Tối ưu hóa và quy hoạch tuyến tính

bài giảng dành cho sinh viên đại học,đầy đủ kiến thức,có bài tập từng chương và bài tập tông hợp giúp sinh viên dễ dàng cô đọng kiến thức.Mỗi dạng bài đều có ví dụ cụ thể

BÀI TOÁN VẬN TẢI

1

Chương 3

NỘI DUNG CHƯƠNG

3.1 Thiết lập bài toán vận tải (btvt)

3.2 Phương án của bài toán vận tải

3.3 Giải bài toán vận tải

3.4 Bài toán vận tải mở

3.5 Bài toán vận tải có hàm mục tiêu max

2

3.1.1 Bài toán vận tải

Một công ty cần vận chuyển hàng hóa từ các kho

hàng Ai,(i=1, ,m) (gọi là trạm phát) có trữ lượng

hàng hóa tương ứng là ai đến các cửa hàng Bj

,(j=1, ,n) (gọi là trạm thu) với nhu cầu tiếp nhận

khối lượng hàng hóa tương ứng là bj

Giả sử tổng cung bằng tổng cầu, i.e.,

3.1.1 Bài toán vận tải

Cho biết cước phí vận chuyển 1 đơn vị hàng hóa từ

Ai đến Bj là cij, (i=1, ,m; j=1, ,n)

Bài toán lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa sao

cho các trạm phát hết hàng, các trạm thu nhận đủ

hàng và tổng cước phí vận chuyển thấp nhất gọi là

bài toán vận tải.

4

3.1.2 Mô hình toán học của BTVT

Gọi xij,(i=1, ,m; j=1, ,n) là số đơn vị hàng hóa cần

vận chuyển từ Ai đến Bj Điều kiện:

xij0, i,jKhi đó mô hình toán học của btvt là bt QHTT sau:

gọi là btvt đóng

Nếu không thỏa

đk này thì gọi làbtvt mở

a  b

3.1.4 Mô hình toán học dạng bảng

Trong mô hình dạng bảng thì mỗi ô chứa một biến

nên mỗi ô được xem như một biến

trận X=(x0

ij) ∈Mmn(R) thỏa các Rb của (3.1.1)

Ví dụ 3.2.1 Xét btvt

là một PA của bàitoán

3.2.2 Phương án cơ bản (PACB) của btvt

i) Ô chọn (ô cơ sở)

Trong một PA của btvt thì ô có lượng hàng dương

gọi là ô chọn.Ô có lượng hàng bằng 0 gọi là ô loại

hay ô không cơ sở

ii) Chu trình (vòng)

Một dãy các ô chọn của một PA của btvt được

gọi là tạo nên một chu trình nếu chúng tạo nên

đường gãy khúc khép kín, chổ gãy là góc vuông và

là ô chọn, đồng thời mỗi cạnh của đường này chỉ

3.2.2 Phương án cơ bản của btvt

iii) PACB

Một PA của btvt được gọi là PACB nếu các ô chọn

của PA đó không tạo nên một chu trình

3.2.2 Phương án cơ bản của btvt

iv) PACB không suy biến

Để một PACB suy biến trở thành PACB không suy

biến ta bổ sung một số “ô chọn không”

14

3.2.2 Phương án cơ bản của btvt

i) Mọi btvt đều có phương án tối ưu

ii) Trong một bài toán vận tải thì số ô chọn của

một PACB không bao giờ vượt quá m+n-1 ô.

iii)Với một PACB không suy biến thì một ô loại

bất kỳ cũng tạo với các ô chọn của PA đó thành

một chu trình duy nhất

16

3.3 Giải bài toán vận tải – PP thế vị

Thuật toán được xây dựng trên ý tưởng: tiến dần

đến tối ưu.

Xuất phát từ một PACB không suy biến của

bài toán, đánh giá tính tối ưu của PA đó

- Nếu tối ưu thì dừng thuật toán

- Ngược lại ta tìm cách xây dựng PACB mới

tốt hơn, rồi đánh giá tính tối ưu của nó

17

3.3 Giải bài toán vận tải – PP thế vị

Thuật toán được tiến hành với 3 bước chính:

Bước 1.Xây dựng PACB xuất phát

Bước 2.Xây dựng tiêu chuẩn tối ưu

Bước 3.Xây dựng PACB mới tốt hơn

18

3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát

Để chắc chắn có được một PACB ta xây dựng bằng

1 trong 3 PP sau:

i) Phương pháp góc Tây-Bắc

Ưu tiên phân phối hàng hóa (hh) vào ô góc trên

bên trái cùa bảng

Bước 1: Phân phối hàng hóa tối đa vào ô (1,1)

Bươc 2: Điều chỉnh lượng hh ở các trạm phát và

trạm thu chứa ô phân phối hàng ở Bước 1

3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát

và bỏ đi dòng hoặc cột chứa trạm phát hoặc trạm

thu có lượng hàng bằng 0

Bước 3: Phân phối hh tối đa vào ô góc trên bên trái

của bảng còn lại

Bước 4: Lặp lại Bước 2

Quá trình này được lặp lại chó đến khi các trạm

phát phát hết hàng và các trạn thu nhận đủ hàng ta

sẽ được PACB của bài toán

20

3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát

3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát

Bước 1:

Bước 2:

3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát

và bỏ đi dòng hoặc cột chứa trạm phát hoặc trạm

thu có lượng hàng bằng 0

Phân phối hh tối đa vào ô có cước phíthấp nhất trong bảng còn lại

Thực hiện lại Bước 2

Quá trình này được lặp lại chó đến khi các trạm

3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát

Ví dụ 3.3.1bHãy xây dựng PA xuất phát cho btvt ở

30 0

Ưu tiên phân phối hàng hóa vào ô có cước phí thấp

nhất đồng thời nằm trên dòng hoặc cột có độ chênh

lệch giữa cước phí thấp nhất và thấp thì lớn nhất

26

3.3.2 Tiêu chuẩn tối ưu – PP thế vị

và gọi là hệ số ước lượng của ô (i, j)

Tiêu chuẩn tối ưu:

i) Nếu  ≤0, i,j thì PA X0tối ưu

3.3.3 Xây dựng PACB mới

i) Tìm ô vào cở sở(hệ thống ô chọn)

Ô vào là ô có:

(i.e., ô vào là ô có hệ số ước lượng dương và

lớn nhất)

ii) Xây dựng chu trình điều chỉnh

Chu trình điều chỉnh xuất phát từ ô mới vào

cơ sở đi qua các ô chọn của PACB trước đó Ô mới

đưa vào đánh dấu ‘+’, các ô kế tiếp đánh dấu ‘-’,

3.3.3 Xây dựng PACB mới

iii) Tìm lượng hàng điều chỉnh

- Lượng hàng điều chỉnh là lượng hàng nhỏ

nhất trong các ô đánh dấu “-” của chu trình điều

chỉnh

- Để đảm bảo tổng lượng hàng hóa tiêu thụ

bằng tổng lượng hàng hóa cung cấp thì: ô “+” cộng

thêm lượng hàng điều chỉnh và ô “-” trừ đi lượng

hàng điều chỉnh

30

3.3.3 Xây dựng PACB mới

iv) Chọn ô ra khỏi cơ sở

Ô ra khỏi cơ sở là ô đã chọn lượng hàng điều

chỉnh, i.e., ô có lượng hàng bằng 0 (trong chu trình

điều chỉnh) sau khi điều chỉnh

Chú ý: Nếu có nhiều ô có tính chất như vậy thì ta

chọn ô có cước phí lớn nhất ra khỏi cơ sở

Tóm tắt thuật toán-PP thế vị

Bước 1: Xây dựng PACB xuất phát

i) Xây dựng pacb bằng pp cước phí thấp nhất

ii) Kiểm tra tính không suy biến của PACB

- Nếu số ô chọn bằng m+n-1 thì PACB không

suy biếnBước 2

- Nếu số ô chọn < m+n-1 thì phải bổ sung “ô

chon 0” để PACB trở thành PACB không suy

biếnBước 2

32

Tóm tắt thuật toán-PP thế vị

Bước 2: Tiêu chuẩn tối ưu

i) Tính hệ thống thế vị (ui,vj) cho các ô chọn theo

CT:

ii) Tính hệ số ước lượng cho các ô loại:

+ Nếuij0 ,i,j thì PACB hiện hành đã tối ưu

+ Nếu i’j’: i’j’>0 thì PACB hiện hành chưa tối

+ Hệ (**) là hệ pttt suy biến, nên hệ này có

vô số nghiệm với 1 bậc tự do Để giải hệ này ta

cho một một biến bằng 0 và giải các biến còn lại

(thường chọn ui=0, i=1,2,…)

+ Đối với các ô chọn thì ij=0

34

Tóm tắt thuật toán-PP thế vị

Bước 3: Xây dựng PACB mới tốt hơn

i) Chọn ô vào cơ sở là ô cóij>0 và lớn nhất

ii) Xây dựng chu trình điều chỉnh(như 3.3.3ii)

iii) Chọn lượng hàng điều chỉnh (như 3.3.3iii)

iv) Chọn ô ra khỏi cơ sở là ô có lượng hàng

bằng 0 trong chu trình sau khi đã điều chỉnh

Chú ý:mỗi bước chỉ có 1 ô vào và 1 ô ra cơ sở

Bước 4: Lặp lại Bước 2

Phương pháp thế vị

Ví dụ 3.3.2Giải btvt ở vi dụ 3.3.1

PACB xuất phát làPACB không suybiến vì số ô chọn

30 0

Phương pháp thế vị

Vì 32=3>0 nên PACB x/p chưa tối ưu

Chọn ô (3,2) vào

cơ sở

Lượng hàng điều chỉnh d=15

1 4 2

30 0

3.4 Bài toán vận tải mở

Trường hợp Phát > Thu hoặc Phát < Thu thì

btvt gọi là btvt mở Để giải nó ta lập btvt phụ, có:

- Trạm phát phụ hoặc thu phụ với lượng hàng phát

ra hoặc thu vào tương ứng bằng |Phát- Thu|

- Các ố chứa trên trạm phát phụ và thu phụ gọi là ô

phụ Cước phí trong ô phụ bằng 0

3.4 Bài toán vận tải mở

- Btvt phụ là btvt đóng nên ta giải nó bằng PP thế

vị như 3.3, với chú ý như sau:

+ Xây dựng PACB xuất phát ưu tiên phân

phối các ô chính trước, ô phụ phân phối hàng cuối

cùng

+ PATƯ btvt gốc bằng PATƯ btvt phụ bỏ đi

các ô phụ

40

3.4 Bài toán vận tải mở

3.4 Bài toán vận tải mở

PACB xuất phát là PACB không suy biến (vì số ô

3.4 Bài toán vận tải mở

3.4 Bài toán vận tải mở

Vì ij0, i,j nên PACB bảng 2 đã tối ưu.

3.4 Bài toán vận tải mở

Để giải btvt có hàm mục tiêu max cần chú ý:

i) Khi xây dựng PACB xuất phát ta sử dụng PP

hiệu suất cao nhất thay cho PP cước phí thấp nhất,

i e, ưu tiên phân phối hàng hóa vào ô có cước phí

lớn nhất

ii) Tiêu chuẩn tối ưu:

- Nếu ij0, i,j thì PACB hiện hành tối ưu

- Nếu i’j’<0 thì PACB h/hành chưa tối ưu

46

3.5 BTVT có hàm mục tiêu cực đại

iii) Xây dựng PACB mới

- Chọn ô vào cơ sở là ô có hệ số ước lượng âm

và có trị tuyệt đối lớn nhất

- Chu trình điều chỉnh, lượng hàng điều chỉnh

và ô ra khỏi cơ sở giống bài toán min

3.5 BTVT có hàm mục tiêu cực đại

Ví dụ 3.5.1:

Một Công ty DV có 50 máy tính gồm 25 máy loại

I, 15 máy loại II và 10 máy loại III Công ty

tuyển 50 KTV gồm 20 KTV bậc I, 10 KTV bậc II

và 20KTV bậc III với hiệu suất đứng máy

(sp/ngày) được cho chi tiết như sau:

Bài toán phân công đứng máy này chính là btvt

có hàm mục tiêu max sau:

Đây là btvt đóng và có hàm mục tiêu max T dùng

PP hiệu suất cao nhất đề x/d PACB xuất phát

PACB xuất phát

là PACB không suy biến (vì số ô chọn là 5 =3+3-1)

10





Bảng 2

3.6 BTVT có ô cấm

Trong thực tế thường gặp một số trường hợp mà

không thể vận chuyển hàng hóa được hoặc khó

khăn: Do phân luồng giao thông, đào lô cốt, cầu

đường bị xuống cấp,…Khi đó những btvt trong

trường hợp này gọi là btvt có ô cấm.

+ Khi x/d PACB xuất phát thì “ô cấm” được

phân phối hàng cuối cùng

+ Nếu btvt mở rộng tối ưu mà lượng hàng

hàng trong ô cấm bằng 0 thì btvt gố tối ưu

+ Nếu btvt mở rông tối ưu nhưng lượng hàng

trong ô cấm khác 0 hoặc btvt mở rộng không có lời

giải thì btvt gốc không có lời giải

56