Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng... α n r Vectơ được xác định như trên được gọi là tích cĩ hướng hay tích vectơ của hai vectơ... Phương trình tổng quát của mặt phẳng... Phương trình tổng q
Trang 1NhiÖt liÖt chµo mõng
quý thÇy c« vµ c¸c em häc sinh
Tr êng : THPT Mü Léc
Trang 2kiÓm tra bµi cò
b) và cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k sao cho: a1 = kb1; a2 = kb2; a3 = kb3
a r
b r
Trả lời:
a r ⊥ ⇔ b r a b r r = ⇔ a b1 1 + a b2 2 + a b3 3 = 0
a)
Câu hỏi: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ:
( ; ; ), ( ; ; ), 0, 0
a a a a r b b b b r a r ≠ r b r r ≠
a) khi nào ?a r ⊥ b r
b) và cùng phương khi nào ?a r
b r
Trang 3ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
(tiÕt 1)
α )
I Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Định nghĩa:
0
nr ≠ r
n r
( )α
( )α
Vectơ được gọi là vectơ pháp
tuyến của nếu có giá vuông góc
với mặt phẳng
Chú ý:
( ) α
0
k ≠
kn r
*) Nếu là vectơ pháp tuyến của thì với cũng
là véc tơ pháp tuyến của
n r
( ) α
*) Mặt phẳng (α) xác định khi biết một điểm nó đi qua và một vectơ pháp tuyến
2
n r
r
1
n
Trang 4b’
a’
nr
br
ar
BÀI TỐN:
( 2 3 3 2 ; 3 1 1 3 ; 1 2 2 1 )
n r = a b − a b a b − a b a b − a b
Trong khơng gian Oxyz cho :
khơng cùng phương và
1 2 3
( ; ; ),
a a a a r
1 2 3
b b b b r
Chứng minh: n r ⊥ a r
( 2 3 3 2 ; 3 1 1 3 ; 1 2 2 1 )
n r = a b a b a b a b a b − − − a b
( )α
( )α
( ; ; ), ( ; ; )
a a a a b b b b r r
Trong khơng gian Oxyz, cho và
khơng cùng phương, cĩ giá song song hoặc nằm trong thì nhận vectơ:
làm vectơ pháp tuyến
( )α
n r
Vectơ được xác định như trên được gọi là tích cĩ hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ a r b r
và
n a b hoặc n= a,b r r r r r r
Kí hiệu là:
Trang 5ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
(tiÕt 1)
I Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ví dụ 1:
Trong không gian Oxyz cho A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3).Tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến của (ABC)?
Trang 6α
n r
M0
Bài toán 1:
( ; ; ) 0
( ; ; )
M x y z
( ; ; ) ( )
M x y z ∈ α A x x( − 0) + B y y( − 0) +C z z( − 0) 0 =
Trong không gian Oxyz cho đi qua và nhận: làm vectơ pháp tuyến.Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để là:
( ) α
(tiÕt 1)
I Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
II Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Bài toán 2:
Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng tập hợp các điểm M(x; y; z) thỏa mãn: Ax + By + Cz +D = 0,
là một mặt phẳng nhận n(A; B; C) ≠ 0 làm vectơ pháp tuyến
(A + B + C ≠ 0)
Trang 7ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
(tiÕt 1)
II Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
1, Định nghĩa:
Phương trình có dạng: Ax + By + Cz + D = 0,
được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng
2 2 2
(A + B +C ≠ 0)
Nhận xét:
*) Nếu có phương trình tổng quát:Ax + By + Cz = 0, ( ) α
( )α
thì có2 2 2 một vectơ pháp tuyến là:
( ; ; ) 0
n A B C r ≠ r
*) Mặt phẳng đi qua nhận ( ) α M x y z0( ; ; )0 0 0 làm vectơ pháp tuyến có phương trình:A x x( − +0) B y y( − +0) C z z( − =0) 0
Trang 8ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
(tiÕt 1)
II Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Giải:
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho A(2; -1; 3), B(4; 0; 1),
C(-10; 5; 3).Viết phương trình (ABC)?
=
n r 1 2 2 ; ;
Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(2; -1; 3) có vectơ pháp tuyến có phương trình là:
1(x – 2) + 2(y + 1) + 2(z - 3) = 0
x + 2y + 2z – 6 = 0
⇔
(2;1; 2), ( 12;6;0)
AB = − AC = −
⇒ uur uuu AB AC ( ; ; )∧ r = 12 24 24
Ví dụ 2:
( ) α
( ) α
Tìm một vectơ pháp tuyến của và một điểm nằm
trên , biết có phương trình:
-3x + y + z + 3 = 0
( ) α
Trang 9Bài tập 1
Lập phương trình mặt phẳng
trung trực (P) của đoạn thẳng
AB, với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3)
Lập phương trình (Q) đi qua A(0; 4; 2) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm: C(2; 1; 1), D(1; 0; 3)
Bài tập 2
ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
(tiÕt 1)
II Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
1, Định nghĩa:
2, Các trường hợp riêng:
Cho (α): Ax + By + Cz + D = 0, (A B C2 + + ≠2 2 0)
I Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Trang 10(α) đi qua gốc tọa độ
O
x
α
y
z
0
(α) song song hoặc chứa trục Ox
z
y
O
i
α
x
α
O
y
z
E
(α): Ax + Cz + D = 0
(α) song song hoặc chứa trục Oy
z
y
O
k
x
α
(α): Ax + By + D = 0
(α) song song hoặc chứa trục Oz
Vec tơ pháp tuyến của (α) là: n(0; B; C) vuông góc với véc tơ i(1; 0; 0)
Trang 11(α): By + D = 0
z
y
O
x
α
- D
B
(α) song song hoặc trùng (Oxz)
(α): Cz + D = 0
- DC α
z
(α) song song hoặc trùng (Oxy)
(α) song song hoặc trùng (Oyz)
α
- DA x
O
y z
(α): Ax + D = 0
Trang 12ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
(tiÕt 1)
II Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
1, Định nghĩa:
2, Các trường hợp riêng:
Cho (α): Ax + By + Cz + D = 0 (1) (A2 + B2 + C2 ≠ 0)
(2) gọi là phương trình của mặt
phẳng (α) theo đoạn chắn
Nếu A , B , C , D ≠ 0 có: ( ) 1 x y z 1 ( ) 2
a b c
b
a
c C
B
A
y
z
Chú ý: Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
thì (ABC) có phương trình dạng (2)
Trang 131 2 3
Trang 14ph ¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
(tiÕt 1)
2) Các bài tập: 1, 2, 4, 5, trang 80 - SGK
1) Đọc tiếp các phần còn lại của bài:
“ Phương trình mặt phẳng”.
Củng cố kiến thức:
- Nắm được định nghĩa: vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, phương trình tổng quát của mặt phẳng
-Biết cách tính: tọa độ tích có hướng của hai vectơ
-Biết cách tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, điểm
thuộc mặt phẳng khi biết phương trình tổng quát
-Biết cách lập phương trình tổng quát của mặt khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ pháp tuyến
Bài tập về nhà:
Trang 16Bài tập trắc nghiệm
Hãy chọn câu trả lời đúng?
A) (3; -2; -1) C) (-5; 3 ; -2) B) (3; 2; - 1) D) (-1; 2; 3)
1 Tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: 3x + 2y – z + 2010 = 0 là:
Trang 17Bài tập trắc nghiệm
Hãy chọn câu trả lời đúng?
A) M(2; 1; 1) C) N(1; 2; 3) B) P(11; 5; 7) D) Q(2; -5; 3)
2 Mặt phẳng: 2x – y + z – 12 = 0 đi qua điểm:
Trang 18Bài tập trắc nghiệm
Hãy chọn câu trả lời đúng?
A) - x + y + 3z - 2 = 0 C) x – 2y – 4z = 0
B) x – y – 2z – 9 = 0 D) 2x – 2y + z - 5 = 0
3 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2; 1; 1) có vectơ pháp tuyến n(-1; 1; 3) là:
Trang 194 Phương trình mặt phẳng đi qua: A(3; 0; 0), B( 0; 1; 0), C(0; 0; 2) là:
A) 3x – 5y – z – 3 = 0
B) – 3x + 2y + 3z = 0
C) 2x + 6y + 3z - 6 = 0 D) 2x – 3y + 1 = 0
Bài tập trắc nghiệm
Hãy chọn câu trả lời đúng?
sai Đúng