về một dạng hội tụ của dãy và chuỗi

Về một dạng hội tụ của dãyvà chuỗi nhiều chỉ số các đại lượng ngẫu nhiên Nguyễn Văn Quảnga Đặng Văn Hảib, Nguyễn Thị Thếa Tóm tắt.. Các dãy và chuỗi mà tập chỉ số là Ndđược gọi là dãy và

Về một dạng hội tụ của dãy

và chuỗi nhiều chỉ số các đại lượng ngẫu nhiên

Nguyễn Văn Quảng(a)

Đặng Văn Hải(b), Nguyễn Thị Thế(a)

Tóm tắt Giả sửN là tập hợp các số nguyên dương,dlà một số nguyên dương

Nd= {n = (n1, n2, , nd) : ni∈ N, i = 1, 2, , d}

và{X(n), n ∈ Nd}là dãyd-chỉ số các đại lượng ngẫu nhiên Mục đích của bài báo này là thiết lập một số tính chất cơ bản về sự hội tụ của dãy{X(n), n ∈ Nd}và chuỗi

P

n∈N dX(n)khi max

16i6dni= ∨ni → ∞.

1 Mở đầu

Giả sử d là một số nguyên dương, ký hiệu

Nd= {n = (n1, n2, , nd) : ni ∈ N, i = 1, 2, , d}

Trong Nd, quan hệ thứ tự được định nghĩa như sau:

Với m = (m1, m2, , md), n = (n1, n2, , nd)là hai phần tử của Nd, khi đó

m 6 n⇐⇒ mđ.n i 6 ni, i = 1, , d

Gọi tập con của Nd, mà với mỗi phần tử của nó các chỉ số đều bằng nhau, là Id= {i = (i, i, , i) : i ∈ N}

Với mỗi n = (n1, n2, , nd), đặt

∨ni = max

16i6dni; ∧ni = min

16i6dnivà |n| = n1.n2 nd Các dãy và chuỗi mà tập chỉ số là Ndđược gọi là dãy và chuỗi d - chỉ số

Trong thời gian gần đây, có nhiều bài báo nghiên cứu về giới hạn của dãy và chuỗi

d- chỉ số các đại lượng ngẫu nhiên (xem chẳng hạn [3], [4], [5] [6], [8]) Tuy nhiên, chưa có bài báo nào trình bày và chứng minh một cách chi tiết chặt chẽ các tính chất cơ bản của loại giới hạn này

Đối với loại dãy và chuỗi d - chỉ số, người ta thường quan tâm nghiên cứu giới hạn của chúng khi ∨ni → ∞hoặc khi ∧ni → ∞ Cả hai dạng giới hạn này đều là mở rộng của giới hạn của dãy và chuỗi một chỉ số thông thường Sự hội tụ của dãy và chuỗi d

- chỉ số các đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) khi ∧ni→ ∞đã được nghiên cứu trong [1]

1 Nhận bài ngày 30/10/2006 Sửa chữa xong ngày 29/12/2006.

Mục đích chính của bài báo này là nghiên cứu sự hội tụ của dãy và chuỗi d - chỉ số các

ĐLNN khi ∨ni → ∞ Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng nhiều tính chất của dãy và chuỗi các

ĐLNN vẫn còn đúng đối với dãy và chuỗi nhiều chỉ số Mặt khác, có một số tính chất không còn đúng nữa Các phép chứng minh các tính chất cũng có sự thay đổi nhất

định, do quan hệ thứ tự trên Nd(d > 1)không phải là quan hệ thứ tự tuyến tính

Để làm cơ sở, trước hết chúng ta cần nghiên cứu về sự hội tụ của dãy số và chuỗi số

d- chỉ số

2 Sự hội tụ của dãy số và chuỗi sốd- chỉ số

Định nghĩa 2.1 Giả sử {x(n), n ∈ Nd}là dãy số d - chỉ số Ta nói dãy {x(n), n ∈ Nd} hội tụ tới x ∈ R khi ∨ni → ∞ (tương ứng khi ∧ni → ∞), nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N (tương ứng tồn tại n0 ∈ Nd) sao cho với mọi n = (n1, n2, , nd) ∈ Ndmà

∨ni ≥ n0 (tương ứng n ≥ n0) thì |x(n) − x| < ε Ký hiệu lim∨n

i →∞x(n) = x (tương ứng lim

∧ni→∞x(n) = x)

Định nghĩa 2.2 Giả sử {x(n), n ∈ Nd}là dãy số d - chỉ số Ta nói dãy {x(n), n ∈ Nd} hội tụ tới x ∈ R khi |n| → ∞, nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi

n = (n1, n2, , nd) ∈ Ndmà |n| ≥ n0 thì |x(n) − x| < ε Ký hiệu lim

|n|→∞x(n) = x

Nhận xét: Dễ nhận thấy rằng nếu n ≥ n0 thì |n| ≥ |n0|và ∨ni → ∞khi và chỉ khi

|n| → ∞ Do đó, giữa hai định nghĩa trên có mối quan hệ sau:

lim

|n|→∞x(n) = x ⇔ lim

∨ni→∞x(n) = x ⇒ lim

∧ni→∞x(n) = x

Định nghĩa 2.3 Giả sử {x(n), n ∈ Nd} là dãy số d - chỉ số Khi đó Pn∈Ndx(n) (1)

được gọi là chuỗi số d - chỉ số

Đặt S(n) = Pm6nx(m) , S(n) được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1) Ta nói chuỗi (1) hội tụ khi ∨ni → ∞ nếu dãy {S(n), n ∈ Nd} hội tụ khi ∨ni → ∞ và S = lim

∨ni→∞S(n) =P

n∈N dx(n)được gọi là tổng của chuỗi (1)

r(n) = S − S(n) = X x(m)

được gọi là phần dư thứ n của chuỗi (1)

Rõ ràng, nếu chuỗi (1) hội tụ thì lim∨n

i →∞r(n) = 0

Từ các định nghĩa trên, ta dễ dàng chứng minh được các định lý sau

Định lý 2.4 Giả sử {x(n), n ∈ Nd}và {y(n), n ∈ Nd}là các dãy số d - chỉ số.

(i) Nếu x(n) → x và y(n) → y khi ∨ni→ ∞ (∧ni → ∞)thì tổng x(n) + y(n) → x + y khi

∨ni → ∞ (∧ni → ∞)

(ii) Nếu x(n) → x khi ∨ni → ∞ (∧ni → ∞)thì |x(n)| → |x| khi ∨ni→ ∞ (∧ni → ∞) (iii) Nếu x(n) → x khi ∨ni → ∞ (∧ni → ∞) thì λx(n) → λx khi ∨ni → ∞ (∧ni → ∞) với λ ∈ C

Định lý 2.5 Giả sử Pn∈Ndx(n) hội tụ đến x ∈ R, Pn∈Ndy(n) hội tụ đến y ∈ R khi

∨ni → ∞ Khi đó

(i) Chuỗi Pn∈Nd(x(n) + y(n))hội tụ đến x + y khi ∨ni → ∞

(ii) Chuỗi Pn∈Ndλx(n), λ ∈ Chội tụ đến λx khi ∨ni → ∞

Định nghĩa 2.6 Giả sử {x(n), n ∈ Nd}là dãy số d - chỉ số Ta nói dãy {x(n), n ∈ Nd}

bị chặn, nếu tồn tại số M > 0 sao cho |x(n)| 6 M, với mọi n ∈ Nd

Định lý sau đây có thể được chứng minh hoàn toàn tương tự như trường hợp dãy một chỉ số

Định lý 2.7 Giả sử {x(n), n ∈ Nd}là dãy số d - chỉ số Nếu dãy {x(n), n ∈ Nd}hội tụ tới x ∈ R khi ∨ni → ∞thì {x(n), n ∈ Nd}bị chặn

Nhận xét: Nếu dãy {x(n), n ∈ Nd}hội tụ tới x ∈ R khi ∧ni → ∞thì {x(n), n ∈ Nd} chưa chắc đã bị chặn

Chẳng hạn xét dãy số hai chỉ số {x(m, n)}, với

x(m, n) =

(

m, nếu n = 1

0, nếu n 6= 1

Khi đó rõ ràng x(m, n) → 0, khi m ∧ n → ∞ nhưng dãy đó không bị chặn

Tương tự như trường hợp dãy một chỉ số, nói chung một dãy số d - chỉ số bị chặn thì chưa chắc đã hội tụ Tuy nhiên, ta có định lý sau:

Định lý 2.8 Giả sử {x(n), n ∈ Nd}là dãy số bị chặn Khi đó nếu dãy {x(n), n ∈ Nd}

đơn điệu tăng (giảm) theo nghĩa x(n) ≥ x(m) (x(n) 6 x(m)) khi ∨ni ≥ ∨mi, thì {x(n), n ∈ Nd}hội tụ khi ∨ni → ∞và

lim

∨ni→∞x(n) = lim

i→∞x(i) (i ∈ Id)

Chứng minh Giả sử {x(n), n ∈ Nd} đơn điệu tăng Gọi {x(i), i ∈ Id}là dãy con của dãy x(n), n ∈ Nd} Do {x(n), n ∈ Nd}là dãy đơn điệu tăng và bị chặn nên {x(i), i ∈ Id}

là dãy một chỉ số đơn điệu tăng và bị chặn nên hội tụ về x nào đó khi i → ∞ Ta chứng minh {x(n), n ∈ Nd}hội tụ về x khi ∨ni → ∞

Thật vậy, với mọi ε > 0, tồn tại n0∈ N sao cho 0 6 x − x(i) < ε (i ∈ Id)với mọi i ≥ n0 Khi đó, với mọi n mà ∨ni = k > n0, ta có x(n0) 6 x(n) 6 x(k), (n0, k ∈ Id) Do đó

0 6 x − x(k) 6 x − x(n) 6 x − x(n0) < ε

Từ đó suy ra

lim

∨ni→∞x(n) = x = lim

i→∞x(i) (i ∈ Id)

Nếu {x(n), n ∈ Nd}đơn điệu giảm thì {−x(n), n ∈ Nd}đơn điệu tăng Sử dụng kết quả vừa chứng minh và định lý 2.4 ta được điều phải chứng minh 

Định nghĩa 2.9 Dãy số {x(n), n ∈ Nd} được gọi là dãy Cauchy khi ∨ni → ∞, nếu với mọi ε > 0, tồn tại no ∈ N sao cho với mọi m, n ∈ Nd mà ∨mi ≥ n0, ∨ni ≥ n0 thì

|x(m) − x(n)| < ε

Định lý 2.10 Để dãy số {x(n), n ∈ Nd}hội tụ đến x ∈ R, khi ∨ni → ∞,điều kiện cần

và đủ là {x(n), n ∈ Nd}là dãy Cauchy

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử {x(n), n ∈ Nd} hội tụ tới phần tử x ∈ R khi

∨ni → ∞, với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ∈ Nd mà ∨ni ≥ n0 thì

|x(n) − x| < ε

2.Khi đó với mọi m, n ∈ Ndmà ∨mi ≥ n0, ∨ni ≥ n0, ta có |x(m) − x(n)| =

|(x(m) − x) − (x(n) − x)| 6 |x(m) − x| + |x(n) − x| < ε

2 +ε2 = ε

Điều kiện đủ: Gọi {x(i), i ∈ Id} là dãy con của dãy số {x(n), n ∈ Nd}.Khi đó dãy số {x(i), i ∈ Id} xem như là dãy Cauchy một chỉ số nên {x(i), i ∈ Id} hội tụ về x ∈ R nào đó, khi i → ∞ Kết hợp với giả thiết {x(n), n ∈ Nd} là dãy Cauchy, suy ra rằng với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n ∈ Nd, i ∈ Id mà ∨ni ≥ n0, i ≥ n0 ta

có |x(n) − x| 6 |x(n) − x(i)| + |x(i) − x| < ε Vậy {x(n), n ∈ Nd}hội tụ tới x ∈ R khi

3 Sự hội tụ của dãy và chuỗid- chỉ số

các đại lượng ngẫu nhiên

Giả sử {X(n), n ∈ Nd}là dãy d - chỉ số các ĐLNN xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P), đơn giản ta viết {X(n)} là dãy ĐLNN

Dãy con của dãy {X(n), n ∈ Nd}có chỉ số thuộc tập Id,được ký hiệu là {X(i), i ∈ Id}, hoặc đơn giản là {X(i)}

Định nghĩa 3.1 Ta nói

(i) Dãy {X(n)} hội tụ theo xác suất tới ĐLNN X khi ∨ni → ∞,nếu với mọi ε > 0, ta

có lim

∨n i →∞P(|X(n) − X| > ε) = 0, ký hiệu X(n)−→ XP , khi ∨ni → ∞

(ii) Dãy {X(n)} hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c) tới ĐLNN X khi ∨ni → ∞ nếu tồn tại tập A có xác suất 0 sao cho X(n)(ω) → X(ω), khi ∨ni → ∞với mọi ω /∈ A Ký hiệu X(n)−→ X,h.c.c khi ∨ni → ∞

(iii) Dãy {X(n)} hội tụ theo trung bình cấp p (0 < p < ∞) tới ĐLNN X khi ∨ni → ∞, nếu lim

∨n i →∞E|X(n) − X|p = 0.Ký hiệu X(n)Lp

→ X,khi ∨ni→ ∞

Bổ đề 3.2 Giả sử {A(n)} là dãy d - chỉ số các biến cố Khi đó

(i) Nếu {A(n)} là dãy tăng theo nghĩa A(m) ⊂ A(n) khi ∨mi 6 ∨nithì P(Sn∈NdA(n)) = lim

∨n i →∞P(A(n))

(ii) Nếu {A(n)} là dãy giảm theo nghĩa A(m) ⊃ A(n) khi ∨mi 6 ∨nithì P(Tn∈NdA(n)) = lim

∨ni→∞P(A(n))

Chứng minh (i) Giả sử {A(n)} là dãy các biến cố tăng Gọi dãy con của dãy {A(n)}

có tập chỉ số thuộc tập Idlà {A(i)} Khi đó ta xem {A(i)} như là dãy biến cố một chỉ

số và {A(i)} là dãy tăng, nên ta có P(Si∈IdA(i)) = lim

i→∞P(A(i))

Ta chứng minh Sn∈NdA(n) =S

i∈I dA(i)

Hiển nhiên Sn∈NdA(n) ⊃ S

i∈I dA(i) (1) Ta chứng minh điều ngược lại Giả sử

ω ∈S

n∈N dA(n), khi đó tồn tại n0 = (n01, n02, , n0d) ∈ Nd sao cho ω ∈ A(n0).Chọn

i0 = (m0, m0, , m0) ∈ Id với m0 = max

16i6dn0i Khi đó rõ ràng ∨n0i 6 ∨mo = m0, nên A(n0) ⊂ A(i0), suy ra ω ∈ A(i0), nên ω ∈ Si∈IdA(i) Từ đó ta có Sn∈NdA(n) ⊂ S

i∈I dA(i) (2)

Từ (1) và (2) suy ra Sn∈NdA(n) =S

i∈I dA(i).Do đó P(Sn∈NdA(n)) = lim

i→∞P(A(i))

Từ giả thiết suy ra {P(A(n))} là dãy số tăng; áp dụng định lý 2.8 ta được

lim

∨n i →∞P(A(n)) = lim

i→∞P(A(i)) = P(

[

n∈N d

A(n))

 (ii) Chứng minh tương tự

Bổ đề sau đây là dạng d- chỉ số của bổ đề Borel-Cantelli

Bổ đề 3.3 Giả sử {A(n), n ∈ Nd}là dãy d - chỉ số các biến cố.

(i) Nếu Pn∈NdP(A(n)) < ∞thì P( lim∨n

i →∞sup

n

A(n)) = 0

(ii) Nếu Pn∈NdP(A(n)) = ∞và {A(n), n ∈ Nd}độc lập thì P( lim∨n

i →∞sup

n

A(n)) = 1 Trong đó lim∨n

i →∞sup

n

A(n) =T

n∈N d

S

mnA(m)

Chứng minh (i) Đặt B(1) = Sm1A(m), , B(k) =S

mkA(m), Khi đó {B(k), k ∈ Nd}là dãy giảm, áp dụng bổ đề 3.2 ta có

P( lim∨n

i →∞sup

n

A(n)) = lim

k→∞P(SnkA(n)) 6 lim

k→∞

P

nkP(A(n)) = 0

(ii) Do {A(n), n ∈ Nd}độc lập nên { ¯A(n), n ∈ Nd}cũng độc lập, ta có

P(TnkA(n)) =¯ Q

nkP(A(n))¯

=Q

nk(1 − P(A(n))) 6Q

nke−P(A(n))= e−

P

nk P(A(n))

= e−∞= 0, suy ra P(SnkA(n)) = 1, từ đó P( lim∨n

i →∞sup

n

Định lý 3.4 Nếu X(n) Lp

−→ X, hoặc X(n)−→ Xh.c.c , khi ∨ni → ∞thì X(n) −→ XP , khi

∨ni → ∞

Chứng minh Giả sử X(n) Lp

−→ X,khi ∨ni → ∞, áp dụng Bất đẳng thức Markov ta

có với mọi ε > 0, 0 6 P(|X(n) − X| > ε) 6 E|X(n) − X|p

∨n i →∞E|X(n) − X|p = 0, nên lim

∨n i →∞P(|X(n) − X| > ε) = 0 Vậy X(n)−→ XP , khi ∨ni → ∞

Giả sử X(n)−→ Xh.c.c , khi ∨ni→ ∞, tức là

P( lim∨n

i →∞|X(n) − X| = 0) = 1

với mỗi ε > 0, đặt

m∈N d :∨m i ≥∨n i

(|X(m) − X| ≥ ε)

Khi đó D(n)c(ε) =T

m∈N d :∨m i ≥∨n i(|X(m) − X| < ε)

Từ đó, dễ dàng kiểm tra trực tiếp được

( lim

∨ni→∞|X(n) − X| = 0) =

∞

\

k=1

[

n∈N d

D(n)c(1

k).

Từ đó

X(n)−→ Xh.c.c khi ∨ ni → ∞ ⇔ P( lim∨n→∞|X(n) − X| = 0) = 1

⇔ P(

∞

\

k=1

[

n∈N d

D(n)c(1

k)) = 1 ⇔ P( [

n∈N d

D(n)c(1

k)) = 1 ⇔ P( \

n∈N d

D(n)(1

k)) = 0.

Mà dãy {D(n)(1

k), n ∈ Nd}là dãy giảm cho nên

lim

∨ni→∞P(D(n)(1

k)) = P( \

n∈N d

D(n)(1

k)) = 0.

Với mọi ε > 0, tồn tại k để 1

k < ε Suy ra D(n)(ε) ⊂ D(n)(1

k)

Nên (|X(n) − X| > ε) ⊂ (|X(n) − X| ≥ ε) ⊂ D(n)(ε) ⊂ D(n)(1

k)

Từ đó ta có 0 6 P(|X(n)−X| > ε) 6 P(D(n)(1

k)) → 0,khi ∨ni → ∞suy ra lim∨n

i →∞P(|X(n)−

Định lý sau đây có thể được chứng minh tương tự như trường hợp dãy một chỉ số

Định lý 3.5 Nếu lim∨n

i →∞P(X(n) 6= Y (n)) = 0và X(n)−→ XP , khi ∨ni → ∞thì Y (n)−→P

X, khi ∨ni → ∞

Bằng cách sử dụng định lý 3.4 và kỹ thuật như trong trường hợp dãy một chỉ số, ta

có định lý sau:

Định lý 3.6 X(n)−→ Xh.c.c , khi ∨ni→ ∞khi và chỉ khi với mọi ε > 0, ta có

lim

∨ni→∞P( sup

{m:∨mi≥∨ni}

|X(m) − X| ≥ ε) = 0

Hệ quả 3.7 Nếu chuỗi

X

n∈N d

P(|X(n) − X| > ε) hội tụ khi ∨ni→ ∞, với mọi ε > 0 tuỳ ý, thì X(n)−→ X,h.c.c khi ∨ni→ ∞

Chứng minh Với mọi ε > 0, ta có

P( sup

{m:∨m i ≥∨n i }|X(m)−X| > ε) = P( [

m,∨m i ≥∨n i

|X(m)−X| > ε) 6 X

m,∨m i >∨n i

P(|X(m)−X| > ε) Chú ý rằng nếu ∨mi> ∨ni

X

m,∨m i >∨n i

P(|X(m) − X| > ε) 6

X P(|X(m) − X| > ε) = r(n) → 0

Các mệnh đề sau đây có thể được chứng minh tương tự như trường hợp dãy một chỉ số

Mệnh đề 3.8 Nếu X(n) −→ X, Y (n)h.c.c −→ Y,h.c.c khi ∨ni → ∞thì tổng X(n) + Y (n) −→h.c.c

X + Y,khi ∨ni → ∞

Mệnh đề 3.9 Giả sử {X(n)} là dãy d - chỉ số các ĐLNN Khi đó, nếu Pn∈NdE|X(n)|p <

∞với p > 0 (*), thì X(n)−→ 0h.c.c , và X(n) Lp

−→ 0,khi ∨ni → ∞

Định nghĩa 3.10 Giả sử {X(n)}, n ∈ Nd là dãy d - chỉ số các ĐLNN cùng xác định trên không gian xác suất (Ω, F, P) Ta nói

(i) {X(n)} là dãy Cauchy hầu chắc chắn nếu

∨m i →∞,∨n i →∞|X(m) − X(n)| = 0) = 1

(ii) {X(n)} là dãy Cauchy theo xác suất nếu

∀ε > 0 : lim

∨m i →∞,∨n i →∞P(|X(m) − X(n)| ≥ ε) = 0

(iii) {X(n)} là dãy Cauchy theo trung bình cấp p (0 < p < ∞), nếu

lim

∨mi→∞,∨ni→∞E|X(m) − X(n)|p= 0

Định lý 3.11 Dãy {X(n)} là dãy Cauchy hầu chắc chắn khi và chỉ khi nó thoả mãn một trong hai điều kiện sau với mọi ε > 0:

(i) lim∨n

{k,l:∨ki,∨l i ≥∨ni}

|X(k) − X(l)| ≥ ε) = 0

(ii) lim

∨n i →∞P( sup

{k:∨k i ≥∨n i }

|X(k) − X(n)| ≥ ε) = 0

Chứng minh Tương tự trường hợp một chiều, dễ thấy hai điều kiện trên tương đương

Do đó ta chỉ cần chứng minh (i)

Điều kiện cần: Giả sử {X(n)} là dãy Cauchy h.c.c

Đặt

k,l,∨k i :∨l i ≥∨ni

(|X(k) − X(l)| ≥ ε)

{k,l:∨k i ,∨l i ≥∨n i }

|X(k) − X(l)| ≥ ε)

Rõ ràng {∆(n)} là dãy giảm và

∨ki→∞,∨li→∞|X(k) − X(l)| = 0) =

∞

\

m=1

[

n∈N d

∆(n)c(1

m).

Do đó

{X(n)}là dãy Cauchy h.c.c ⇔ P(

∞

\

m=1

[

n∈N d

∆(n)c( 1

m)) = 1

⇔ P( [

n∈N d

∆(n)c(1

m)) = 1 ⇔ P( \

n∈N d

∆(n)(1

m)) = 0 ⇔∨nlimi →∞P(∆(n)(1

m)) = 0. (Do {∆(n)(1

m)}là dãy giảm) Với mọi ε > 0, tồn tại m ∈ N để 1

m < ε Khi đó

{k,l:∨ki,∨l i ≥∨ni}

|X(k) − X(l)| ≥ ε) ⊂ [

k,l:∨k i ,∨l i ≥∨n i

(|X(k) − X(l)| ≥ 1

m) ⊂ ∆(n)(

1

m).

Từ đó 0 6 P( sup

{k,l:∨ki,∨l i ≥∨ni}

|X(k) − X(l)| ≥ ε) 6 P(∆(n)(1

m)) −→ 0khi ∨ni→ ∞

Vậy ta có (i)

Điều kiện đủ: Giả sử {X(n)} thoả mãn (i), khi đó

P(

\

n∈N d

∆(n)(1

m)) =∨nlimi →∞P(∆(n)(1

m)) 6 lim∨n

{k,l:∨ki,∨l i ≥∨ni}

|X(k)−X(l)| ≥ 1

m) = 0, với mọi m ∈ N

Từ đó suy ra

P(

∞

\

m=1

[

n∈N d

∆(n)c(1

m)) = 1, với mọi m ∈ N

Do đó

P( lim

∨n i →∞|X(k) − X(l)| = 0) = 1với mọi k, l ∈ Ndmà ∨ ki, ∨li≥ ∨ni

Định lý 3.12 Giả sử {X(n)}, n ∈ Nd}là dãy d - chỉ số các ĐLNN Khi đó

(i) X(n) hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy theo xác suất

(ii) X(n) hội tụ hầu chắc chắn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy hcc

Chứng minh (i) Điều kiện cần là hiển nhiên, ta chỉ cần chứng minh điều kiện đủ Giả sử {X(n)} là dãy Cauchy theo xác suất, khi đó gọi dãy con của dãy {X(n)} có chỉ

số thuộc tập Idlà {X(j)} Ta xem {X(j)} như là dãy ĐLNN một chỉ số nên {X(j)} là dãy Cauchy theo xác suất Do đó nó hội tụ về ĐLNN X nào đó

Ta chứng minh X(n)−→ XP , khi ∨ni → ∞

Ta có P(|X(k) − X| > ε) 6 P(|X(n) − X(j| > ε

2) + P(|X(j) − X| > ε2) −→ 0, khi

∨ni, j → ∞

Vậy X(n)−→ XP , khi ∨ni → ∞

Chứng minh (ii) sử dụng trực tiếp định nghĩa 3.10 và định lý 3.11 

Định lý 3.13 Giả sử {X(n)}, n ∈ Nd là dãy d - chỉ số các ĐLNN độc lập, EX(n) = 0 với mọi n ∈ Nd Khi đó, nếu Pn∈NdDX(n)hội tụ khi ∨ni → ∞thì Pn∈NdX(n)hội tụ h.c.c khi ∨ni → ∞

Chứng minh Với mọi ε > 0 ta có

0 6 P( sup

{k:∨k i ≥∨n i }

|S(k) − S(n)| > ε) 6 1

ε2

X

k:∨k i ≥∨ni

DX(k) 6 1

ε2

X DX(k) = r(n) → 0 khi ∨ni → ∞ Do đó

lim

∨n i →∞P( sup

{k:∨k i ≥∨n i }

|S(k) − S(n)| > ε) = 0 với mọi ε > 0 Suy ra {S(n)} là dãy Cauchy h.c.c và do đó hội tụ h.c.c khi ∨ni → ∞

Hệ quả 3.14 Giả sử {X(n)} là dãy d - chỉ số các ĐLNN, độc lập Khi đó nếu Pn∈NdDX(n) hội tụ khi ∨ni→ ∞thì Pn∈Nd(X(n) − EX(n))hội tụ h.c.c khi ∨ni→ ∞

Định lý 3.15 Giả sử {X(n), n ∈ Nd}là dãy d - chỉ số các ĐLNN độc lập Với mỗi c > 0

đặt

Xc(n) = X(n)I(|X(n)| 6 c)

Khi đó nếu ba chuỗi

(i)Pn∈NdP(|X(n)| > c), (ii)Pn∈NdE(Xc(n), (iii)Pn∈NdD(Xc(n))hội tụ khi ∨ni→ ∞ thì Pn∈NdX(n)hội tụ h.c.c khi ∨ni→ ∞

Chứng minh Từ (ii) và (iii) suy ra Pn∈NdXc(n) hội tụ h.c.c khi ∨ni → ∞ Mặt khác Pn∈NdP(X(n) 6= Xc(n)) =P

n∈N dP(|X(n)| > c)hội tụ khi ∨ni→ ∞, nên từ

bổ đề 3.3 suy ra với xác suất 1 hai chuỗi Pn∈NdX(n) và Pn∈NdXc(n) chỉ có một số hữu hạn các số hạng khác nhau Do đó Pn∈NdXc(n)hội tụ h.c.c khi ∨ni→ ∞khi và chỉ khi Pn∈NdX(n)hội tụ h.c.c khi ∨ni → ∞ Từ đó suy ra điều phải chứng minh  Nhận xét: Xét dãy 2 chỉ số cho bởi:

X(i, j) =

( (−1)jinếu i ≥ 1, j 6 2,

0 nếu ngược lại

Khi đó với n ≥ 2 thì

S(m, n) = X

i6m

X

j6n

X(i, j) = X

i6m

X

j62

X(i, j) = (−1)1.1 + (−1)1.2+