skkn ứng dụng máy tính casio ,vinacal trong dạy và học môn toán

Thực tế một số Thầy Cô không thích sử dụng máy tính Casio bởi vì kết quả của nó đa phần là kết quả gần đúng, nhưng trong chuyên đề nầy các bạn sẽ thấy ta có thể dùng cái gần đúng để đi t

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẾN TRE

- -

Trong nhiều năm qua Bộ Giáo dục và Đào tạo đã có chủ trương đưa máy tính

Casio và Vinacal vào giảng dạy trong chương trình THPT Hàng năm đều có tổ chức

các cuộc thi giải toán trên máy tính Casio và Vinacal từ cấp tỉnh đến cấp Quốc gia,

tuy nhiên việc hướng dẫn cho học sinh vận dụng các loại máy tính bỏ túi một cách

sáng tạo trong quá trình học tập bộ môn toán nói riêng và các môn tự nhiên nói

chung vẫn còn hạn chế Nhìn chung học sinh chỉ sử dụng máy tính ở mức độ thực

hiện các phép tính đơn giản mà chưa ứng dụng máy tính ở mức độ cao hơn như dự

đoán kết quả, tư duy toán học dựa trên công cụ máy tính

Qua quá trình giảng dạy tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm cho nội dung

nầy Các vấn đề trình bày trong sáng kiến kinh nghiệm là các chuyên đề đã được ứng

dụng trong giảng dạy và đã được phổ biến đến đồng nghiệp trong các lần hội nghị

chuyên môn do SGD tổ chức trong các năm học qua Bản thân tôi đã nhận được

nhiều ý kiến phản hồi khích lệ từ các đồng nghiệp trong và ngoài tỉnh Sáng kiến

kinh nghiệm nầy là sự tổng kết có chọn lọc các chuyên đề của bản thân đã viết ra

trong thực tiễn giảng dạy cùng với sự đóng góp nhiệt tình của đồng nghiệp

Lý do chọn đề tài của tôi xuất phát từ những lý do sau:

* Giúp cho học sinh trung bình biết cách kiểm tra kết quả bằng máy tính Casio

hoặc Vinacal Ví dụ kiểm tra kết quả của các bài toán tính giới hạn, đạo hàm, tích

phân Điều nầy rất có ích khi HS làm các bài thi TN và ĐH Nếu không hướng dẫn

cho HS những thủ thuật nầy thì các em sẽ mất nhiều thời gian khi kiểm tra lại toàn

bộ quá trình tính toán của mình

* Giúp cho HS khá, giỏi có suy nghĩ dùng máy tính để dự đoán kết quả Ví dụ

dùng máy tính Casio nhẫm nghiệm để giải phương trình lượng giác, áp dụng tính

chất của hàm số liên tục kết hợp với máy tính để giải bất phương trình, dùng máy

tính để tìm quy luật dãy số

* Giúp cho các bạn đồng nghiệp có một tài liệu tham khảo trong quá trình giảng

dạy bộ môn toán của mình Qua chuyên đề nầy tôi hy vọng các bạn đồng nghiệp sẽ

yêu thích hơn các ứng dụng mà máy tính Casio, Vinacal đem lại cho chúng ta và

truyền sự say mê nầy đến các HS của mình Thực tế một số Thầy Cô không thích sử

dụng máy tính Casio bởi vì kết quả của nó đa phần là kết quả gần đúng, nhưng trong

chuyên đề nầy các bạn sẽ thấy ta có thể dùng cái gần đúng để đi tìm cái đúng ( ứng

dụng máy tính Casio hoặc Vinacal trong việc giải các bất phương trình )

 Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy toán ở các trường

trung học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp và Cao đẳng - Đại học

* Không trình bày các vấn đề cơ bản về máy tính Casio, Vinacal (vì các vấn đề

cơ bản nầy được trình bày trong nhiều tài liệu ) mà chỉ minh họa các ứng dụng cụ thể và

có tính mới trong giải toán

* Ứng dụng máy tính Casio, Vinacal dự đoán nghiệm để giải phương trình lượng giác

* Ứng dụng máy tính Casio, Vinacal trong giải các bất phương trình phức tạp

* Ứng dụng máy tính Casio, Vinacal để kiểm tra kết quả và trong các dạng toán khác

Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích:

* Chia sẻ với đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm về ứng dụng máy tính Casio, Vinacal trong dạy và học môn toán

* Bản thân rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm

* Hưởng ứng phong trào viết SKKN của trường THPT chuyên Bến Tre và của Công Đoàn ngành Giáo dục phát động

* SKKN nầy không trình bày lại các chức năng của máy tính Casio và Vinacal vì các vấn đề nầy đã được nói đến trong nhiều tài liệu

* SKKN nầy đề cập đến một số vấn đề trong dạy và học bộ môn toán THPT có tính chuyên sâu dưới dạng các chuyên đề

* SKKN nầy đặt ra một vấn đề mới để các bạn đồng nghiệp tiếp tục nghiên cứu

đó là phát huy tối đa khả năng của máy tính Casio và Vinacal một cách sáng tạo trong việc dạy và học bộ môn toán THPT

* Các chuyên đề về ứng dụng máy tính Casio, Vinacal trong giải phương trình lượng giác và chuyển việc giải bất phương trình về việc giải phương trình là các chuyên đề mới chưa được trình bày trên bất kì tài liệu nào về vấn đề ứng dụng máy tính bỏ túi trong giải toán

Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:

* Các kiến thức cơ bản về máy tính Casio, Vinacal

* Các kiến thức toán học cơ bản trong chương trình THPT

* Một số kĩ thuật biến đổi đại số và ứng dụng của máy tính cầm tay

Cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, các phần mềm toán học ngày càng hỗ trợ đắc lực cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học môn toán, tuy nhiên không phải học sinh nào cũng có điều kiện tạo cho mình một máy vi tính và cài đặt các phần mềm thích hợp để học tập bộ môn toán, hơn thế nữa theo quy chế học sinh không được đem máy vi tính vào phòng thi Trong khi mọi học sinh đều

có máy tính Casio hoặc Vinacal, do đó việc rèn luyện cho học sinh sử dụng các loại máy tính cầm tay nầy một cách thành thạo là một việc làm cần thiết Thực trạng hiện nay cho thấy kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay của học sinh còn rất yếu, đa số chỉ biết dùng máy tính để thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, khai căn và tính giá trị của các hàm số lượng giác mà thôi Do đó SKKN nầy đề cập đến một vấn đề mới đó là giúp học sinh khai thác tối đa các chức năng của máy tính Casio và Vinacal trong tư duy giải toán Nếu làm tốt công việc nầy thì chất lượng dạy và học môn toán sẽ được nâng lên

ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL DỰ ĐOÁN NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

A Đặt vấn đề:

Khi giải các phương trình đa thức ta thường dùng cách nhẩm nghiệm để biến đổi phương trình ấy về dạng phương trình tích Vậy việc giải phương trình bậc cao được chuyển về việc giải phương trình bậc thấp hơn Trong chuyên đề nầy sẽ minh họa cho việc ứng dụng tư tưởng nầy vào việc giải một số dạng phương trình lượng giác với sự trợ giúp của máy tính cầm tay

B Nội dung phương pháp:

Để giải phương trình lượng giác bằng phương pháp nầy, ta sẽ tiến hành theo các bước sau:

Bước 2:

Giả sử ở bước 1 đã tìm được nghiệm

6

x   Ta tiếp tục thử với các giá trị đặc biệt

tương ứng liên kết với nghiệm ấy Cụ thể:

+ Thử với giá trị đối của nó:

6

x    , nếu thỏa mãn phương trình thì ta dự đoán

phương trình có nghiệm x sao cho cos 3

x   , nếu thỏa mãn thì ta dự đoán phương trình có

nghiệm x sao cho sin 1

C Phương tiện dùng để nhẩm nghiệm:

Có thể dùng máy tính Casio fx 570 ES để tiến hành nhẩm nghiệm theo một trong hai cách sau:

hiện như sau:

- Nhập vào máy hàm số f(x), nhấn phím CALC , máy hỏi x ? ta nhập vào

- Nhấn phím SOLVE , máy hiển thị x ? ta nhập vào giá trị mà ta dự đoán là nghiệm, chẳng hạn 30 ( 300 ), máy sẽ dò tìm một nghiệm trong lân cận của 300 Tiếp tục nhấn phím SOLVE để kiểm tra nghiệm khác…

23sinx cosx 1

có thừa số (2sinx1) ? Ta có thể thấy ngay nên kết hợp như sau :

cosxsin 2x cos (1 2sin )x  x Còn tổng (3cos 2x5sinx4)? Một điều chắc chắn rằng có thể phân tích tổng nầy thành thừa số mà có một nhân tử là (2sinx1)

Thật vậy : (3cos 2x5sinx 4) 3(1 2sin ) 5sin 2x  x  4 6sin2x5sinx1

 (2sinx1)(3sinx1)

* Vậy lời giải được trình bày ngắn gọn như sau :

(cos sin 2 ) (3cos 2 5sin 4)

Vậy phương trình đã cho

1sinx

23sinx cosx 1

Giải phương trình: cos3xcos 2xsin 2xsinx5cosx3 (1)

( Biến đổi phương trình về dạng phương trình tích )

Do dự đoán trên nên khi biến đổi phương trình về dạng phương trình tích thì phải

có một nhân tử (2cosx1)

Vậy ta nên kết hợp hai số hạng nào để có nhân tử (2cosx1) ?

- Có thể thấy ngay , nên kết hợp sin 2xsinx

- PT(1)(sin 2xsinx) (cos3 xcos 2x5cosx  3) 0

Cũng từ dự đoán trên nên ta suy ra B có thể phân tích thành nhân tử và chắc chắn

có một thừa số là (2cosx1) Do đó ta thực hiện phép chia B cho (2cosx , ta 1)

sẽ được: B(2cosx1)(2cos2 x4)

Vậy PT(1)(2cosx1)(sinx 2cos 2x4) 0

(2cosx 1)( 2sin2xsinx2) 0

( Biến đổi phương trình về phương trình tích )

(1) (6cos 3sin 2 ) (cos 2 9sin 8) 0

Giải phương trình: sin 3x6sin 2x9sinxcos3x9cosx8 (1)

Giải

- Nhận thấy 2

2

x  k 

  là nghiệm phương trình Vậy ta có sinx = 1

- Đặt t sinx ( t 1 ) Thay : sin 3x3sinx4sin3x c, os3x4cos3x3cosx

- Phương trình (1) trở thành: 4t34(cos )x t2(12 12cos ) x t(8cosx 8) 0 (2)

- Thực hiện phép chia VT(2) cho ( t – 1 ), Ta có :

2

1(2)

4 (4cos 4) 8 8cos 0 (3)

t PT

Ta có: (3) 4sin2x(4cosx4).sinx 8 8cos  x0 (4)

Nhận thấy x k 2  là nghiệm của (4), vậy PT(4) có nghiệm x sao cho cosx = 1

Điều kiện: cos x  0

 Thực hiện phép thử được hai nghiệm

4

x    và 3

4

x   Vậy cần nhóm các số hạng để xuất hiện thừa số (t anx 1) 

 PT (1)  (sinx cos ) (3sin  x  x  3sin tan ) 3(tan x x  x  1)

(1 tan )(cos x x 3sin x 3) 0

 ( Đến đây các em HS có thể giải tiếp đươc)

Giải phương trình: 2(sin 2 x  cos2 ) tan x  x  1 (1)

Giải

Điều kiện: cos x  0

Thực hiện phép thử được cặp nghiệm

4

x   và 3

4

x    Vậy ta dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho tanx = 1

Vậy: t anx 1 t anx     3

Kết quả: phương trình có các họ nghiệm:

x     x      k 

Cách 2

Ta nhóm các số hạng để xuất hiện thừa số: ( tanx – 1)

(1) 2sin 2 2cos 2 2 tan 1

1)sin 2 x  3sin x  2cos x  3

2)sin5 x  sin 2 x  cos6 x  cos4 x  cos x

3)1 cos  x  cos2 x  sin 2 x  sin3 x  sin 4 x

4)sin x  cos2 x  sin x  cos x   1 0

5)cos2 x  cos x  cos4 x  sin 3 x  sin 2 x

6)sin 2 x  10cos x  sin x  5

7)4sin x  cos x   1 tan x  3sin tan x x

ỨNG DỤNG MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

về việc xét dấu của biểu thức f(x) trên miền xác định D của nó Do vậy nội dung của chuyên đề nầy là quy việc giải các bất phương trình về việc giải phương trình f(x) = 0, sau đó lập bảng xét dấu của f(x) và từ đó suy ra tập hợp nghiệm của bất phương trình

B Nội dung phương pháp:

Nội dung của phương pháp nầy dựa trên tính chất sau đây:

[a ; b] ; (a ; b]; [a ; b); (- ; a) ; (- ; a]; (a ; + ); [ a ; + ) ; R ) Nếu

phương trình f(x) = 0 vô nghiệm trên miền K thì f(x) không đổi dấu trên

K

Phương pháp giải bất phương trình:

Dựa trên tính chất trên ta suy ra phương pháp giải bất phương trình dạng f(x) > 0 ( f(x) < 0, f(x)  0, f(x) < 0, f(x)  0) như sau :

* Tìm tập xác định D của hàm số f(x)

* Giải phương trình f(x) = 0

* Lập bảng xét dấu của f(x) (Để xác định dấu của f(x) trên các khoảng con K của

D mà f(x) vô nghiệm, ta chỉ cần xác định dấu của f(x0) với x0 là một phần tử bất kì của

K)

dùng máy tính Casio hay Vinacal

* Nhập biểu thức ấn : ALPHA Y ALPHA  X X2  3 ALPHA X  12

* Lưu biểu thức ấn : CALC

* Tính giá trị của y với x = 7 ấn : 7 

* Tính giá trị của y với x = 8 ấn : CALC 8 

* Tính giá trị của y với x = 2

3 ấn : CALC 2 a b c/ 3 Nói chung khi đã nhập biểu thức y vào xong thì ta có thể tính giá trị của y tại các điểm

x1, x2, … Ở đây vấn đề mà ta quan tâm là dấu của y tại các điểm x1, x2, … ( các giá trị của y tại các điểm nầy có thể là các giá trị gần đúng Điều nầy không ảnh hưởng gì kết quả nghiệm của bất phương trình)

Xét các trường hợp sau đây :

a) Nếu x = 0 thì BPT(2) luôn thỏa mãn

x x

x x

x x

x x

2

2 2

* Bảng xét dấu f(x) :

Ta có f(0) = -6 < 0 , f(4) = 2,58 > 0 Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra BPT f(x)  0 có nghiệm x  3



2

2

1 1

x x

x x

x x

1 0

Ta có f(5

6) = 0,108 > 0 , f(2) = 1 > 0 Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra BPT f(x)  0 có nghiệm x >2

2

x x

Ta có f( 1

2

 ) = - 0,017 < 0 , f(1

2) = 0,017 > 0

Qua bảng xét dấu của f(x), ta suy ra BPT f(x)  0 có nghiệm 0  x  1

Thử lại ta thấy PT f(x) = 0 có nghiệm x = 0 ; x = -1 Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm trên các khoảng (-1; 0) và (0 ; 1] nên trên các khoảng nầy f(x) không đổi dấu

3 3

(1) log (x 1)

3 3

* Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm trên các khoảng : (-1 ; 0); (0 ; 1

+_

+

5

+

3 2

1 2

Từ đây suy ra bất phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu không dùng máy tính thì việc giải phương trình nầy sẽ gặp khó khăn

BỔ SUNG THÊM MỘT SỐ VẤN ĐỀ GIẢI TOÁN VỚI SỰ TRỢ GIÚP CỦA

MÁY TÍNH CASIO VÀ VINACAL

1) Dùng máy tính để chứng minh phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ: Cho hàm số : yx4  6x2  4x 6 Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị

Ta có : y' 4  x3  12x 4 Ta chỉ cần chứng minh PT y ‘ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Dùng máy tính ta biết được 3 nghiệm : x1   1,8 ; x2  0,3 ; x3  1,5

Sau đó áp dụng định lí về hàm số liên tục cho hàm số g(x) = 4x3  12x 4 trên các đoạn:

[-2 ; -1], [0 ; 1], [1 ; 2] ta được điều phải chứng minh

2) Dùng máy tính dạy bài nhận dạng tam giác

Trong tiết học về nhận dạng tam giác cho học sinh bài toán : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T = cosA + cosB + cosC với A, B, C là các góc của một tam giác Yêu cầu mỗi

em hãy tính giá trị của T ứng với một tam giác cụ thể và viết các kết quả lên

bảng, từ đó rút ra kết luận :

T 3

2

 sau đó dùng lý luận để chứng minh phát hiện nầy

* Một thí dụ khác xét bài toán : Nhận dạng tam giác ABC biết:

Giáo viên có thể yêu cầu học sinh thay vào đẳng thức trên các giá trị của A, B, C

cụ thể để từ đó rút ra kết luận : sin sin sin 3 3

2

A B C Sau đó dùng lý luận để chứng minh bất đẳng thức nầy và chỉ ra đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều

3) Dùng máy tính giải các dạng toán về phương trình có nghiệm duy nhất

Do đó phương trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm

Dùng chức năng SOLVE ta tìm được nghiệm x = 5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 5

Nhận xét:

Nếu không rèn luyện cho học sinh sử dụng máy tính Casio, Vinacal một cách thành thạo thì thì các em sẽ gặp khó khăn khi tìm ra nghiệm x = 5 Trong bài toán trên nếu ta thay x bởi 3x – 55 thì ta sẽ được phương trình:

Bằng cách lý luận như trên, ta cũng chứng minh được phương trình có nhiều nhất một nghiệm Sau đó ta phải nhẩm một nghiệm để kết thúc bài toán, nếu không sử dụng máy tính thành thạo thì khó mà tìm được nghiệm nầy!

( PT nầy có nghiệm duy nhất x = 20

4) Dùng máy tính Casio, Vinacal kiểm tra lại kết quả giới hạn của hàm số

Máy tính Casio và Vinacal không có chức năng tính giới hạn của hàm số, tuy nhiên ta có thể dự đoán kết quả của giới hạn qua ý tưởng sau:

Giả sử cần tính lim ( )

x a f x

 , ta dùng chức năng CALC để tính giá trị của hàm số f(x) tại các giá trị của x rất gần a Sau đây là các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính

3 2

  tại giá trị của x rất gần với số 2, chẳng hạn tính:

f(1,99999999), ta sẽ được kết quả là 0.1300000, đây cũng chính là giá trị gần đúng của 7

 , nếu máy tính hiển thị kết quả rất gần với

số 0 thì giá trị của tích phân là m Điều nầy giúp cho học sinh tự tin hơn khi làm bài thi đại học

Nhận thấy nếu biết kết hợp việc dạy và học môn toán với sự trợ giúp của máy tính bỏ túi một cách linh hoạt thì hiệu quả thu được sẽ rất tốt Chúng tôi đã thực nghiệm phương pháp trên ở các lớp12 ôn thi đại học, Với các bài tập về giải bất phương trình , các dạng toán về phương trình lượng giác có nghiệm đặc biệt tương tự như các ví dụ nêu trên, nếu dùng phương pháp truyền thống thì không đến 30% học sinh cho lời giải đúng, nhưng nếu ứng phương pháp trong các chuyên đề trên thì đa số các em giải được

dễ dàng Qua việc ứng dụng phương pháp nầy còn giúp học sinh vận dụng kiến thức giải tích để soi sáng một dạng toán đại số, rèn kĩ năng sử dụng thành thạo máy tính bỏ túi, đây cũng là một yêu cầu được Bộ giáo dục đề ra

Còn rất nhiều dạng toán mà nếu giải bằng phương pháp bình thường sẽ gặp nhiều khó khăn Biết khai thác những thế mạnh mà máy tính đem lại sẽ giúp cho học sinh dễ dàng định hướng và làm cho công việc học toán bớt nặng nề hơn Cùng với các phương pháp truyền thống về giải bất phương trình, phương trình lượng giác mà học sinh đã