skkn nâng cao chất lượng môn toán cho hs lớp 8-9 thông qua sử dụng phương pháp tương tự trong giải toán THCS le quy don

Trong dạy học toán, một việc làm không thể thiếu được đối với mỗi giáoviên là cung cấp cho các em kiến thức, phương pháp học tập để đạt kết quả tốtnhất.. Phương pháp tương tự hoá là một

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỈM SƠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 8 -9 THÔNG QUA SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP

TƯƠNG TỰ TRONG GIẢI TOÁN

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hòa Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Quý Đôn

III.Giải pháp và tổ chức thực hiện 5

1 Sử dụng phương pháp tương tự để thu gọn lời giải bằng

cách không lặp lại các chứng minh như nhau

5

2 Sử dụng phương pháp tương tự để phát hiện tính chất mới, đề

xuất bài toán mới

Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mớikhông ngừng Các nhà trường càng chú trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh

sự đầu tư thích đáng cho giáo dục Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán

đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác

Trong dạy học toán, một việc làm không thể thiếu được đối với mỗi giáoviên là cung cấp cho các em kiến thức, phương pháp học tập để đạt kết quả tốtnhất

Phương pháp tương tự hoá là một trong những phương pháp cần được ápdụng trong quá trình dạy học sinh học toán, đặc biệt là dạy học sinh giải toán

Từ một bài toán học sinh phải đưa ra được những bài toán tương tự Từmột cách giải của 1 bài toán học sinh phải tìm ra được cách giải tương tự cónhư vậy mới:

- Phát huy được tính tích cực, chủ động của người học

- Thông qua việc giải bài tập mà hình thành ở các em kỹ năng, kỹ xảo

- Trước bất kỳ một bài toán nào các em cũng có thể tìm ra được nhữngcách giải khác nhau (nếu có thể), hấp dẫn thú vị hơn

Xuất phát từ lý do trên, tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài: “Nâng cao chất

lượng môn Toán cho học sinh lớp 8-9 thông qua sử dụng phương pháp tương tự trong giải toán” (Trường THCS Lê Quý Đôn-Bỉm Sơn )

Trong lời giải nhiều bài toán, ta gặp những từ chứng minh tương tự nhưtrên, giải tương tự như bài Tương tự được hiểu là giống nhau, có một số nétgiống nhau: Hoàn toàn giống nhau, gần hoàn toàn giống nhau Do đó, sự vận

số lại vô cùng là phong phú.

Trên cơ sở thực hiện đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huytính tích cực của học sinh trong học tập , làm cho học sinh chủ động nắm bắtkiến thức, chủ động tư duy hình thành các khái niệm, các công thức… thì ngườithầy phải chủ đạo, hướng học sinh nắm bắt kiến thức một cách khoa học, giáoviên cần tung ra những tình huống nhằm kích thích học sinh ham tìm tòi sángtạo Giáo viên có thể đưa ra những dạng bài cụ thể, mang tính đơn lẻ, có tínhchất dễ dàng lĩnh hội và đặt học sinh vào tình huống làm thế nào để có đượckhái niệm, bài toán tương tự của những bài toán đơn lẻ đó, Qua đó học sinh sẽtiếp nhận kiến thức một cách chủ động, sáng tạo theo tư duy của từng cá nhân

Trên cơ sở phân loại các dạng bài tập, tôi đưa ra các ví dụ từ dễ đến khó,

từ đơn giản đến phức tạp từ đó hình thành bài toán tương tự nhưng ở mức độcao hơn

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận :

Trong toán học, nhất là trong dạy học toán theo chương trình đổi mới thì việc dạyhọc theo phương pháp tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, học sinh đượctiếp cận kiến thức một cách chủ động sáng tạo, từ những hình ảnh, mô hình, ví dụ để hình thành các khái niệm tương tự, tổng quát hơn

Tương tự hóa được các nhà toán học thường xuyên sử dụng, nhờ đó mà bàitoán được giải bao giờ cũng ngắn gọn hơn và kết quả thu được cũng cho thấy rõbản chất của vấn đề.

Đối với học sinh thì các em thường hay ngại trình bày đặc biệt là các bàitoán cứ phải lặp đi lặp lại cách trình bày như nhau Là người giáo viên, chúng

ta cần biết gây hứng thú học tập của các em thông qua các lời giải ngắn gọn,đằng sau mỗi lời giải của các bài toán luôn ẩn chứa nhiều bất ngờ dành cho các

em say sưa tìm tòi

Rất nhiều em không dừng lại ở những bài toán tưởng chừng như rất nhỏ,các em luôn cố gắng suy nghĩ tự tìm tòi sáng tạo để thêm giả thiết,tìm các bàitoán tương tự cho bài toán ban đầu nhưng ở mức độ hay hơn nhiều

Tương tự hoá bài toán giúp học sinh phát huy được tính tích cực, chủđộng sáng tạo, năng lực tự học của học sinh, tạo điều kiện cho các em hứng thúhọc tập bộ môn

III Giải pháp và tổ chức thực hiện

Năm học 2012 – 2013 tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy môn Toán của hai lớp8A – 8C có năng lực học tập như nhau, đề tài này tôi triển khai nghiên cứu thửnghiệm đối với 45 học sinh lớp 8C Trong quá trình dạy học tôi hướng dẫn chohọc sinh đi từ những bài toán dễ đến bài toán khó, từ bài toán cụ thể đến mộtchuỗi các bài toán tương tự

1 Sử dụng phương pháp tương tự để thu gọn lời giải bằng cách không lập lại các chứng minh như nhau.

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB Vẽcác điểm M,N sao cho E là trung điểm của AB, D là trung điểm của BN Chứngminh rằng A là trung điểm của MN

- Sau khi chứng minh AEM = BEC(c.gc) để suy ra AM = BC và AM // BC,

từ "Chứng minh tương tự" mà không cần lặp lại chứng minh như trên Ở đâychứng minh tương tự là một suy diễn chính xác

Ví dụ 2: Cho ABC; Â = 105o, một đường thẳng qua A cắt BC ở D Chia tamgiác ABC thành hai tam giác cân Tính số đo các góc B và C của tam giác ABC

Giáo viên: Gợi ý:

Bài này đòi hỏi học sinh xét nhiều trường hợp vì đề bài không xác định rõ đáycủa tam giác cân ADB và ADC Ta hãy chú ý đến sự tương tự giữa hai góc

ADB; ADC Nếu thay B bởi C thay C bởi B thì lời giải của bài toán không đổi:

Ta nói rằng hai góc đó có vai trò như nhau và nhờ sự tương tự ấy có thể sắp xếp

chúng theo thứ tự ADC   ADB  mà không mất tính tổng quát của bài toán

Giải

Giả sử ADC   ADB  thì ADC 90   0, dẫn đến tam giác cân ADC phải có đáy

AC Ta chỉ phải xét 3 trường hợp:

- Tam giác cân ADB có đáy AD (h.a) hoặc BD (h.b) hoặc AB (h.c) màkhông phải xét đến 9 trường hợp

Đặt C = a

Trường hợp 1: Cho ta 3a = 1050 nên a = 35o

Trường hợp 2: Cho ta: a + (180o- 4a) = 105o nên a = 250

Trường hợp 3: Không xảy ra vì khi đó BAC = 90  0

Vậy chỉ xảy ra trường hợp 1 và trường hợp 2

Trường hợp 1: a = C = 35o => B= 180o - (105o+ 35o) = 40o

Trường hợp 2: a = 25o => C = 25o => B = 180o- (105o+25o) = 50o

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC: A  90o, Bvà C là các góc nhọn Các đườngtrung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo thứ tự ở E và F.Chứng minh : AO là tia phân giác của góc EAF

Giải:

Ta có EA = EB nên EO là tia phân giác của góc AEB

Chứng minh tương tự FO là tia phân giác của góc AFC

Vì EO và FO là các tia phân giác của đỉnh E và F của  AEF nên AO là tia phân

giác của góc EAF lời giải này ứng với trường hợp A < 900 (h.a)

Nếu A > 90o (h.b) lời giải cũng tương tự như trên chỉ khác ở chỗ EO và FO là

AC

EF

B

OH.a

OF

H.b

A

(H.c)

các tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh, E và F của  AFE ta vẫn có AO là tiaphân giác của góc EAF (đpcm).

* Trong trường hợp này sự tương tự hoàn toàn như nhau Không cần lặplại toàn bộ chứng minh như trên, nhưng cần nêu lên chỗ khác nhau: Ở đâychứng minh tương tự cũng là một suy diễn chính xác

2 Sử dụng phương pháp tương tự để phát hiện tính chất mới, đề xuất bài toán mới

- Tương tự còn có nghĩa là những nết giống nhau từ một số tính chất giống nhaucủa hai đối tượng ta dự đoán các tính chất giống nhau, khác nhau của chúng.Chẳng hạn: Nếu đối tượng X có các tính chất a,b,c, d Còn đối tượng Y có cáctính chất a,b, c, thế thì Y cũng có thể có tính chất d

Ví dụ 1: Các đường trung tuyến, đường cao, phân giác của tam giác có 1 số tínhchất giống nhau Chẳng hạn trong tam giác cân, các đường trung tuyến ứng vớicạnh bên thì bằng nhau

Ở đây tương tự có vai trò như một phương pháp thực nghiệm nhờ so sánh cácđối tượng có một số thuộc tính giống nhau mà ta để ra giả thuyết tương tự rồikiểm tra các giả thuyết ấy Đó chính là tác dụng của tương tự trong quá trìnhsáng tạo toán học, nhờ đó mà ta có thể đề xuất các bài toán mới

Chú ý rằng cách nhìn hai đối tượng là tương tự cũng rất khác nhau tuỳtheo mục đích nghiên cứu Trong tam giác tam giác và tứ giác có thể xem làtương tự vì chúng là các trường hợp riêng của đa giác Những suy luận bằngtương tự thuộc loại "suy luận nghe có lý" Nó mới cho ta những dự đoán, còn đểkhẳng định hay bác bỏ dự đoán đó thì phải chứng minh Sẽ sai nếu bằng tương

tự, ta cho rằng giao điểm các đường phân giác của tam giác cũng cách mỗi định

bằng 32 độ dài đường phân giác đi qua đỉnh ấy (!) hoặc cho rằng trong hai tam

giác bất kỳ đối diện với 2 cạnh bằng nhau là 2 góc bằng nhau

3 Sử dụng phương pháp tương tự để tìm tòi cách giải khác cho một bài toán:

a Bằng cách nghĩ đến bài toán có nét tương tự với bài toán đang giải:

Ví dụ: Vẽ về phía ngoài tam giác ABC ( B < 900; C < 900 ) các tam giác vuông

cân ABD, ACE ( ABD ACE = 90  =  o ) gọi I và K là chân các đường vuông góc kẻ

từ D và E đến BC Chứng minh: BI = CK

- Nhận xét:

Rõ ràng  BID có cạnh BI và  CKE có cạnh CK không phải là hai tamgiác bằng nhau

Một câu hỏi được đặt ra:

Có bài toán nào tương tự bài toán

này không ? Hoặc với một phần

của bài toàn này?

Các dữ kiện của bài toán tam giác ABD vuông cân, đường thẳng IK điqua đỉnh góc vuông làm ta nhớ lại 1 bài toán đã giải cũng có các dữ kiện

tương tự "Đó là: Cho tam giác ABC có A = 900; AB = AC, qua A vẽ đườngthẳng d sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng d Kẻ BH và CKvuông góc với d Chứng minh rằng: a) AH= CK; b) HK= BH+CK

Do sự liên hệ đó, ta vẽ thêm AH  IK; được BI = AH

A

ID

E

Tương tự với  ACE vuông cân, được CK=AH Do đó BI = CK

Nhờ liên hệ đến một bài toán tương tự đã giải mà ta tạo ra đường thẳng AH làmtrung gian để so sánh BI và CK

Giải:

Kẻ đường cao AH  BC

Xét hai tam giác vuông  BID và  AHBcó BD = BA (gt)

BAH = DBI (cùng phụ với ABH )

=>  BID =  AHB =>AH = BI

Chứng minh tương tự:  AHC =  CKE => AH = CK

=> BI =CK (đpcm)

b) Bằng cách sử dụng phương pháp tương tự với phương pháp đã sử dụng ở mộtbài toán khác:

Ví dụ 1b: Cho tam giác ABC : AB = AC và A = 200 lấy điểm D trên cạnh AB

sao cho AD = BC Tính ACD

ABE = KBC còn trong ví dụ 1b)

ta lại có BCA - A = 800 - 200 = 600

cũng là góc của tam giác đều

Do đó, mặc dù hai bài toán hoàn toàn khác nhau, nhưng sự tương tự trên ra cách

vẽ tam giác đều BEC

Giải:

Vẽ  BEC đều (E và A cùng phía đối với BC)

Cách vẽ này làm xuất hiện ECA = DAC

dẫn đến  ECA =  DAC (cgc)

suy ra CAE = ACD ta dễ dàng

tính được CAE = 100, do đó ACD = 100

- Ngoài ra còn có nhiều cách giải khác

B'

E A

D

ta có: = ;

= ; =

Nhân các đẳng thức trên từng vế, ta được điều phải chứng minh

b) Chứng minh tương tự (câu a)

Chú ý: Các hệ thức viết ở định lý

Mênê-laúyt và các định lý Xêva như nhau

Chỗ khác nhau là vị trí của các điểm A', B', C'

- Ở định lý Mênê-laúyt có đúng 1 điểm hoặc

cả 3 điểm nằm ngoài tam giác

- Ở định lý Xêva: không có điểm nào, hoặc có

đúng hai điểm nằm ngoài tam giác

4 Giải các bài toán cực trị với nội dung tương tự hoặc giải bằng phương pháp tương tự.

Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B cùng nằm về một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳngTìm trên đường thẳng A một điểm P sao cho PA + PB là nhỏ nhất

Giải: Lấy A' đối xứng với A qua đường thẳng nối A'B cắt đường thẳng a tại P'

Đường thẳng a là trung trực của AA'

Ta có: PA = PA'; P'A = P'A'

Theo quy tắc điểm PA + PB  A'B

dấu "=" xảy ra khi P  A'B mà P  a nên

C'B'

AN

điểm B và C sao cho AB + BC + CA nhỏ nhất

Giải: Lấy A1 đối xứng với A qua Oy

Lấy A2 đối xứng với A qua Ox

ta có: Ox là trung trực của AA2

Oy là trung trực của AA1

nên: CA = CA2; BA = BA1

AB + AC + BC = A1B + BC + CA2  A1A2 (không đổi)

dấu "=" xảy ra khi B, C  A1A2

mà B, C  Ox; Oy nên để AB + BC +AC nhỏ nhất thì B, C là giao điểm của

A1A2 với Ox, Oy

Ví dụ 3:

Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ

có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình vuông

ABCD (MNPQ gọi là tứ giác nội tiếp hình

vuông) Tìm điều kiện để MN + NP + PQ +

QM là nhỏ nhất

Giải:

Nối BD; NQ.Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của MN, NQ, PQ

 BMN vuông tại B; BE là trung tuyến ứng với cạnh huyền MN

C

Ax

y

MN + NP + PQ + QM = 2 (BE + EF + FG + GD)  2BDdấu "=" xảy ra khi và chỉ khi E, F, G  BD

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c  Tam giác ABC đều.

Bài 3: Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là: a,b,c chu vi 2P.

 (P-a) (P-b) (P-c)  (đpcm)

Bài 4: Chứng minh rằng, với mọi a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1, thì: 2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = ½

d) Nêu và giải toán tương tự với các bài toán sau:

Bài toán 1: Cho  ABC vẽ ở phía ngoài tam giác ấy, các tam giác đều ABD,

ACE Tính góc tạo bởi các đường thẳng BE, CD

Bài toán tương tự: Thay "tam giác đều" bởi "tam giác vuông cân tại A)

Bài toán 2: Cho  ABC vuông cân tại A, trung tuyến AM Gọi d là đường

thẳng đi qua A sao cho B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ d Kẻ BH

và CK vuông góc với d CMR tam giác MHK là tam giác vuông cân

Bài toán tương tự: Thay "B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng đối nhau có bờd"

Giải: Ta có: AB = CA, BAH = ACK (cùng phụ với CAK) nên

 ABH =  CAK (cạnh huyền-góc nhọn)

 ABC cân có trung tuyến AM là

đường cao, từ đó suy ra:

 AMC vuông cân nên AM = MC

MAH = MCK vì cũng bằng BAH - 450

và ACK - 450 (hoặc 450 - BAH và 450 - )

Do đó  MAH =  MCK (cgc)

Từ đó chứng minh  MHK vuông cân

IV Kiểm nghiệm

Sau khi áp dụng đề tài trên đối với 45 học sinh của lớp 8C tôi nhận thấycác em giải toán linh hoạt hơn, yêu thích học Toán, so sánh với lớp 8A cũng dotôi giảng dạy nhưng không áp dụng đề tài có sự chênh lệch về chất lượng Cụthể như sau:

(Áp dụng)

0 0% 4 8.9% 16 35.6% 25 55.5%

C.KẾT LUẬN:

Từ vài kinh nghiệm nhỏ rút ra qua quá trình giảng dạy cũng bản thân tôi nhậnthấy: Để chất lượng giảng dạy đạt hiệu quả cao, người giáo viên cần đầu tưnhiều thời gian và trí tuệ vào mỗi bài giảng Từ đó bằng phương pháp đặc trưngcủa bộ môn, chuyển tải đến học sinh những kiến thức trọng tâm một cách chínhxác, sâu sắc và hấp dẫn nhất

Học sinh là yếu tố quan trọng cho thành công của mỗi giờ học nên cầnđộng viên, hướng dẫn, đôn đốc, kiểm tra một cách thường xuyên để các em có ýthức và hứng thú trong học tập

Khi dạy cần cho học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thoải mái, chủđộng, rõ ràng, có hệ thống, học sinh phải phân biệt và nhận dạng được các bàitoán , tổng hợp và khái quát bài toán, từ đó hầu hết giải được các bài tập, xoá đicảm giác khó và phức tạp ban đầu là không có quy tắc giải tổng quát Qua đórèn luyện cho học sinh trí thông minh, sáng tạo, các phẩm chất trí tuệ khác vàhọc sinh cũng thấy được dạng toán này thật phong phú chứ không đơn điệu,giúp học sinh hứng thú khi học bộ môn này.

Để học sinh nắm vững và hứng thú học tập, chúng ta cần chọn lọc hệthống bài tập theo mức độ tăng dần từ dễ đến khó Cần rèn luyện nhiều về cáchlập luận và trình bày của học sinh

Với mỗi dạng tuy không có quy tắc tổng quát, song sau khi giải giáo viênnên chỉ ra một đặc điểm, một hướng giải quyết nào đó để khi gặp bài tương tự,học sinh có thể tự liên hệ được và hình thành những bài toán đặc trưng rồi từ đó

đi đến các bài toán tổng quát cho từng dạng bài, có như vậy nác em nắm kiếnthức một cách chắc chắn và có hệ thống

Tuy nhiên, do điều kiện nghiên cứu còn nhiều hạn chế, bài viết không thểtránh khỏi những khiếm khuyết Rất mong được hội đồng khoa học các cấp góp

ý kiến để tôi hoàn thành đề tài một cách tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Bỉm Sơn ngày 10 tháng 4 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,