Sử dụng phương pháp đánh giá phương pháp bất đẳng thứcđể giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức.. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2 VD3.
Trang 1Sử dụng phương pháp đánh giá (phương pháp bất đẳng thức)
để giải phương trình và bất phương trình chứa căn thức.
PHƯƠNG PHÁP:
+ Nếu phương trình f x( ) =g x( ) thỏa mãn tính chất ( )
x
≥
( ) ( ) f x( ) ( ) M
f x g x
=
+ Để phát hiện ra tính chất f x( ) ≥M g x; ( ) ≤M(∀ ∈x K , ta thường sử dụng kiến thức về bất đẳng thức ) hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
VD1 Giải phương trình x− +2 4− =x x2−6x+11 (1)
HDgiai
+ ĐK: 2≤ ≤x 4 ( với K =[ ]2; 4 )
+ Ta có ( ) 2 ( )2
+ Mặt khác: f x( ) = x− +2 4−x x( ∈K ) ⇒ f2( )x = +2 2 (x−2)(x− ≤ +4) 2 [(x− + −2) (4 x)]=4 + Vì f x( ) (≥ ∀ ∈0 x K nên ) f x( ) ≤ ∀ ∈2( x K)
+ Khi đó (1) ⇔
2
2 6 11 2 6 9 0
3 ( 2) (4 ) 2 ( 2)(4 ) 2
x
+ Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x=3
CHÚ Ý: Có thể dùng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
VD2 Giải phương trình 3x2−7x+ −3 x2− =2 3x2−5x− −1 x2− +3x 4 (1)
HDgiai
+ Ta có (1) ⇔ 3x2−7x+ −3 3x2−5x− =1 x2− −2 x2− +3x 4 (2)
2
2
2
2
2
2 0
6
x
x
− + ≥
K
+ Dùng lượng liên hợp, ta có (2) ⇔ 2 2 4 2 2 3 62
+ Nếu x∈K;x>2 thì (3) 0
(3) 0
VT VP
<
⇒phương trình vô nghiệm
+ Nếu x∈K;x<2 thì (3) 0
(3) 0
VT VP
>
⇒phương trình vô nghiệm
+ Nếu x∈K;x=2 thì VT VP= =0 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=2
VD3 Giải phương trình 3x2 +6x+ +7 5x2+10x+14 4 2= − x x− 2 (1)
HDgiai
Trang 2+ ĐK:
2
2
x
+ Ta có: f x( ) = 3x2+6x+ +7 5x2+10x+14= 3(x+1)2+ +4 5(x+1)2+ ≥ + =9 2 3 5
và g x( ) = −4 2x x− 2 = − +5 (x 1)2 ≤5
2
1
x
x x
+ Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x= −1
VD4 Giải phương trình
2
2 2
6 15
6 18
6 11
HDgiai
+ ĐK:
2
2
6 11 0
6 18 0
x
− + ≠
f x
g x = x − x+ = x− + ≥
+ Khi đó (1) ⇔
2 2 2
6 15
3
6 18 3
VD5 Giải phương trình
2
x
x + x + x− = + x− (1) HDgiai
+ ĐK: 5 3 3 2 3 2 0 2
5
mặt khác ( ) 2 3 1 2 6 1
3
x
x
=
+ Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là x=1,x=3
VD6 Giải phương trình x2+2x+ 2x− =1 3x2+4x+1 (1)
HDgiai
+ ĐK:
2
2
1
2 1 0
2
+ Vì 1
2
x≥ nên (1) được viết lại dưới dạng tương đương sau x x + +2 1 2x− =1 (x+1)(3x+1) (2) + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki vế trái của (2) ta có
Trang 3( )2 ( ) [ ] ( ) ( )
⇒ x x + +2 1 2x− ≤1 (x+1)(3x+1) (3)
+ Khi đó, từ (2) và (3) suy ra
2
1
1
2
1
x
x
x
x
+ Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 1 5
2
x= +
HDgiai
Cách 1 (phương pháp bất đẳng thức )
+ ĐK: x≥0
+ Ta có 2(x2− + =x 1) x2+ −(x 1)2+ > ⇒ −1 1 1 2(x2− + <x 1) 0
+ Khi đó (1) ⇔ 2(x2− + ≤ − +x 1) (1 x) x (2)
+ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki vế phải của (2) ta được
1 x 1 x.1 (1 x) x 1 1 2 x x 1
+ Do đó, từ (2) và (3) suy ra
2 2
0 0
1
1
(1 )
x x
≥
≥
−
= −
+ Vậy bất phương trình (1) có nghiệm là 3 5
2
x= −
Cách 2 (phương pháp cơ bản)
+ ĐK: x≥0
+ Ta có
2
+ Khi đó
(1) ⇔ 2(x2− + ≤ − +x 1) (1 x) x ⇔
2
1 2 1
(2)
+ Ta có:
2
3 1 0
x
x
Trang 41
3 1 0 1
2
x
x
x
≤
− ≥
=
( thỏa điều kiện 0 3 5
2
+ Vậy bất phương trình (1) có nghiệm là 3 5
2
x= −
VD8 Giải bất phương trình 10x2− + ≤x 6 2 2( x+1) 2x2− +x 4 (1)
HDgiai
+ ĐK: 2
x − + =x x +x− + > ∀ ∈x
¡ Do đó bất phương
trình (1) chỉ có thể có nghiệm khi 2x+ ≥1 0
+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2 2x+1 2x − + ≤x 4 2x+1 + 2x − + =x 4 6x +3x+5
3
x
x
=
= −
+ Khi đó (1) ⇔
( )2 2
2
2
x
+ Vậy bất phương trình (1) có nghiệm duy nhất là 1
2
x=
Cách 2
+ ĐK: 2x2− + ≥ ⇔ ∈x 4 0 x ¡
2x − + −x 4 2 2x+1 2x − + +x 4 8x + ≤2 0 ⇔ 2 ( ) 2 ( )2 2
2x x 4 2x 1 2x 1 8x 2 0
2x x 4 2x 1 2x 1 0
2
2 1 0
x
− =