Moment từ dị thường của electron và phương pháp pauli villars trong điện động lực học lượng tử

Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là điện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R. Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quá trình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng. Ví dụ như sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc moment từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau với độ chính xác cao.1, 4, 613, 15,17 Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác của electron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới. Cường độ của tương tác này được mô tả bằng moment từ electron , và nó bằng ( và là khối lượng “trần” và điện tích “trần” của electron, gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng phân cực của chân không– khi tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho moment từ electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng electron và điện tích electron sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ xung, mà nó được gọi là moment từ dị thường. Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực nghiệm. Tuy nhiên, thực nghiệm đo được moment từ của electron bằng , giá trị này được gọi là moment từ dị thường của electron. J. Schwinger 13 là người đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thường của electron vào năm 1948 và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính toán với thực nghiệm vào khoảng ). Biểu thức giải tích của moment từ dị thường electron về mặt lý thuyết đã thu được

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH PAULI-VILLARS 8

1.1 Phương trình Pauli-Villars 8

1.2 Phương trình Dirac 9

1.3 Các bổ chính 12

CHƯƠNG 2 CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN 20

2.1 S-Ma trận 20

2.2 Các giản đồ Feynman 24

2.3 Hệ số dạng điện từ 25

CHƯƠNG 3 BỔ CHÍNH CHO MOMENT 28

3.1 Bổ chính cho moment 28

3.2 Moment từ dị thường 37

KẾT LUẬN 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO 41

PHỤ LỤC A 42

PHỤ LỤC B 46

MỞ ĐẦU

Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi làđiện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh Sự phát triểncủa QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J Schwinger, R.Feynman Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc táichuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành côngcác quá trình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng Ví dụ như sựdịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc moment từ

dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùngnhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/

Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác củaelectron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới Cường độcủa tương tác này được mô tả bằng moment từ electron , và nó bằng

e0  e R sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ xung, mà nó được gọi là moment từ dị thường.Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực

nghiệm

Tuy nhiên, thực nghiệm đo được moment từ của electron bằng

0

1, 003875

   , giá trị này được gọi là moment từ dị thường của electron J

Schwinger /13/ là người đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thường của

electron vào năm 1948 và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai

số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 10 10%) Biểu thức giải tích của moment

từ dị thường electron về mặt lý thuyết đã thu được

0 1 0,32748 2 1,184175 32

R

Ở đây về cơ bản các giá trị moment được tính bằng lý thuyết theo thuyếtnhiễu loạn (0.1) và giá trị được lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớpvới nhau

Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng chomoment từ dị thường của electron trong QED Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trìnhtính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars

Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, Kếtluận, một số phụ lục và tài liệu tham khảo

Chương 1 Phương trình Pauli và moment từ của electron Phương trình

Pauli và moment từ dị thường có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất

phát từphương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu được phương

trình Pauli với số hạng tương tác của moment từ electron với trương ngoài /1/ Mục1.2 dành cho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi tương đối tínhphương trình Dirac ở trường điện từ ngoài trong gần đúng  v

c , v – là vận tốc củahạt, còn c là vận tốc ánh sáng Các bổ chính tương đối tính tiếp theo cho phươngtrình Pauli ở gần đúng bậc

cao hơn  v

c thu được bằng việc sử dụng phép biến đổi Fouldy-Wouthuyen ở mục 1.3

Chương 2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường

của electron Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường ngoài ta nêu

vắn tắt các xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron vớitrường điện từ ngoài Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gầnđúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thường của electron Mục 2.3 dành cho

việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phitương đối tính

Chương 3 Moment từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng.

Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp Pauly-Villars ( P-V ) ta tách phần hữu hạn vàphần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng Việc tính biểu thức

bổ chính cho moment từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục3.2

Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự Trong Bản luận văn này chúngtôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c 1 và metric Feynman Các véctơ phảnbiến là tọa độ

x x0 t x, 1 x x, 2 y x, 3 z t x, 

       thì các véctơ tọa độ hiệp biến

x g x x0 t x, 1 x x, 2 y x, 3 z t x, 

           , trong đó

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ ELECTRON

Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa moment từ của electron với trườngđiện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trìnhSchrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của moment từ vớitrường ngoài được giới thiệu ở mục $1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ởtrường điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính ở gần đúng bậc

 v

c ta có phương trình Pauli cho electron với moment từ Nghiên cứu các bổchính tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụngphép biến đổi Fouldy-Wouthuyen

1.1 Phương trình Pauli

Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng Phương trìnhPauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàmsóng  trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần

r t, 

  phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spincủa hạt là s z Kết quả để cho hàm sóng r s t, ,z  là một spinor hai thành phần

1

2

, ,2, ,

, ,2

 0, (1.2)0

 - là magneton Bohr, còn  là các ma trận Pauli Khi đăt hạt vào trường điện từngoài, ta có thêm năng lượng tương tác phụ

0 2

e e

( )2

1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính

Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc tacó:

Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor d liên hệ

với uvà trong trường hợp nghiệm âm thì spinor u liên hệ với d thừa số  v

c Thay (1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dương tacó

1( / ) u

m c trùng với phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoàiThật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa củaphương trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác MB 

giữa moment từ (hay spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron cómoment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn

để cho những hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phi tương đối tínhvới các moment từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận là cộng “bằng tay” các

số hạng moment.(xem them bài tập 11 và 22)

Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độxác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính

1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli

Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở

trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc  2 

Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc v c/  và phương trình Dirac ở dạng

sao cho không động chạm đến điều nó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đúng đắn tớibậc v c/  Như vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta thu được

Và phép biến đổi thứ hai ta có

và tiếp tục Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là

K   (1.27)cùng

               

  (1.29)Như ta đã thấy bây giờ đã nâng lên hai bậc v c/  Từ đây chúng ta nhận được

Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phépbiến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K cùng

c (hay cao hơn) ta nhận được toán tử chẵn

 

5

1, ,

Khi tính các công thức (1.36-1.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau

c với việc chéo hóa Hamilton2

trung bình như phép biến đổi U U   1

- Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa A t/   0 khi sự biến đổi

K   K   KUKU UKU U (1.41)tương đương với

†,

- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trongvùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ.

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac đã cung cấp phương pháp

chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn nào đấy Viết phương trình Dirac(1.7) dưới dạng

( ) ( ) exp

v O

c





- Để kết thúc ta trở lại phương trình (2.98) Phương trình này có thể dẫn đến dạng

quen thuộc bằng việc xem xét trường hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện

Thành phần thứ tư ở vế phải là bổ chính tương đối tính cho thế năng Thành phầnthứ năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin term và

có thể gia tốc chuyển động lắc của electron Thành phần cuối cùng chứa năng lượngtương tác giữa spin của electron (hoặc là moment từ ) và moment góc quỹ đạo Nhận thấy rằng trong thành phần này ? được lấy một cách chính xác bang thừa số

4 trong mẫu số1 Trong trường hợp của thế Coulomb V r Ze r2 / hai thànhphần cuối cùng là

 

2 2

2 2 02

- Nói chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ

là gần đúng Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp Fouldy –Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton được chéo hóa thành công ở các bậc caohơn v c/  Đối với phần chẵn của toán tử được chéo hóa và toán tử Hamilton tựliên hợp là đúng đắn đến bậc được nghiên cứu v c/  , mà từ đây ta thu được lýthuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt

1 Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau:Ltrong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác vớispin của nó Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý doxem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2

- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen, tương tự như phép biến đổi Feshbach-Villars ,

là phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một độ dài cóthể so sánh với bước sóng Compton

- Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trường hợp, thứ nhấtphép khai triển v c/  là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt được chấp nhận.Hamiltonian của phương trình có dạng

1 2

S

     

- Moment từ dị thường trong QED và giản đồ Feynman

Theo lý thuyết Dirac moment từ của electron có dạng

0

2

e mc

   - magneton Bohr Theo thực nghiệm phát hiện moment từ dị thường của electron

2.1 S-ma trận

Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trường ngoài Nếu trườngngoài là rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhưng vềnguyên tắc ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc Quá trình tán xạ được mô tảbằng S-ma trận /1/

n Z

trong đó p1, p2 là các xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron

Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lýthuyết nhiễu loạn hiệp biến Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theođiện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá

trình tán xạ này (xem Hình 1).

(a) (b1) (b2)

Hình 1 Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết

nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng

giản đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tương tác của electron với chân không vậtlý- chân không của trường điện từ và chân không của trường electron-pozitron.

Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b1)cho đóng góp vào moment từ dị thường của electron, còn ba giản đồ còn lại (b2),(b3), (b4) liên quan đến việc chuẩn hóa khối lượng của electron, chuẩn hóa điện tíchcủa electron, các hàm sóng của electron và hàm sóng của trường điện từ ngoài

Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tương ứng vớigiản đồ Hình 1 (a) theo quy tắc Feynman có thể viết như sau:

4 1

Vì trường ngoài ext( )

A x không phải là toán tử mà là hàm số thông thường nên ta

có thể bỏ ra ngoài N-tích và p2| | p , đồng thời khai triển các toán tử 1 ( )x và

Khi chuyển các toán tử sinh electron c p( )1

từ phải sang trái và chuyển các

toán tử hủy electron c ( ) p2 từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ

tư của (2.6) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận

1 1

2 2

10

22

10 20

12

2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thường

Để kể thêm các bổ chính bậc cao, thì chúng ta cần thay u2u1bằng đại lượngtổng quát hơn mà nó tương ứng với các giản đồ Feynman mà ta gọi là các giản đồđỉnh Những giản đồ này được chia làm hai loại: loại giản đồ đích thực và loại giản

đồ không đích thực 2 Các giản đồ đích thực trước đây được gọi là « một hạt bấtkhả quy » được kết nối với nhau mà ta không thể tách làm hai phần bằng việc cắt bỏmột đường trong Các giản đồ không đích thực được lồng vào các đường ngoài củagiản đồ và chúng cho đóng góp vào việc tái chuẩn hóa lại khối lượng của các đườngngoài, tương ứng với các hạt ngoài

Lấy tổng các giản đồ đỉnh đích thực, bỏ qua các hàm sóng ngoài, ta xác định

« phần đỉnh đích thực » 

  p p1, 2   p p1, 2

2 Tiếng Anh là từ « proper » và « improper » - tiếng Nga gọi là « Compact » và « không

Compact », có thể gọi « thích hợp » hay « không thích hợp »

1 2

p p m , thì chỉ có một biến độclập bất biến mà ta chọn là k2 Định luật bảo toàn dòng

 2  2, 1  1 0

Điều này dẫn đến các điều kiện sau c1c2 0 và c4c5 0 Hệ quả chỉ còn lại hàm

số độc lập c3 và c4, chúng ta viết lại toán tử đỉnh dưới dạng

1 ,

Sử dụng sự khai triển của Gordon

1 2

Yếu tố S-ma trận để cho tương tác với trường ngoài yếu cùng với tất cả bổ chính

Điều này chỉ ra rằng hằng số tương tác cho thế tĩnh điện là e F0 1 0 mà nó đượcđịnh nghĩa e e F 0 1 0

mà nó là moment Dirac, cùng với g thừa số 2

Bây giờ xem số hạng F2 

 ở phần đỉnh Yếu tố S-ma trận để cho tán xạ phíatrước trong từ trường ngoài ở gần đúng phi tương đối tính bằng

0 1

0

F e

0

2 1

0

F g

CHƯƠNG 3

BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƯỜNG

Moment từ của electron theo lý thuyết Dirac: được xác định bằng hệ thức

Việc kể thêm tương tác của electron với chân không vật lý của trường điện từ

sẽ dẫn đến số hạng bổ sung cho moment, kết quả ta có moment từ dị thường Việctính lượng bổ chính cho moment từ dị thường ta gặp phải các tích phân theo cácđường trong là các tích phân phân kỳ Để tách các phần phân kỳ, thông thườngngười ta sử dụng các phương pháp khử phân kỳ sau đây: phương pháp cắt xunglượng lớn, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars

Trong Luận văn này tôi sử dụng phương pháp điều chỉnh Pauli-Villars vàcuối cùng tôi thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm Trong mục.3.1 tôi trìnhbày tính toán bổ chính cho moment từ trong gần đúng một vòng bằng phương phápđiều chỉnh Pauli-Villars

3.1 Bổ chính cho moment dị thường trong gần đúng một vòng

Từ giản đồ Feynman bậc hai trong Hình 1 ta có