Tham khảo đáp án: http://www.violet.vn/haimathlx.
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (4,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình
2 3
2
x xy
+ + − =
+ − =
18x+ + 16 4 2x + 5x− = 3 7 4x + 2x− + 2 7 2x + 8x+ 6
Câu II (1,0 điểm)
Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương (m n p; ; ) sao cho mỗi một trong các số
là một số nguyên
Câu III (2,0 điểm)
1 Giả sử a b c, , là các số thực dương thỏa mãn
2012 2012 2012
2010 2010 2010 2011
b +c +a < Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên n sao cho
2011 2010
2 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m ta có bất
đẳng thức
Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H Tiếp tuyến tại B,
C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF
cắt nhau tại điểm S Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng
TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC.
1 Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác DEF và XTY.
2 Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.
Câu V (1,0 điểm)
Kí hiệu chỉ tập hợp các số tự nhiên Giả sử f : → là hàm số thỏa mãn các điều kiện ( )1 0
f > và ( 2 2) ( ( ) )2 ( ( ) )2
f m + n = f m + f n với mọi m n, ∈ Tính các giá trị của f( )2 và (2011)
-Hết -Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Tham khảo đáp án: http://www.violet.vn/haimathlx