skkn một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12... Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháp tọa độ,

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

LỚP 12

Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, véctơ, phương pháp tọa độ, giải tích thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc

Đứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở

ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu Được sự động viên, giúp đỡ của các thầy trong hội đồng bộ môn Toán của sở GD, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp trong tổ Toán – Tin học trường THPT Trần Phú Tôi đã mạnh dạn viết

chuyên đề “ Một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12”

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA

ĐỀ TÀI

1 Thuận lợi

- Kiến thức đã được học, các bài tập đã được luyện tập nhiều

- Học sinh hứng thú trong tiết học, phát huy được khả năng sáng tạo,

tự học và yêu thích môn học

- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh khi thực hiện chuyên

đề

- Được sự động viên của BGH, nhận được động viên và đóng góp ý

kiến cuả đồng nghiệp

2 Khó khăn

- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập

- Nhiều học sinh bị mất kiến thức cơ bản trong hình học không gian,

không nắm vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp độ trong không gian

- Đa số học sinh yếu môn hình học

3 Số liệu thống kê

Trong các năm trước, khi gặp bài toán liên quan đến Cực trị trong hình học số lượng học sinh biết vận dụng được thể hiện qua bảng sau:

Không nhận biết được

Nhận biết, nhưng không biết vận dụng

Nhận biết và biết vận dụng ,chưa giải được hoàn chỉnh

Nhận biết và biết vận dụng , giải được bài hoàn chỉnh

Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ trong không gian

để giải các bài toán được đặt ra

2 Nội dung

2.1 Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng

a Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của

M lên (α)

- Viết phương trình đường thẳng

MH(qua M và vuông góc với (α))

- Tìm giao điểm H của MH và (α)

· Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với

M qua mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình

chiếu H của M lên (α), dùng công thức trung

điểm suy ra tọa độ M’

b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:

- Viết phương trình tham số của d

- Gọi H Î dcó tọa độ theo tham số t

- H là hình chiếu vuông góc của điểm M

lên d khi u MHr uuuurd = 0

- Tìm t, suy ra tọa độ của H

2.2 C a ́c bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện

cho trước

Bài toán 1: Cho n điểm A 1 , A 2, A n , với n số k 1 , k 2 ,.,k n thỏa k 1 + k 2 + ….+k n =

k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phẳng (α) Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α) sao cho k MA1uuur1 + k MA2uuuur2+ + k MA nuuuurn có giá trị nhỏ nhất

k MA + k MA + + k MA = (k + k + + k )MI = k MIuuuur uuuuur uuuuur uuur uuur

- Tìm vị trí của M khi MIuuur đạt giá trị nhỏ nhất

Giải:

1) Gọi điểm I thỏa uur uur r

IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và I(0; 2; 4) Khi đó uuuurMA + MBuuur = MI + IA + MI IBuuur uuur uuur uur+ = 2 MIuuur có giá trị nhỏ nhất

<=> uuur

MI nhỏ nhất <=> M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d

Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1)r , phương trình tham số d:

ìïíïî

x = 4 + t

y = -1 + t

z = tTọa độ M(t + 4; -1 + t; t), IM = ( t+4; t-3 ; t - 4)uuur khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì IM uuuur r = 0 hay 3t – 3 = 0 <=> t = 1

Ví dụ 1: Cho đường thẳng ( ):x- 4 y+1 z

1) Gọi điểm G thỏa uuur uuur uuur r

GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm của tam giác ABC

và G(0;-2;1)

Ta có uuuurMA + MB MCuuur uuur+ =MG + GA + MG GB MG GCuuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur+ + + =3 uuuur

MG có giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α)

MG nhận r

n = (2; -2; 1) làm vecto chỉ phương

Phương trình tham số MG

ìïíïî

Vậy với M(-2; 0; -2) thì MA + MB MCuuuur uuur uuur+ có giá trị nhỏ nhất

2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa IA -2IBuur uur+3ICuur=0r

Ta có (1- x; -y; 1-z) - 2(-2-x; 1-y; 2-z) + 3(1-x; -7-y; -z) = (0;0;0)

Phương trình tham số MI: 23

232

ìïï

-íï

B -2;1;2 ,C 1;-7;0( ) Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :

2) MA -2MBuuuur uuur+ 3 MCuuur có giá trị nhỏ nhất

-M( thì MA -2MBuuuur uuur+ 3 MCuuur đạt giá trị nhỏ nhất

….+ k n = k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng ( hay đường thẳng) sao cho

Ta có: MA2 + MB2 = (MI + IA) +(MI + IB)uuur uur 2 uuur uur 2

IA + IB +2MI +2MI(IA + IB)

= uuur uur uur =IA + IB +2MI 2 2 2

nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α)

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1; 2; -1),

B(3; 1; -2), C(1; -2; 1) 1) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất

2 ) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2

- MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất

Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp nrα =(1; 2; 2)

Phương trình tham số MI: 3

232

ìïïïíï

+ MB 2 nhỏ nhất khi MI 2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α)

2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa uur uur uur r

IA 2IB MI + 2MI(IA 2 IB)

IA 2IB MI

nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d

Đường thẳng d có vtcp ur =(1; 2;1), phương trình tham số d:

ìïíïî

x = 1+t

y = 2+ 2t

z = 3+ t

M Î Þd M(1 t; 2+ +2t; 3+ ,t) IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3)uuur khi M là hình chiếu

Và MA2 - 2MB2 = (t + 1)2 + (2t + 1)2 +(t + 5)2 – 2[(t - 1)2 + (2t + 3)2+(t +1)2 = - 6t2 – 8t +5

2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa uuur uuur uuur r

GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm tam giác ABC và G(2; 1; 1)

Ta có: MA2 + MB2 + MC2 =(MG + GA) + (MG + GB) +(MG + GC)uuuur uuur 2 uuuur uuur 2 uuuur uuur 2

= GA 2 + GB2 + GC +3MG + 2MG(GA 2 2 uuuur uuur + GB GC)uuur uuur+

điểm A,B không thuộc (α) Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

1 Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < 0 thì A, B nằm về hai phía với (α) Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm của (α) và AB

2 Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 thì A, B nằm về một phía với (α) Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α) Do MA +

MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α) và A’B

Giải:

Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α)

Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB và (α)

Đường thẳng AB qua điểm B, nhận uuurAB=(1; 1;0)- làm vecto chỉ phương Phương trình tham số của AB:

ï = í

-ï =î

Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 2 + t – 2(-t)- 2.2 + 4 = 0

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi

M là giao điểm của A’B với (α)

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) có

phương trình:x – 2y – 2z + 4 = 0 và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm

A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M trên d sao cho

1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất

2 ) MA - MC có giá trị lớn nhất

ï = í

-ï = - +î

Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (α) ứng với t của phương trình

1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0 Û 6t – 3 = 0 hay t =1 H(3 3; ; 0)

Do H là trung điểm AA’ nên

' ' '

A’B có vtcp uuurA'B = (1;0; 3)

-Phương trình tham số A’B:

21

1 3

= +ì

ï =í

ï = î

Ta thấy MA - MC = MA' - MC £A'C

Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α)

Đường thẳng A’C có vtcp uuuurA'C = - - - ( 1; 3; 3)

Phương trình tham số A’C:

ï = í

ï = î

Vậy với ( ;5 5; 5)

4 - 4 - 4

M thì MA - MC có giá trị lớn nhất

Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

1 Nếu d và AB vuông góc với nhau

Ta làm như sau:

- Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d

- Tìm giao điểm M của AB và (α)

- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t

- Tính tọa độ của M và kết luận

ï = í

-ï = +î

qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp ru=(2; 2;1)- và CDuuur=(7;5; 4)

-Ta có r

u.uuur

CD= 14 -10 – 4 = 0 Þ ^ d CD

Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d

(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận ur=(2; 2;1)- làm vecto pháp tuyến

Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0

Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d

D(3; 6; -3) Hãy tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0) Hãy tìm điểm M trên trục Ox

sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Phương trình tham số của Ox: 0

0

y z

=ì

ï =í

ï =î

( ;0;0)

S = MA + MB = (t -3)2+ + +0 4 (t -2)2+ +1 0= (t -3)2+ +4 (t -2)2+1

Ta phải tìm t sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất

Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét các điểm Mt(t; 0) Î Ox và hai điểm

t t

= ÏéêÛ

ê =ë

Bảng biến thiên của hàm số f(t) :

Từ bảng biến thiên suy ra ( ) 7

ï = +í

ï = +î

qua điểm N(1; 2; 1), có vtcp ur= (2; 2;1) và uuurAB = (2;3; 1)

NÎ d 2 là chân đoạn vuông góc chung của hai đường trên

Hay d1 và d2 chéo nhau

2) MÎ d1 và NÎ d2 sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ dài đoạn vuông góc chung của d1 và d2

Phương trình tham số của hai đường thẳng

d1:

5

1 2 11

t t

= + ì

= ì

-ï = + í

ï = + î

y z

62 ' 6 50 0 ' 1 0

1) Chứng minh d1, d2 chéo nhau

2) Tìm điểm MÎ d1 và NÎ d2 sao cho độ dài MN ngắn nhất

2 4 2

t

= + ì

ï = + í

ï = î

y z

và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1)

Tìm điểm M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất

- Tam giác MAB có diện tích S = 1

2 AB.MH đạt giá trị nhỏ nhất khi MH nhỏ

nhất, hay MH là đoạn vuông góc chung của AB và d

Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp ur=(1;1;0)

AB qua A(1; 2; 3) và uuur AB =(0; -2;-2) =- 2uuru1

= ì

ï = + í

ï = + î

x y z

- Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, do đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất

là 2R = MN khi và chỉ khi MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc

chung của d và Ox

= ì

ï = í

ï = î

-x y z

Trong các mặt cầu tiếp xúc

với cả hai đường thẳng d và trục Ox, hãy viết phương trình mặt cầu (S)

có bán kính nhỏ nhất

phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và cách B

một khoảng lớn nhất

Lời giải:

Họi H là hình chiếu vuông góc của B lên mặt

phẳng (α), khi đó tam giác ABH vuông tại H và

khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB Vậy d(B; (α))

lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, khi đó (α) là mặt

phẳng đi qua A và vuông góc với AB

Giải:

(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D

và vuông góc với DI

(α) nhận DIuur =(2; 1; -5) làm vecto pháp tuyến

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách

điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất

Trong các mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α), hãy viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất

trình mặt phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên

mặt phẳng (α), K là hình chiếu vuông góc của A

lên ∆

Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H

≡ K, khi đó (α) là mặt phẳng đi qua ∆ và vuông

góc với AK Hay (α) qua ∆ và vuông góc với

mp(∆, A)

Giải:

Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất khi (α)

đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(ABC)

(1; 1; 1)

-uuur

AB ,uuurAC = - - - ( 2; 3; 2)

(ABC) có véctơ pháp tuyến nr =[uuur uuurAB AC, ]= -( 1; 4; 5)

-(α) có véctơ pháp tuyến uurna =[ ,n ABr uuur]= - - - = -( 9 6; 3) 3(3; 2;1)

Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1) Viết phương

trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn

-1) Chứng minh hai đường thẳng trên song song với nhau

2 ) Trong các mặt phẳng chứa d1, hãy viết phương trình mặt phẳng (α) sao cho khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất

Ta thấy uuru2 = -2uuru1 và M1Ï nên hai đường thẳng song song với nhau d2

2) Xét (α1) là mặt phẳng chứa d1 và d2 thì (α1) có véctơ pháp tuyến

1 =[ , ]=(8; 2; 6)= 2(4;1;3)=2 2

Khoảng cách giữa d2 và (α) là lớn nhất khi (α) phải vuông góc với (α1)

Do đó (α) nhận [ ,uur uuru n1 2]=(8; 11; 7)- - là véctơ pháp tuyến, qua M1(2; 1; -1) Phương trình (α): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = 0

hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α)

Tìm đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ AB

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi

A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong

(α) và vuông góc với AB

Gọi K là hình chiếu vuông góc của

B lên (α) khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi

K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai

điểm A, K

Giải:

Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến uurna = (2; 2;1)

-1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α)

Phương trình BH:

2 2

3 2 5

t

= + ì

ï = í

-ï = + î

Phương trình của ∆:

x+3 y-3 z +3

2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và

vuông góc với AB

∆ có véctơ chỉ phương uuruD = [uuur uurAB n , a] = (16;11; 10)

-Phương trình của ∆:

16 = 11 = 10

x+3 y-3 z +3

-Giải:

Xét mặt phẳng (α) qua C và vuông góc với d, (α) nhận urd =(1; 2; ) 3 làm véctơ pháp tuyến, thì ∆ nằm trong (α)

Do vậy d(D; ∆) lớn nhất khi ∆ nằm trong (α), qua C và vuông góc với CD

∆ có véctơ chỉ phương uuruD =[uuur uurCD n, a]=(1; 8;5)

-Phương trình ∆:

x-2 y+1 z -3

-Giải:

1) Đường thẳng d qua điểm M(2; 0; 0) có vtcp rud =(1;0; -1), MBuuur= -( 2; 2;0)

[uur uuuru MBd, ] = (2; 2; 2) = 2(1;1;1) = 2uurna

(α) đi qua B nhận nuura =(1;1;1) làm véctơ pháp tuyến

Ví dụ 3: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d:

1 0

= + ì

ï = í

ï = î

y

1) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua d và B

2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn nhất

3 ) Viết phương trình đường thẳng ∆2 đi qua B cắt d sao cho khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ nhất

Phương trình tham số AH:

2 1 1

t t

= + ì

ï = + í

ï = - + î

y z

Tọa độ H ứng với t là nghiệm phương trình:

= ì

-ï = + í

ï = î

-x y z

NB AB

2 2

= ì

-ï = + í

ï = î

-x y z

Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), đường thẳng d không

song song hoặc nằm trên (α) và không đi

qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm trên (α),

đi qua A sao cho khoảng cách giữa ∆ và d

là lớn nhất

Lời giải:

Gọi d1 là đường thẳng qua A và song

song với d, B là giao điểm của d với (α)

Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình

chiếu vuông góc của B lên (P) và d1

Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là

BH và BH ≤ BI nên BH lớn nhất khi I ≡ H, khi đó ∆ có vtcp uuurD =[BI nuur uur, a]

ï = +í

ï = î

Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d

Phương trình tham số đường thẳng d1:

1

1 21

t

= - +ì

ï = +í

ï = î

ï =í

ï = î

Phương trình tham số đường thẳng ∆1:

1 21

2 3

t

= +ì

ï = - +í

ï = î

song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng d sao cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất