các em gặp phải các bài toán khoảng cách liên quan đến

đồ thị hàm số thường làm phức tạp vấn đề hay không giải được Hyvọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các

học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi gặp các bài toánkhoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số.

II Thực trạng vấn đề nghiên cứu

1 Thực trạng vấn đề

Hiện nay khi gặp các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số, một số học sinh chưa tìm ra cách giải hoặc nếu có tìm ra cách giải thì thường làm phức tạp hóa bài toán nên khó kết thúc bài toán, các em chưa biết lựa chọn kiến thức hình học phù hợp với các bài toán

2 Hệ quả của thực trạng trên

Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rấtnhiều thời gian để biến đổi bài toán Một số học sinh do năng lực tưduy hạn chế chưa biết cách phối hợp giữa hình học và các bài toán

đồ thị hàm số Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm

ra cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Các giải pháp thực hiện.

Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải

sử dụng kiến thức hình học nào phù hợp Sau đó giúp học sinh xâydựng phương pháp giải phù hợp

II Biện pháp tổ chức thực hiện.

Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán khoảngcách liên quan đến đồ thị hàm số, trước hết giáo viên cần yêu cầuhọc sinh ôn tập các kiến thức hình học về khoảng cách và kiến thứccủa hàm số Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình chocác hàm số để học sinh vận dụng

Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán tương đối đầy đủ

về các bài toán khoảng cách liên quan đến đồ thị hàm số

1 Kiến thức toán có liên quan

- Khoảng cách giữa hai điểm

- Công thức khoảng cách từ một điểm đến đưòng thẳng.

- Kỹ năng tính nhanh cực trị của hàm đa thức bậc ba, hàm phân thức bậc 2: bậc 1

- Sử dụng bảng biến thiên của hàm số

2 Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải

Ví dụ 1: Tìm m để đồ thị hàm số 1 3 2

3

yf x  x  mx  x m  có khoảng cách giữa các điểm cực đại cực tiểu là nhỏ nhất

Phân tích bài toán: Bài toán giải theo ba bước

Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu.

Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đưa ra toạ độ

các điểm cực trị

Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị và sử dụng

hàm số hoặc các bất đẳng thức cơ bản đưa ra giá trị nhỏ nhất củakhoảng cách đó từ đó tìm ra m

Bài giải:

Ta có: f x'( ) x2  2mx 1 có  m2   1 0, m f x'( )có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2và hàm số đạt cực trị tại x x1 ; 2khi đó gọi các các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A(x y1 ; 1), B(x y2 ; 2)

1 2

2 1

để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu cách đều O.

Phân tích bài toán: Bài toán này ta làm theo hai bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay được cực trị.

Bước 2: Cho hai khoảng cách bằng nhau ta được giá trị m cần

Gọi hai điểm cực trị là: A(1  m; 2 2   m3 ); (1B m; 2 2   m3 ).

m m

m khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu là không đổi

Phân tích bài toán: Bài toán này rất đơn giản ta làm theo hai

bước

Bước 1: Tính đạo hàm và tìm ngay được 2 cực trị.

Bước 2: Tính khoảng cách và đưa ra điều phải chứng minh.

Bài giải:

2 '( )

Khoảng cách hai điểm cực trị là: d  (2 0)  2  [(4  m) (  m)] 2  2 5.

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực đại và cưc tiểu.

Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để đư ra toạ độ

Ngoài cách làm trên ta còn có thể dùng hình học để giải dựa vào cơ

sở hai điểm A, B cách đều (d) khi AB song song với d hoặc trung điểm của AB thuộc (d)

trị khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 10

Phân tích bài toán: Bài toán này làm theo ba bước:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu Bước 2: Sử dụng kỹ năng tính nhanh cực trị để tìm toạ độ của

điểm cực đại, điểm cực tiểu

Bước 3: Tính khoảng cách và áp dụng viét ta có m.

Bài giải:

2 '( )

Phân tích bài toán:

Bước 1: Tìm tiệm cận đứng và ngang.

m

m m

thuộc (C) để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

Phân tích bài toán:

Bước 1: Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bước 2: Gọi toạ độ của M ra và tính tổng khoảng cách từ M

đến hai tiệm cận sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có giá trị nhỏ nhất từ đó tìm được M

Bài giải:

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là x y   1 0

Phân tích bài toán:

Bước 1: Gọi toạ độ của M

Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến trục hoành d1, khoảng

(H) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất

Phân tích bài toán:

Bước 1: Gọi toạ độ của M sau đó tính tổng khoảng cách từ M

đến hai trục toạ độ

Bước 2: Ta tìm cách hạn chế miền tìm giá trị nhỏ nhất để

thuận lợi cho việc tìm giá trị nhỏ nhất

Bài làm:

1

a a a

2 1 1

a

a a

Phân tích bài toán:

Bước 1: Gọi toạ độ M( ; 2 6

3

a a

Bước 2: Tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ, giới

hạn miền lấy giá trị nhỏ nhất, sử dụng hàm số tìm giá trị nhỏ nhất

Phân tích bài toán:

Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với

hoành độ lớn hơn 3 và hoành độ nhỏ hơn 3, ta gọi toạ độ của A(

Bước 2: Tính khoảng cách AB theo   , sử dụng linh hoạt bấtđẳng thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B.

Phân tích bài toán:

Bước 1: Nhận thấy đồ thị hàm số gồm hai nhánh ứng với

hoành độ lớn hơn 1 và hoành độ nhỏ hơn 1, ta gọi toạ độ của A(

Bước 2: Tính khoảng cách AB theo   , sử dụng linh hoạt bấtđẳng thức côsi ta có giá trị nhỏ nhất của AB từ đó ta có A, B

Bài giải:

Gọi toạ độ của A( 1;  4

Phân tích bài toán:

Bước 1: Gọi toạ độ của M thuộc (C).

Bước 2: Tính khoảng cách từ M đến : 3x y   6 0, sau xử lý khéo giá trị tuyệt đối để áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số

Phân tích bài toán:

Bước 1: Ta tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bước 2: Tính khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên, sử dụng bất

Bài giải:

Ta có:

2

Từ đó ta dễ có tiệm cân xiên của đồ thị hàm số là:

(3cos ) 4sin 3cos (3cos ) 4sin 3cos 0

y  x      x y     

2 2 2

3 4.sin 10 cos

Phân tích bài toán:

Bước 1: Tìm phương trình tiếp tuyến 

Bước 2: Dùng phương pháp tiếp tuyến để tìm khoảng cách

nhỏ nhất trên miền (1;  )

Bài giải:

3 '

Phương trình tiếp tuyến  là: y 3x 1

Gọi N x y( ; ) ( )( 0 0  C x0  1)có khoảng cách tới  nhỏ nhất

0 0

2 3

có điểm cực đại và cực tiểu cách đều trục Oy

để tổng khoảng cách từ M đến trục hoành và trục tung là lớn nhất.

Bài 20: Cho hàm số ( ) 2 sin2 3 cos 6

để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến tiệm cận xiên là lớn nhất

Bài 21: Cho hàm số ( ) 4 sin2 5 cos 11

I Kết quả nghiên cứu

Thông qua hệ thống các bài toán về khoảng cách liên quan đến

đồ thị hàm số ở trên, ta thấy khi gặp các vấn đề trở nên đơn giảnhơn rất nhiều, dễ vận dụng, không quá phức tạp với học sinh

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra

hệ thống bài tập trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vàocác bài toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh khôngcòn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán này nữa Mặt khác, hiệu quả

áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn Hầu hếtcác em vận dụng tốt

II Kiến nghị

Hằng năm, những sáng kiến kinh nghiệm có ứng dụng thựctiễn, thiết thực phục vụ cho nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục

và đào tạo, nhất là các sáng kiến đổi mới phương pháp giảng dạycần được tập hợp trong một kỷ yếu khoa học của Sở GD& ĐT vàtạo điều kiện cho giáo viên, học sinh và phụ huynh được tham khảo

1 Sách giáo khoa hình học 10 Nâng cao.

2 Sách giáo khoa Đại số - Giải tích 12 Nâng cao

3 Sách bài tập Đại số - Giait tích 12 Nâng cao

4 Hàm số tập 1 Tác giả: Phan Huy Khải

5 Hàm số tập 1 Tác giả Trần Phương

6 Báo toán học và tuổi trẻ

7 Các đề thi đại học môn toán từ 2002 - 2012

8 Nguồn khác: Internet.

XÁC NHẬN CỦA THỦ

Tôi xin cam đoan đây là SKKNcủa mình viết, không sao chépnội dung của người khác

Mai Văn Ngọc