Nếu chất lỏng là chất lỏng thực thì vận tốc trong dòng một chiều hữu hạn sẽ là vận tốc trung bình trên tiết diện ướt.. 9.3 - Phương trình Ơle thuỷ động Trong chất lỏng lý tưởng chuyển đ
Trang 1-
x v
⋅
dx x
v
v x x ⋅
∂
⋅
∂ +
ρ
Hình 9 - 1
dt dz dy dx x
v m
m
x x
∂
∂
−
=
−
Tương tự đối với trục y,trục z :
dt dz dy dx z
v dm
dt dz dy dx y
v
z y
∂
∂
−
=
∂
∂
−
Khối lượng chất lỏng còn lại trong khối hộp là : dm = dmx + dmy + dmz
dt dz dy dx z
v y
v x
v
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
−
Sự thay đổi thể tích chất lỏng trong khối hộp là do sự thay đổi khối lượng riêng của chất lỏng theo thời gian bởi vì các cạnh của khối hộp cố định (theo định luật bảo toàn khối lượng) Khối lượng chất lỏng trong hộp :
m=ρ.V=ρ.dx.dy.dz Sau thời gian dt sẽ có sự thay đổi :
( )
dt dz dy dx t
dt t
V
∂
∂
=
∂
∂
Sau khi đơn giản các số hạng giống nhau chúng ta có phương trình liên tục:
Trang 2-
( ) 0
0
= +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
v div t
z
v y
v x
v t
z y
x
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
Nếu chất lỏng chuyển động dừng ( =0
∂
∂
t
ρ ) thì :
( ) 0
0
=
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
v div
z
v y
v x
ρ
ρ ρ
ρ
Nếu chất lỏng không nén được (ρ = const) và chuyển động ổn định :
0
0
=
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
v div
z
v y
v x
Phương trìng liên tục viết trong hệ toạ độ trụ (r, ,z) :
( ) ( ) ( )
0
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
r
v r
v r
v t
r r
ρ ρ
trong đó :
dt r
d v dt
dr v dt
dz
;
ε =
=
=
Phương trình liên tục cho dòng nguyên tố chuyển động không dừng chât lỏng nén được :
0
=
∂
∂ +
∂
∂
l
S v t
ρ
(9.14)
- Nếu chuyển động dừng :
const S
v hay
l
S v
=
=
∂
∂
0
ρ
(9.15)
- Nếu chuyển động dừng và chât lỏng không nén được
Trang 3-
( )
const S
v hay l
S
∂
∂
0
Nếu chất lỏng là chất lỏng thực thì vận tốc trong dòng một chiều hữu hạn sẽ là vận tốc trung bình trên tiết diện ướt
9.3 - Phương trình Ơle thuỷ động
Trong chất lỏng lý tưởng chuyển động chúng ta trích một phân tố lỏng có dạng khối hộp với các cạnh là dx , dy , dz (hình 9 - 2).Các lực tác dụng lên phân tố lỏng chuyển động gồm có lực áp, lực khối và lực quán tính
R a
x
p p
∂
∂ +
dx dy
Hình 9 2
Áp suất tác dụng lên các măt khối hộp tại điểm A là : px = py = pz = p ; ở các mặt đối diện áp suất thay đổi một đại lượng bằng :
dz z
p p dy
y
p p dx
x
p
p
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
Thành phần lực áp theo các trục toạ độ là :
Trang 4-
dy dx dz z
p p dy dx p dF
dx dz dy y
p p dx dz p dF
dz dy dx x
p p dz dy p dF
pz py px
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
−
=
Các thành phần lực khối của gia tốc khối R là :
dz dy dx R dF dz
dy dx R dF dz
dy dx R
dF Rx = x.ρ ; Ry = y.ρ ; Rz = z.ρ
Lực quán tính :
dz dy dx a dF dz
dy dx a dF dz
dy dx a
dF ax = x.ρ ; ay = y.ρ ; Ra = z.ρ
Phân tố lỏng cân bằng theo nguyên lý Đalămbe Phương trình cân bằng phân tố lỏng viết theo các trục toạ độ là:
0
0
0
=
− +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
−
=
− +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
−
=
− +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
−
dz dy dx a dz dy dx R dy dx dz z
p p dy
dx
p
dz dy dx a dz dy dx R dx dz dy y
p p dx
dz
p
dz dy dx a dz dy dx R dz dy dx x
p p dz
dy
p
z z
y y
x x
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
hay :
z z
y y
x x
a R x p
a R y p
a R x p
= +
∂
∂
−
= +
∂
∂
−
= +
∂
∂
−
1
1
1
ρ ρ ρ
Các gia tốc ax , ay , az được tính như sau :
Trang 5-
z
v v y
v v x
v v t
v dt
dt t
v dt
dz z
v dt
dy y
v dt
dx x
v dt
dv
a
z
v v y
v v x
v v t
v dt
dt t
v dt
dz z
v dt
dy y
v dt
dx x
v dt
dv
a
z
v v y
v v x
v v t
v dt
dt t
v dt
dz z
v dt
dy y
v dt
dx x
v dt
dv
a
z z z y z x z z
z z
z z z
y z y y y x y y
y y
y y y
x z x y x x x x
x x
x x x
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
=
=
Cuối cùng chúng ta có phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tưởng do Ơle chứng minh năm 1775:
z
p R
z
v v y
v v x
v v t v
y
p R
z
v v y
v v x
v v t v
x
p R
z
v v y
v v x
v v t v
z z z z y z x z
y y z y y y x y
x x z x y x x x
∂
∂
−
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
ρ ρ ρ
1 1
1
(9.16)
hay viết dưới dạng véctơ:
grapp R
v grad v t
v
ρ
1
−
= +
∂
∂
(9.17) Nếu chuyển động dừng thì ta có phương trình :
t
v
ρ
1
−
= +
∂
∂
Nếu chất lỏng chuyển động đều thì chúng ta có phương trình Ơle thủy tĩnh Trong trường hợp này áp suất cũng phân bố theo theo qui luật thuỷ tĩnh Phương trình (9.16) có thể áp dụng cho bài toán chuyển động tương đối Chỉ cần lưu ý rằng gia tốc khối lúc này gồm có gia tốc khối có thế , gia tốc quán tính của chuyển động theo, gia tốc Côriôlít (9.18) sẽ là :
v grad v R a w a cor grapp
ρ
1
− + +
Phương trình Ơle thủy động viết trong hệ toạ độ trụ :
Trang 6-
z
p R
z
v v v r
v r
v v t
v
r
p R
r
v v z
v v v r
v r
v v t
v
r
p R
z
v v v r
v r
v v t
v
r z z z z
r z
r z
r
r r z r r
r r
∂
∂
−
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
−
= +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
ρ ε
ε ρ ε
ρ ε
ε
ε ε ε
ε ε ε ε
ε
1
1
1
trong đó Rz , Rε , Rr là hình chiếu của gia tốc khối lên các trục toạ độ Gia tốc hướng kính gồm có gia tốc quán tính của chuyển động
dt
dv r
và gia tốc quán tính ly tâm
r
vε2
− :
r
v dt
dv
a r r
2
−
=
Gia tốc theo phương thẳng góc với bán kính gồm gia tốc chuyển động theo và gia tốc Côriôlít :
( )
dt
dv r
v v dt
r d r dt
d dt
dr dt
d r dt
dv
aε = ε = ε + ε = ε = r ε + ε
1
2
2 2
ở đây vận tốc hướng tâm
dt
dr
v r = vận tốc vòng
dt
d r
ε =
9.4 - Phương trình Naviê - Stốc
Trong chuyển động của chất lỏng thực xuất hiện ứng xuất tiếp giữa các chất lỏng Đối với dòng một chiều chảy tầng ứng suất tiếp được tính theo công thức Niutơn Trong dòng không gian vận tốc phân tố theo các phương khác nhau sẽ có giá trị khác nhau, nên ứng suất tiếp tương đương sẽ được tính :
Trang 7-
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
=
=
y
v x v z
v y v y
v x v
x y ỹ
xy
y z zy
yz
x y ỹ
xy
µ τ τ
µ τ τ
µ τ τ
(9.21)
Do xuất hiện ứng xuất tiếp nên trong chất lỏng thực áp suất thủy động chỉ hướng vào mặt tác dụng nhưng không thẳng góc với nó Thành phần pháp tuyến của áp suất thủy động được tính theo công thức (8.5) Trong đó áp suất thành phần theo ba phương thẳng góc với nhau là px , py , pz được tính theo công thức :
px = p + σx ; py = p + σy ; pz = p + σz (9.22)
trong đó σx , σy , σz là thành phần bổ sung , p là "áp suất thủy động quy ước"
Xét phân tố lỏng có cạnh là dx , dy , ds và chiều cao là dz ở trạng thái cân bằng (hình 9.3)
vη
η p
dy τ
τyx α
τxy
ξ
Hình 9 - 3
Vì phân tố rất nhỏ, lực khối là tích bậc ba của đại lượng vô cùng nhỏ nên chúng ta có thể bỏ qua Lực mặt tác dụng lên phân tố được tính theo các ứng suất từ (9.21 và 9.22) Chúng ta vẽ thêm hệ
Trang 8-
tọa độ (ξ , η) Trong đó trục song song với cạnh ds trục η thẳng góc với ds Phương trình cân bằng lực theo phương ξ (hình 9 - 3) :
τ.ds dz = τxy (dx dz cos α - dy dz sin α) + py dy dz sin α - px dy dz cos α
Từ (hình 9.3a) ta có dx = ds.cos α , dy = ds.sin α thì phương trình trên được viết thành :
τ = τxy (cos2α - sin2
α ) + ( py - px ).sin α cosα (9.23)
τxy được tính theo (9.21) và τ cũng được tính theo građient vận tốc :
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
=
ξ η µ
Để tính τ theo vy ,vy ta cần xác định
ξ η
η ξ
∂
∂
∂
; theo x , y , vx ,vy Trước hết ta xác định dvξ
y
v dx x
v d
v d
v dv
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
η
ξ
từ (hình 9-3b) ta có quan hệ giữa các vận tốc :
vξ = vx cosα + vy sin α ; v = vx sinα - vy cosα
và quan hệ các tọa độ :
x = ξ cosα + η.sinα ; y = η cosα - ξ sin α (9.26)
Tính dx , dy từ (9.26) rồi thay vào (9.25) và thực hiện phép biến đổi đơn giản ta có
η α α
ξ α
ξ
y
v x
v d
y
v x
v
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
So sánh phương trình này với (9.25) ta có :
Trang 9-
α α
η
ξ ξ
ξ
cos sin
y
v x
v v
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂
lấy đạo hàm
y
v x
v
∂
∂
∂
; từ phương trình tính vận tốc v :
α α α
α
α α α
α α α
η
ξ
cos sin sin
cos
cos sin cos
sin sin cos
2 2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
y
v x
v x
v y
v
y
v y
v x
v x
v v
y x y
x
y x
y x
(9.27)
Thực hiện theo trình tự trên để tính
ξ
η
∂
∂v
Đạo hàm toàn phần dvη :
y
v dx x
v d
v d
v dv
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂ +
∂
∂
η
ξ
Tính dx, dy từ (9.26) rồi thay vào (9.28) và thực hiện biến đổi.Ta có :
η α α
ξ α α
ξ α η
α η η α ξ
α
η η
η η
η η
η
d y
v x
v d
y
v x
v
d d
v d
d x
v dv
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
−
∂
∂ + +
∂
∂
=
cos sin
sin cos
) sin
(cos )
sin
(cos
(9.29)
So sánh (9.28) và (9.29) ta có :
α α
ξ
η η
η
sin cos
y
v x
v v
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
Lấy đạo hàm
y
v x
v
∂
∂
∂
; từ phương trình vận tốc v và thế vào phương trình trên :
Trang 10-
ξ
η
cos sin )
sin cos
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
y
v x
v y
v x
v
(9.30)
Thay (9.27), (9.30) vào (9.24) :
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂ +
−
∂
∂ +
−
∂
∂
y
v x
v y
v x
Kết hợp với (9.21) ta có :
τ τ (cos2α sin2α) 2µ⎜⎜⎝⎛ ∂ ⎟⎟⎠⎞sinα.cosα
∂
−
∂
∂ +
−
=
y
v x
v x y
Thay (9.31) vào (9.23) sau khi đơn giản và chứng minh tương tự cho các hê toạ độ khác Ta có :
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
−
x
v z
v p
p
z
v y
v p
p
y
v x
v p
p
x z z
x
z y y
z
y x x
y
µ µ µ
2 2
2
Từ (9.32) suy ra áp suất thủy động quy ước (8.7) Từ đó suy ra công thức tính các áp suất theo các trục toạ độ :
z
v v
div p
p
y
v v
div p
p
x
v v
div p
p
z z
y y
x x
∂
∂
− +
=
∂
∂
− +
=
∂
∂
− +
=
2
3 2
2
3 2
2
3 2
µ µ
µ µ
µ µ
(9.34)
Từ (9.34) ta có các giá trị bổ sung của áp suất thuỷ động theo phương pháp tuyến trong chất lỏng thực Trong chất lỏng thực ta trích một phân tố lỏng có dạng khối hộp với các cạnh
Trang 11-
dx,dy,dz và được đặt trong hệ tọa độ Oxyz (H 9.4) Phân tố lỏng này chịu tác dụng bởi lực khối lực áp suất theo phương pháp tuyến, lực ma sát là lực quán tính chuyển động Các lực này được tính lần lượt như sau
Thành phần của lực khối :
dFRx = Rx ρ dx dy dz ; dFRy = Ry ρ dx dy dz ; dFRz = Rz ρ dx dy dz
Thành phần của lực quán tính :
dz dy dx a dF
dz dy dx a dF
dz dy dx a
dF ax =− x.ρ ; ay =− y.ρ ; Ra =− z.ρ
Lực áp ï:
dy dx dz z
p dy
dx dz z
p p dy dx p dF
dz dx dy y
p dx dz dy y
p p dx dz p dF
dz dy dx x
p dz
dy dx x
p p dz dy p dF
x z
z z
pz
y y
y y
py
x x
x x
px
∂
∂
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
−
=
∂
∂
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
−
=
∂
∂
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
−
=
Lực ma sát :
dz dy dx y x
dF
dz dy dx z x dF
dz dy dx z y
dx dy dz z dx
dy dz
dx dy y dz
dx dF
yz yz
z
zy xy
y
zî ỹ
zî zî zî
ỹ ỹ ỹ
x
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ +
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂ + +
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂ + +
−
=
τ τ
τ τ
τ τ
τ τ τ
τ τ τ
τ
τ
τ