skkn vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán

Thật vậy trong chương trình toán phổ thông phương pháp chứng minh quy nạp là một trong những mảng kiến thức khó mà ứng dụng của nó lại khá rộng rãi, nó không những có mặt trong phân mô

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP

QUY NẠP TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

A Phần mở đầu

Đổi mới phương pháp dạy học là một yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho

sự phát triển của giáo dục Ngày nay nền kinh tế trí thức cùng với sự bùng

nổ thông tin, giáo dục đã và đang thay đổi để phù hợp với sự phát triển

của khoa học kỹ thuật, sự phát triển của xã hội Nội dung tri thức khoa

học cùng với sự đồ sộ về lượng thông tin yêu cầu chúng ta phải đổi mới

phương pháp dạy học Trong giai đoạn hiện nay giáo dục không chỉ tạo ra

những con người có tài, có đức mà giáo dục còn có một thiên chức cao

quý hơn đó là giáo dục cái thẩm mỹ, nhân văn, đào tạo ra những con

người có kỹ năng sống và học tập trong thời đại mới Mục tiêu giáo dục

thay đổi kéo theo yêu cầu phải đổi mới phương pháp dạy học một cách

phù hợp Nhằm giúp cho giáo viên tháo gỡ những khó khăn trong quá

trình đổi mới phương pháp dạy học, đã có nhiều giáo sư tiến sỹ, các nhà

khoa học chuyên tâm nghiên cứu, thí điểm và triển khai đại trà về đổi mới

phương pháp dạy học

Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới

phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học

sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên Học sinh tự giác, chủ động

tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng

linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn Trong đó

có đổi mới dạy học môn toán, Trong trường phổ thông, dạy toán là dạy

hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình

thức chủ yếu của hoạt động toán học Quá trình giải toán đặc biệt là giải

toán hình học là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp

tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế Thông qua việc giải toán thực

chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện được những kĩ

năng cơ bản trong môn toán Từ đó rút ra được nhiều phương pháp dạy

học hay, những tiết lên lớp có hiệu quả nhằm phát huy hứng thú học tập

của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện

Trong chương trình toán phổ thông cấp THCS có nhiều mảng kiến

thức trong sách giáo khoa đề cập đến rất ít nhưng trong quá trình học lại

gặp rất nhiều, ngay những học sinh nắm rất vững kiến thức sách giáo khoa

nhưng khi gặp những dạng toán này vẫn còn lúng túng Vì vậy với phạm

vi đề tài này tôi muốn đề cập đến một vấn đề mà không ít chúng ta -

những người thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là “Phương pháp chứng

minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác

như thế nào” Thật vậy trong chương trình toán phổ thông phương pháp

chứng minh quy nạp là một trong những mảng kiến thức khó mà ứng

dụng của nó lại khá rộng rãi, nó không những có mặt trong phân môn số

học mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn đại số, nó

không chỉ dừng lại ở chương trình THCS mà còn là một phần quan trọng

trong chương trình THPT Vì vậy phương pháp chứng minh quy nạp là

phần gây cho học sinh, ngay cả học sinh giỏi nhiều khó khăn bối rối, tuy

nhiên đây cũng là phần quyến rũ học sinh say mê môn toán và học giỏi

toán vì nó đòi hỏi phải tư duy lôgic, tìm tòi sáng tạo

Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu và qua

thực tế bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS, tôi đã rút ra

được một vài kinh nghiệm Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Vận dụng

phương pháp quy nạp toán học để giải một số dạng toán” nhằm tìm ra

những biện pháp hay giúp cho công tác dạy học nói chung và công tác bồi

dưỡng học sinh giỏi nói riêng đạt kết quả cao

B Phần Nội dung

I Cở sở lý luận:

Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần

giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động

Muốn vậy giáo viên cần chỉ cho học sinh cách học, biết cách suy luận,

biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến thức

mới Các phương pháp thường là những quy tắc, quy trình nói chung là

các phương pháp có tính chất thuật toán Tuy nhiên cũng cần coi trọng các

phương pháp có tính chất tìm đoán Học sinh cần được rèn luyện các thao

tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự,

quy lạ về quen Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện

cho học sinh có thể đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững

và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng

tạo của bản thân và từ đó học sinh thấy được niềm vui trong học tập

Trong quá trình dạy học, người giáo viên phải bám sát chương trình

và sách giáo khoa, xem đây như là định hướng cho cả quá trình dạy học

Tuy nhiên việc truyền thụ kiến thức cho học sinh không chỉ dừng lại ở

sách giáo khoa mà người giáo viên còn phải có phương pháp để từ những

kiến thức cơ bản ấy phát triển và tìm ra những kiến thức mới giúp học

sinh lĩnh hội một cách chủ động và có hệ thống

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học

và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài

tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát

triển tư duy của học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được

bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải

các bài tập toán trong đó có các bài tập về chứng minh quy nạp cũng là

một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy,

trí tuệ cho học sinh, phát hiện những quy luật đẹp trong Toán học

II Cở sở thực tiễn:

Trong chương trình toán phổ thông, áp dụng phương pháp chứng

minh quy nạp chiếm một mảng lớn đó là chứng minh chia hết, chứng

minh đẳng thức, chứng minh bất đẳng thức Do vậy “phương pháp

chứng minh quy nạp” góp một phần vào việc thực hiện chương trình dạy

học theo phương pháp mới hiện nay “lấy học sinh làm trung tâm” Đồng

thời giúp mỗi người giáo viên nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ,

tạo cơ sở vững chắc để phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt

kết quả tốt, góp phần vào mục tiêu “đào tạo và bồi dưỡng nhân tài”

Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 26 học

sinh tôi thấy kết quả tiếp thu về phương pháp chứng minh quy nạp như

sau:

11 42,3% 08 30,8% 05 19,2% 02 7,7%

Nguyên nhân của thực tế trên:

Đây là dạng toán tương đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh

chưa được trang bị các phương pháp giải, nên việc suy luận còn hạn chế

và nhiều khi không có lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối

với học sinh trung bình các em càng khó giải quyết

Để giúp học sinh nắm được phương pháp chứng minh quy nạp, tôi

đã nghiên cứu xây dựng thành chuyên đề, trong đó trang bị cho học sinh

nắm được thế nào là phương pháp chứng minh quy nạp, vận dụng phương

pháp quy nạp để chứng minh quan hệ chia hết, chứng minh đẳng thức,

chứng minh bất đẳng thức Đồng thời nêu lên một số ví dụ minh họa giúp

học sinh hiểu và nắm chắc kiến thức, biết áp dụng vào giải toán Từ đó

yêu cầu học sinh giải các bài tập tương ứng từ dễ đến khó, học sinh được

rèn luyện và nắm chắc kiến thức, phương pháp giải, áp dụng thành thạo và

chất lượng giải toán được nâng cao

III Mục đích nghiên cứu:

a Đối với giáo viên:

- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức

b Đối với học sinh:

- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về áp

dụng phương pháp chứng minh quy nạp nói riêng Trang bị cho học

sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp

các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải

quyết một số bài tập có liên quan

- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa,

sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập

- Thông qua việc giải các bài toán áp dụng quy nạp (để chứng minh

chia hết, chứng minh đẳng thức, BĐT) giúp học sinh thấy rõ mục đích

của việc học toán

IV Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học

sinh và giáo viên

- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp

V Một số kiến thức cơ bản về phương pháp chứng minh quy nạp:

1, phép quy nạp hoàn toàn và phép quy nạp không hoàn toàn:

Ví dụ 1 Quan sát các kết quả sau: 13 - 1 chia hết cho 3

23 - 2 chia hết cho 3

43 - 4 chia hết cho 3

 Hãy đưa ra một dự đoán rồi chứng minh dự đoán đó?

Giải: Dự đoán: a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a

Chứng minh: Gọi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1)

Xét ba khả năng có thể xảy ra:

a) Nếu a = 3k (k  N) thì A chia hết cho 3

b) Nếu a = 3k + 1 (k  N) thì a - 1 chia hết cho 3, do đó A chia hết

cho 3

c) Nếu a = 3k +2 (k  N) thì a + 1 chia hết cho 3, do đó A chia

hết cho 3

Vậy a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a

Ví dụ 2 Quan sát kết quả sau: 23 - 2 chia hết cho 3

25 - 2 chia hết cho 5

27 - 2 chia hết cho 7

 Dự đoán sau đúng hay sai? 2n - 2 chia hết cho n với mọi số lẻ n?

Giải: Dự đoán trên là sai Chẳng hạn 29 - 2 = 510 không chia hết cho 9

Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, ta đã thực hiện các phép suy luận sau:

1, Xét các giá trị của a bằng 1, 2, 3, 4, để kết luận rằng a3 - a chia hết cho

3 với mọi số nguyên dương a

2, Xét các giá trị của a bằng 3k, 3k +1, 3k + 2 (k  N) để kết luận rằng a3

- a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a

3, Xét các giá trị của n bằng 3, 5, 7 để kết luận rằng 2n - 2 chia hết cho n

với mọi số tự nhiên lẻ n

Ba phép suy luận trên được gọi là phép quy nạp, đó là phép suy luận đi

từ các trường hợp riêng biệt đi tới kết luận tổng quát

 Phép quy nạp gọi là hoàn toàn nếu ta xét tất cả các trường hợp

riêng, chẳng hạn trong phép suy luận 2 ta đã xét mọi khả năng có thể xảy

ra khi chia số tự nhiên a cho 3 (a = 3k, a = 3k + 1, a = 3k + 2)

 Phép quy nạp gọi là không hoàn toàn nếu ta xét một số trường

hợp riêng chứ chưa xét đầy đủ mọi trường hợp riêng Chẳng hạn trong

phép suy luận 1 ta mới xét a bằng 1, 2, 3, 4 để kết luận cho mọi số nguyên

dương a, trong phép suy luận 3 ta mới xét n bằng 3, 5, 7 để kết luận cho

mọi số tự nhiên lẻ n

Nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có những dự đoán về một

tính chất toán học nào đó, đó là một cơ sở để đi tới các phát minh Phép

quy nạp 1 cho một khẳng định đúng, kết luận này đã được chứng minh

bằng phép quy nạp 2 (quy nạp hoàn toàn) Phép quy nạp 3 cho một kết

luận sai, ta bác bỏ nó bằng một phản ví dụ

Như vậy “phép quy nạp hoàn toàn” là một phép chứng minh chặt chẽ,

còn “phép quy nạp không hoàn toàn” có thể dẫn tới sai lầm, ngay cả đối

với các nhà toán học có tên tuổi dưới đây:

- Nhà toán học Pháp Fecma nhận xét rằng công thức 2n + 1 cho ta các số

nguyên tố với n bằng 20, 21, 22, 23, 24 (thật vậy 21+ 1 = 3; 22 + 1 = 5; 24 +

1 = 17; 28 + 1 = 257; 216 + 1 = 65537; tất cả đều là số nguyên tố )

Với n = 25 = 32 thì 2n + 1 = 232 + 1 = 4294967297, Fecma không phân

tích được ra thừa số nguyên tố, ông cho rằng đó cũng là một số nguyên tố

và đưa ra giả thuyết tổng quát rằng công thức 2n + 1 với n là một luỹ thừa

của 2 cho ta các số nguyên tố

- Một thế kỉ sau, năm 1732, Ơle mới bác bỏ giả thuyết trên bằng cách

chỉ ra rằng 232 + 1 là một hợp số, nó chia hết cho 641

Có thể kể thêm hai mệnh đề sai nhưng lại đúng với một số rất lớn các

trường hợp đầu tiên:

- Nhà toán học Gravơ đưa ra dự đoán: Với mọi số nguyên tố p ta có: 2

p-1

- 1 không chia hết cho p2 Dự đoán này đúng với mọi số nguyên tố nhỏ

hơn 1000, nhưng chẳng bao lâu sau người ta chỉ ra rằng tồn tại số nguyên

tố 1093 mà 21093 - 1 chia hết cho 10932

- Một dự đoán khác: Số 911n2+ 1 không là số chính phương với mọi số

nguyên dương n Số n nhỏ nhất để mệnh đề trên sai là

n = 12055735790331359447442538767 (có 29 chữ số)

Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn giúp các nhà toán học tìm ra một

phương pháp chứng minh hiệu nghiệm giúp chúng ta khẳng định sự đúng

đắn của một số tự nhiên, đó là phương pháp quy nạp toán học

2, Nội dung của phương pháp quy nạp Toán học:

Trong toán học, phép quy nạp hoàn toàn chỉ được áp dụng rất hạn

chế Nhiều mệnh đề Toán học đáng chú ý bao gồm một số vô hạn các

trường hợp riêng, nhưng con người không thể kiểm tra được tất cả các

trường hợp riêng đó

Phép quy nạp hoàn toàn, như chúng ta đã biết thường dẫn tới kết

luận sai lầm Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như thế

người ta áp dụng một phương pháp suy luận “đặc biệt”, được gọi là

phương pháp quy nạp Toán học

* Nội dung của phương pháp quy nạp Toán học được trình bày như

sau:

Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đã

được chứng minh nếu cả hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1, Mệnh đề đúng với n = 1

2, Từ giả thiết mệnh đề đúng với n = k (k  N) suy ra được mệnh

đề cũng đúng với n = k + 1

Như vậy để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số nguyên

dương n bằng phương pháp quy nạp Toán học, ta phải tiến hành ba bước

sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (ta gọi là giả thiết quy nạp),

rồi chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n

Trong phạm vi nghiên cứu của mình, tôi chỉ đề cập đến việc vận

dụng phương pháp chứng minh quy nạp Toán học để giải ba dạng toán đó

là: Chứng minh sự chia hết, chứng minh đẳng thức và chứng minh bất

đẳng thức Hy vọng với một số kinh nghiệm nhỏ này sẽ góp phần vào

phương pháp dạy học, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp

học sinh rèn luyện được kỹ năng giải toán và tư duy giải toán có hiệu quả

hơn

3, Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào chứng minh:

3.1, Dạng 1 Chứng minh quan hệ chia hết:

Bài 1: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên dương

liên tiếp thì chia hết cho 9

Giải:

Gọi ba số nguyên dương liên tiếp đó là: n; n +1 và n + 2

Ta phải chứng minh: [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3]  9 (1)

+ Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số nguyên dương n Vậy tổng các

lập phương của ba số nguyên dương liên tiếp thì chia hết cho 9

Bài 2: Chứng minh rằng: Với mọi n nguyên dương thì: A(n) = 7n + 2 + 82n +

1  19

Vì A(k)  19 (Theo giả thiết quy nạp)  7 A(k)  19

19 19  19.3.82k + 1  19  A(k + 1)  19

Theo nguyên lí quy nạp A(n)  19 Với n nguyên dương

Vậy A(n) = 7k + 2 + 82k + 1 19 Với n nguyên dương

+ Kết luận: Vậy A(n) đúng với mọi số nguyên dương

+ Kết luận: Vậy 16n - 15 - 1  225 với n  N

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:

a) Sn = (n + 1).(n + 2).(n + 3) (n + n) chia hết cho 2n

b) 33n + 2 + 5.23n + 1 chia hết cho 19

c) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết 24

Giải:

* Một số bài tập giải tương tự:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a:

a) a2 - a chia hết cho 2 b) a3 - a chia hết cho

3 c) a5 - a chia hết cho 5 d) a7 - a chia hết cho

7

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:

a) 32n + 1 + 40n - 67 chia hết cho 64 b) 2n + 2.3n + 5n - 4 chia hết

Vậy với mọi số nguyên dương n thì gồm 3n chữ số 1 chia hết cho 3n

Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với:

Bài 7: a) Chứng minh rằng nếu tổng hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng

các lập phương của chúng chia hết cho 9

b) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ thì chia

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k +1