MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌCI.. Hệ thức lượng trong tam giác.. 4 Các công thức tính diện tích tam giác.. Đường trung trực của 1 đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm và v
Trang 1MỘT SỐ CÔNG THỨC VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC
I Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
a) BA2 = BH.BC (c2 = c’.a) b) CA2 = CH.CB (b2 = b’.a)
c) AH.BC = AB.AC ( a.h = b.c) d) HA2 = HB.HC (h2 = b’.c’)
e) 1 2 12 12
AC AB
AH = + ( 12 12 12
c b
II Hệ thức lượng trong tam giác
a = BC; b = AC; c = AB; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp;
r là bán kính đường tròn nội tiếp; p = (a+b+c)/2: nửa chu vi
C
c B
b A
a
2 sin sin
2) Định lý hàm cos:
a2 = b2 + c2 -2bc.cosA ⇒ cosA =
bc
a c b
2
2 2
b2 = a2 + c2 -2ac.cosB ⇒ cosB =
ac
b c a
2
2 2
c2 = a2 + b2 -2ab.cosC ⇒ cosC =
ab
c b a
2
2 2
3) Công thức tính độ dài đường trung tuyến (AM = ma )
4) Các công thức tính diện tích tam giác
a) S =
2
1
a.ha =
2
1 b.hb =
2
1 c.hc b) S =
2
1 ab.sinC =
2
1 ac.sinB =
2
1 bc.sinA
c) S =
R
abc
4 d) S = p.r e) S = p(p−a)(p−b)(p−c) ( công thức Hê–rông)
5) Một số tính chất trong tam giác:
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến AM, BN, CP là trọng tâm G
AG =
3
2
AM; BG =
3
2 BN; CG =
3
2 CP Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng nối từ một đỉnh đến
trung điểm của cạnh đối diện của đỉnh đó
b) Giao điểm của 3 đường cao là trực tâm H
c) Giao điểm 3 đường trung trực IM, IN, IP là tâm đường tròn ngoại
tiếp (IA = IB = IC = R)
Đường trung trực của 1 đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm và
vuông góc với đường thẳng đó
d) Giao điểm của 3 đường phân giác trong AD, BE, CF của 1 tam giác là
tâm đường tròn nội tiếp K Gọi AT là đường phân giác ngoài của góc A
A
b c
a
h
A
b c
a
ma
4 2
2 2 2
m a = + −
4 2
2 2 2
m b = + −
4 2
2 2 2
m c = + −
S ABC =
2
2
.c a h
b =
A
N
A
N P
I
A
E
T
DC
DB
AC
DC
DB AC
AB =−
TC
TB AC
AB = ⇒
TC
TB AC
AB =
Trong tam giác vuông:
sin = huyen doi ; cos = huyen ke
tan =
ke
doi
; cot =
doi ke
Thần chú: sin đi học, cos khóc hoài, thôi đừng khóc, có kẹo đây
Trang 2BẢNG XÉT DẤU CÁC GÓC PHẦN TƯ
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1) Cos đối (−α và α):
cos(−α) = cosα
sin(−α) = −sinα
tan(−α) = −tanα
cot(−α) = −cotα
2) Sin bù (π−α và α):
sin(π−α) = sinα
cos(π−α) = −cosα
tan(π−α) = −tanα
cot(π−α) = −cotα
3) Phụ chéo ( −
2
π
α và α):
sin( −
2
π
α) = cosα
cos( −
2
π
α) = sinα
tan( −
2
π
α) = cotα
cot( −
2
π
α) = tanα
4) Hơn kém π (π+α và α):
sin(π+α) = −sinα
cos(π+α) = −cosα
tan(π+α) = tanα
cot(π+α) = cotα
5) Hơn kém
2
π
( +
2
π
α và α):
sin( +
2
π
α) = cosα
cos( +
2
π
α) = −sinα
tan( +
2
π
α) = −cotα
cot( +
2
π
α) = −tanα
6) Hàm tuần hoàn:
sin(α + k2π) = sinα
cos
cot
30 0
(I) (II)
0 0 (0)
360 0 (2π) 1
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
2100
45 0
2250
2400
2700
3000
3150
3300
2
3
2 1
2 1
2
31
2
1
− 2
2
−
2
3
−
-1 2
3
−
2
2
− 2
1
−
O -1
Trang 3cos(α + k2π) = cosα
tan(α + kπ) = tanα
cot(α + kπ) = cotα
7) Sáu công thức cơ bản:
a) sin2α + cos2α = 1
b) tanα = α
α
cos
sin
c) cotα =
α
α
sin
cos
d) tanα.cotα = 1
e)
α
2
cos
1
= 1 + tan2α
f) sin2α
1
= 1 + cot2α
8) Công thức cộng:
sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a−b) = sina.cosb − cosa.sinb
cos(a+b) = cosa.cosb − sina.sinb
cos(a−b) = cosa.cosb + sina.sinb
tan(a+b) =
b a
b a
tan tan 1
tan tan
−
+
tan(a−b) =
b a
b a
tan tan 1
tan tan
+
−
Cách nhớ: sin thì sin cos, cos sin
Cos thì cos cos, sin sin dấu trừ
9) Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − 1
=1− 2sin2a =(cosa-sina)
(cosa+sina)
tan2a =
a
a
2
tan
1
tan
2
−
10) Công thức hạ bậc:
sin2a =
2
2 cos
cos2a =
2
2 cos
tan2a =
a
a
2 cos
1
2 cos
1
+
−
11) Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina − 4sin3a
cos3a = 4cos3a − 3cosa
tan3a =
a
a a
2
3
tan 3
1
tan tan
3
−
−
12) Công thức theo t =tan
2
a
:
sina = 2
1
2
t
t
+
cosa = 22
1
1
t
t
+
−
tana = 2
1
2
t
t
−
13) Công thức tích thành tổng:
cosa.cosb=
2
1 [cos(a−b)+cos(a+b)]
sina.sinb=
2
1 [cos(a−b)−cos(a+b)]
sinacosb=
2
1 [sin(a−b)+sin(a+b)]
14) Công thức tổng thành tích:
cosa+cosb = 2cos
2
b
a+ cos
2
b
a−
cosa−cosb= −2sin
2
b
a+
sin 2
b
a−
sina+sinb = 2sin
2
b
a+ cos
2
b
a−
sina−sinb = 2cos
2
b
a+
sin 2
b
a−
tana+tanb =
b a
b a
cos cos
) sin( +
tana−tanb =
b a
b a
cos cos
) sin( −
Cách nhớ: cos cộng cos bằng
hai lần cos cos/ cos trừ cos trừ hai sin sin/sin cộng sin bằng hai sin cos/sin trừ sin bằng hai cos sin// tan mình cộng với tan ta, bằng sin hai đứa chia cos ta cos mình/ tan mình trừ với tan ta, bằng sin hiệu hai đứa chia cos ta cos mình
15) Một số công thức khác:
sina + cosa = 2 sin(a+
4
π )
= 2 cos(a−
4
π
) sina − cosa = 2 sin(a−
4
π )
= − 2 cos(a+
4
π
) sin4a+cos4a = 1 − 2sin2acos2a sin6a+cos6a = 1 − 3sin2acos2a
1 + sin2a = (sina + cosa)2
1 − sin2a = (sina − cosa)2
|asinx + bcosx|≤ a2 +b2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1)Phương trình sinx=a(-1≤a≤1):
• sinx = 0 ⇔ x = kπ
• sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π
• sinx = −1 ⇔ x = −
2
π
+ k2π
• a = ±
2
1
; ±
2
2
; ±
23 và a = sint
sinx = sint ⇔
+
−
=
+
=
π π
π
2
2
k t x
k t x
• a ≠ 0; ±
2
1
; ±
2
2
; ±
2
3
; ±1
sinx= a⇔
+
−
=
+
=
π π
π
2 arcsin
2 arcsin
k a x
k a x
• Phương trình theo độ: π1800
Cách làm toán:
• sinu = −sinv ⇔ sinu = sin(−v)
• sinu = cosv ⇔ sinu = sin(
2
π
−v)
• sinu= −cosv⇔ sinu = −sin(
2
π
−v)
⇔ sinu = sin(v−
2
π
)
2)Phương trình
cosx=a(-1≤a≤1):
• cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ kπ
• cosx = 1 ⇔ x = k2π
• cosx = −1 ⇔ x = π + k2π
• a = ±
2
1
; ±
2
2
; ±
23 và a = cost
cosx = cost ⇔
+
−
=
+
=
π
π
2
2
k t x
k t x
• a ≠ 0; ±
2
1
; ±
2
2
; ±
2
3
; ±1
cosx= a⇔ x x==−arccosarccosa a++k k22ππ
• Phương trình theo độ: π1800
Cách làm toán:
• cosu = −cosv ⇔ cosu = cos(π−v)
Trang 4• cosu = sinv ⇔ cosu = cos(
2
π
−v)
• cosu= −sinv⇔cosu = sin(−v)
⇔ cosu = cos(
2
π
+v)
3)Phương trình tanx= a(a tùy
ỳ):
• a= 0; ±
3
1
; ±1; ± 3 và a = tant
tanx = tant ⇔ x = t + kπ
• a ≠ 0; ±
3
1
; ±1; ± 3
tanx= a⇔ x = arctana + kπ
• Phương trình theo độ: π1800
Cách làm toán:
• tanu = −tanv ⇔ tanu = tan(−v)
• tanu = cotv ⇔ tanu = tan(
2
π
−v)
• tanu= −cotv⇔ tanu = tan(
2
π
+v)
4)Phương trình cotx= a(a tùy ỳ):
• a= 0; ±
3
1
; ±1; ± 3 và a = cott
cotx = cott ⇔ x = t + kπ
• a ≠ 0; ±
3
1
; ±1; ± 3
cotx = a ⇔ x = arccota + kπ
• Phương trình theo độ: π1800
Cách làm toán:
• cotu = −cotv ⇔ cotu = cot(−v)
• cotu = tanv ⇔ cotu = cot(
2
π
−v)
• cotu= −tanv ⇔ cotu = cot(
2
π
+v)
CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
1) Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng
giác có dạng:
asin 2 x + bsinx + c = 0 (1)
acos 2 x + bcosx + c = 0 (2)
atan 2 x + btanx + c = 0 (3)
acot 2 x + bcotx + c = 0 (4)
Đối với phương trình (1) và (2): đặt t = sinx (hoặc
cosx), điều kiện: −1 ≤ t ≤ 1
Đối với phương trình (3) và (4): đặt t = tanx (hoặc
cotx), t ∈R
Sau đó đưa về PT bậc 2 theo t, giải được t, thay t
vào và giải x
Lưu ý: có thể giải được các phương trình có
bậc cao hơn(3, 4 ) theo cách này
2) Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx:
PT có dạng: asinx ± bcosx = c
Điều kiện để PT có nghiệm: a 2 + b 2≥ c 2
Chia 2 vế cho a2+b2 , ta được:
2
2 b
a
a
+ sinx ± a2 b2
b
+ cosx= a2 b2
c
+
Đặt cosα = 2 2
b a
a
b
+ , ta được:
sinxcosα± cosxsinα = 2 2
b a
c
+
⇔ sin(x ±α) = 2 2
b a
c
+
Đây là phương trình cơ bản nên giải được
3) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
PT có dạng: a.sin 2 x+ b.sinxcosx+ c.cos 2 x= d.
• Xét cosx = 0 ⇔ sin2x = 1 thay vào phương trình trên, nếu thỏa ta nhận nghiệm: x =
2
π
+ kπ
• Xét cosx ≠ 0, chia 2 vế cho cos2x, ta được:
atan2x + btanx + c =
x
d
2
cos
⇔ atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x)
⇔ (a − d)tan2x + btanx + c − d = 0 Đây là phương trình bậc hai theo tanx, giải được
4) Phương trình đối xứng của sinx và cosx:
PT có dạng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0
Đặt t = sinx + cosx = 2 sin(x +
4
π )
Điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2
Khi đó: t2= (sinx + cosx)2= sin2x+2sinxcosx+cos2x
= 1 + 2sinxcosx ⇒ sinxcosx =
2
1
2 −
t
Phương trình đã cho thành: bt2 + 2at + 2c − b = 0 Giải pt bậc hai theo t và nhận các nghiệm to thỏa điều kiện, ta có pt: 2 sin(x+
4
π ) = t
o (giải được)
Chú ý:
Nếu pt có dạng: a(sinx−cosx) + bsinxcosx + c = 0
Đặt t = sinx − cosx = 2 sin(x−
4
π )
Điều kiện: − 2 ≤ t ≤ 2
Khi đó: t2= (sinx − cosx)2= sin2x−2sinxcosx+cos2x
Trang 5= 1 − 2sinxcosx ⇒ sinxcosx =
2
1−t2
Thay vào phương trình và giải tương tự như trên
