Đặt vấn đề Đối với học sinh THCS, có những bài toán mà nếu không biết sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh thì việc giải bài toán đó sẽ gặp nhiều khó khăn.. Đặc biệt là năm học 20
Trang 1Đặt vấn đề
Đối với học sinh THCS, có những bài toán mà nếu không biết sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh thì việc giải bài toán đó sẽ gặp nhiều khó khăn Bởi vậy khi dạy phần diện tích đa giác, tôi cũng rất quan tâm đến vấn đề này, mỗi khi có điều kiện để nêu ra cho học sinh , tôi đều không bỏ qua Đặc biệt là năm học 2004 – 2005, khi có yêu cầu dạy môn Tự chọn cho học sinh lớp
8 mà tôi được phân công dạy chủ đề “ Phương pháp diện tích trong chứng minh hình học “ thì ý định tập hợp các kinh nghiệm giảng dạy của mình và của các đồng nghiệp , đồng thời tìm tòi bổ sung thêm những dạng bài tập có liên quan tới phương pháp trên lại càng thúc giục tôi
Học sinh THCS đã biết sử dụng công thức diện tích để tính toán vì các em
đã được làm quen từ Tiểu học Nhưng làm thế nào để HS biết sử dụng chúng
để chứng minh thì không đơn giản chút nào Sau đây tôi xin được trình bày một
số kinh nghiệm của mình kết hợp với những vấn đề mình tìm tòi học hỏi được
để “ Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học “
Giải quyết vấn đề
1 -Trước tiên phải cho học sinh hiểu được phương pháp diện tích là
gì và ích lợi của phương pháp này
Ở tiểu học, học sinh đã được học về diện tích các hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác … Các công thức về diện tích các hình nói trên chủ yếu được các em ứng dụng trong việc giải quyết các bài tập tính toán có liên quan
Trang 2các hình này nhưng ở diện rộng hơn và sâu hơn Tới đây, ta cũng cần cho học sinh thấy được ngoài ứng dụng tính toán, các công thức tính diện tích còn cho
ta mối quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng, chúng rất có ích trong một số bài toán chứng minh về đại số cũng như hình học Chẳng hạn :
Sách giáo khoa cũ có những bài toán đề cập đến vấn đề này
Ví dụ 1 :
Sau khi học về hằng đẳng thức bình phương của tổng hay hiệu , có bài toán yêu cầu dùng hình học để chứng minh công thức (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 và (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
a b b
b
a a
Ví dụ 2 : Cho một tam giác vuông cân Chứng minh rằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền
ab b2 ab
a2
b(a-b) b2
(a – b)2
A B
C
b(a-b)
Trang 3Bài toán này là minh hoạ hình học cho định lí Pytago trong trường hợp tam giác vuông cân
Do đổi mới phương pháp dạy học mà sách giáo khoa mới ít đề cập đến vấn
đề này hơn Nhưng không có nghĩa là vấn đề này không phù hợp với yêu cầu mới , bởi vì nó cũng được đưa vào nội dung của môn học tự chọn Vậy đây cũng là một phần kiến thức mà học sinh cần tham khảo để bổ sung , hỗ trợ cho việc học tập của các em được tốt hơn
Vì thế , sau khi học sinh được học tính chất của diện tích đa giác , công thức tính diện tích hình chữ nhật và hình vuông , ngoài các bài tập ở SGK , tôi vẫn đưa các bài tập trên cho HS tham khảo thêm
Bài 1 : Trên hình vẽ, các tứ giác ABCD, IOKD, MNPQ, IGHQ là các hình vuông Bằng công thức tính diện tích hình vuông và hình chữ nhật, em hãy chứng minh các hằng đẳng thức (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 và (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
a b b
a
Bài tập này không bắt buộc tất cả học sinh phải làm Những học sinh nào làm được sẽ được tính điểm vào cột điểm của môn học Tự chọn Sau đó có thể giới thiệu thêm cho học sinh biết : Từ thời cổ, nhờ công thức diện tích mà người
ta khám phá ra công thức bình phương của tổng hay hiệu nói trên Phương pháp dùng công thức diện tích để chứng minh gọi là phương pháp diện tích Đây cũng
là một phương pháp góp phần thúc đẩy sự phát triển toán học thời cổ
Như vậy , học sinh đã được tiếp cận với phương pháp diện tích Để củng
P
G
F
B
Trang 4Bài toán 2 : Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM Hãy giải thích vì sao ta có đẳng thức : AB OM = OA OB
A
M
O B
GV gợi ý cho học sinh : Viết công thức tính diện tích tam giác AOB theo
hai cách
Học sinh trình bày được lời giải :
SAOB = 12 OA OB = 12 OM AB ⇒ AB OM = OA OB
GV giới thiệu : Để chứng minh được hệ thức AB OM = OA OB , ta
đã sử dụng phương pháp diện tích
2 - Sau khi cho học sinh tiếp cận với phương pháp diện tích như nêu ở trên
, tôi đưa ra một số bài tập cho học sinh tham khảo và luyện tập với yêu cầu dần
dần cao hơn Nhưng thời gian giảng dạy chính khoá ở trên lớp không có nhiều
để giành cho công việc này, nên tôi phải hướng dẫn cho học sinh tự học là chủ yếu bằng cách phát cho các nhóm học sinh phiếu học tập trong đó có ghi sẵn nội dung bài tập và hệ thống câu hỏi dẫn dắt để học sinh tự tổ chức thảo luận nhóm
ở nhà Sau đó hoàn chỉnh bài giải bằng cách điền khuyết
a - Phiếu học tập số 1
Nội dung bài tập và gợi ý cách giải Điền vào chỗ trống để có lời giải hoàn
chỉnh
Trang 5Bài 3: Bài 51 trang 132 SBT Toán 8
tập I
Cho tam giác BAC với ba đường cao
AA’, BB’, CC’ Gọi H là trực tâm của
tam giác đó Chứng minh rằng :
1 '
' '
'
'
CC
HC BB
HB
AA
HA
Phân tích : AA’, BB’,CC’đều là các
đường cao của tam giác ABC HA’,HB’,
HC’ lần lượt là ba đường cao của các
tam giác HBC , HAC, HAB Như vậy
ta phải tìm ra mối quan hệ về độ dài của
chúng thông qua công thức tính diện
tích tam giác
C A C’ B’
H
Hệ thống câu hỏi dẫn dắt
1)Viết công thức tính diện tích của các
tam giác HBC; HAC ; HAB, ABC
SHAC = ; SHBC =
SHAB = ; SABC =
2)Tìm mối quan hệ giữa các tỉ số
'
'
;
'
'
;
'
'
CC
HC
BB
HB
AA
HA
với công thức diện tích của các tam giác nói trên
Các tỉ số
'
'
; '
'
; '
'
CC
HC BB
HB AA
HA
lần lượt bằng
tỉ số của diện tích hai tam giác nào ?
3) Viết hệ thức biểu thị mối quan hệ về
diện tích của 4 tam giác nói trên
4) Biến đổi tổng
= +
+
ABC
HBC ABC
HAC
ABC
HAC
S
S S
S
S
S
? dẫn đến điều phải chứng minh
SHAC = ; SHBC =
SHAB = ; SABC =
=
ABC
HAC
S S
=
ABC
HAB
S S
=
ABC
HBC
S S
SHAC … SHBC … SHAB …SABC
= +
+
ABC
HBC ABC
HAB ABC
HAC
S
S S
S S
S
………
Trang 6M đên 3 cạnh của tam giác không phụ
thuộc vào vị trí của điểm M
Phân tích : Các khoảng cách MH,
MI,MK đến các cạnh của tam giác lần
lượt là đường cao của các tam giác
MBC , MAB, MAC Như vậy ta phải
tìm ra mối quan hệ về độ dài của chúng
thông qua công thức tính diên tích tam
giác
Hướng dẫn giải :Dựa vào hình vẽ
-Viết công thức tính diện tích của tam
ABC với đường cao là h và độ dài mỗi
cạnh là a : SABC =
- Viết công thức tính diện tích của các
tam giác MBC; MAC ; MAB với AB =
AC = BC = a và các đường cao lần lượt
là MH , MK , MI
- Viết biểu thức biểu thị mối liên hệ
giữa diện tích của ba tam giác nói trên
và diện tích của tam giác ABC
- Suy ra MH + MI + MK bằng đại
lượng không đổi nào ?
* Nếu điểm M thuộc cạnh BC và tam
giác ABC cân tại A thì ta cũng chứng
minh tương tự
h I K
C
B H C
Tam giác ABC là tam giác đều cho trước Gọi độ dài mỗi cạnh là a ( AB =
AC = BC = a) và đường cao là h không đổi
* SABC = (2)
SMAC = ; SMBC =
SMAB =
* SABC … SMAC … SMBC … SMAB
= ………… (1)
Từ (1) và (2) suy ra :
MH + MI + MK = không đổi Vậy tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác
b- Phiếu học tập số 2 : Trong phiếu này , HS đọc kĩ phần nội dung bài
tập và gợi ý cách giải rồi tự hoàn chỉnh bài giải GV có thể chấm điểm một
trong hai bài mà HS chọn và cho vào cột điểm Tự chọn để khuyến khích học
sinh tham gia
Nội dung bài tập và gợi ý cách giải Bài giải hoàn chỉnh
Bài 5: Cho tam giác cân ABC M là
một điểm thuộc BC Từ M , kẻ ME và
MF lần lượt vuông góc với AB và AC (
E thuộc AB , F thuộc AC ) Chứng
a M
Trang 7minh tổng ME + MF không phụ thuộc
vào vị trí của điểm M trên BC
Hướng dẫn giải :Dựa vào hình vẽ
-Viết công thức tính diện tích của tam
ABC với đường cao là ứng với cạnh
bên bằng CK = h và độ dài mỗi cạnh
bên là AB = AC a SABC =
- Viết công thức tính diện tích của các
tam giác MAC ; MAB với các đường
cao lần lượt là MF, ME
- Viết biểu thức biểu thị mối liên hệ
giữa diện tích của hai tam giác nói trên
và diện tích của tam giác ABC
- Suy ra MF+ ME bằng đại lượng
không đổi nào ?
A
K
E F
B C M
HS tự trình bày
Ví dụ 5 : Các điểm E , F nằm trên các
cạnh AB , BC của hình bình hành
ABCD sao cho AF = CE Gọi I là giao
điểm của AF và CE Chứng minh
rằng ID là tia phân giác của góc AIC
Hệ thống câu hỏi dẫn dắt
1) Khi nào thì ID là tia phân giác của
góc AIC?
- Có hai phương án trả lời :
1) A IˆD=C IˆDvà tia ID nằm giữa hai tia
IA, IC
Hoặc :
2) Điểm D … hai cạnh IA và IC
- Chứng minh theo phương án 1 sẽ rất
khó khăn Ta thử chọn phương án thứ
hai để chứng minh
Vẽ thêm DH và DK lần lượt vuông góc
với IA và IC Ta phải chứng minh
DK = DH
2) Làm thế nào để chứng minh DK =
DH ?
- Việc chứng minh sẽ rất khó khăn
nếu không biết sử dụng phương
A B
H
I
K F
D C
Vẽ DH và DK lần lượt vuông góc với IA
và IC (H , K lần lượt thuộc FA ,
CE )
SADF = …… SCDE = …… (1) Tam giác ADF và hình bình hành ABCD có chung đáy … và có chiều cao tương ứng bằng nhau ⇒ SADF = ….SABCD (2)
Tam giác DCE và hình bình hành ABCD
có chung đáy … và có chiều cao tương ứng bằng nhau⇒ SCDE = …….SABCD (3)
Từ (3) và (2) suy ra ……….( 4) Lại có AF = CE ( gt) (5)
E
Trang 8bằng nhau của hai tam giác nào ?
- Dẫn đến việc cần thiết phải chứng
minh SADF = SCDE
- Để có kết quả đó , ta phải so sánh
diện tích của hai tam giác nói trên với
diện tích hình bình hành ABCD
- Tới đây , HS có thể tự trình bày lời
giải
Do đó ID là ………… của góc AIC
3) Sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh định lý Ta lét trong
tam giác.
Sách giáo khoa Toán 8 đã cho HS thừa nhận , không yêu cầu chứng minh định lí Talét Đối với những HS khá và giỏi có nhu cầu tìm hiểu , nâng cao thêm kiến thức, tôi phát cho mỗi nhóm học sinh phiếu học tập số 3 để học sinh
về nhà tự thảo luận theo nhóm và hoàn chỉnh bài giải
c- Phiếu học tập số 3
Đề bài và nội dung cần thảo luận Điền vào chỗ trống để có lời giải hoàn
chỉnh
Cho tam giác ABC D và E lần lượt
thuộc các cạnh AB và AC Chứng
minh rằng nếu DE // BC thì
AC
AE AB
AD =
- Viết công thức tính SDBE và SCED
- Khi DE // BC, hãy so sánh BH và CK
; SDBE và SCED ; SAEB và SADC
- Từ đó so sánh tỉ số
ABC
AEB S
S
và tỉ số
ABC
ADC
S
S
Vẽ BH và CK vuông góc với DE
SDBE = …
SCED = …
DE // BC ⇒ BH … CK ( Bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
DE và BC )
⇒SDBE ….SCED
⇒SDBE +… = SCED+…
⇒SAEB = SADC
⇒
ABC
ADC ABC
ABE S
S S
S = (1)
∆AEB và∆ABC có chung đường cao xuất phát từ đỉnh B nên
A
E D
Trang 9- Tìm mối liên hệ của các tỉ số trên với
các tỉ số
AC
AE
và
AB AD
=
ABC
AEB S
S
(2)
∆ADC và∆ABC có chung đường cao xuất phát từ đỉnh C nên
=
ABC
ADC S
S
(3) Kết hợp ( ),(…) và … suy ra
AC
AE AB
AD =
4) Khuyến khích HS về nhà tự tìm bài toán sử dụng phương pháp
diện tích để chứng minh
Cũng còn những dạng bài tập khác nữa, nhưng tôi chỉ dừng lại ở những ví
dụ nêu ở trên Tôi nghĩ rằng như thế cũng tạm đủ để HS tiếp cận và biết cách giải quyết Nếu HS có khả năng tìm tòi thêm thì tôi vẫn khuyến khích
Kết thúc vấn đề
1 - Hiệu quả : Sau khi thấy được các công thức diện tích không phải chỉ
để tính diện tích mà chúng còn rất có ích để giải nhiều bài toán chứng minh
khác , học sinh rất thích thú, nhất là khi các em tự mình giải được bài tập theo phương pháp nói trên Qua đó, nó giúp học sinh vững tin hơn khi vận dụng kiến thức một cách sáng tạo để giải bài tập theo nhiều phương pháp khác nhau Nó góp phần đáp ứng yêu cầu mới hiện nay, giúp cho HS học tập một cách năng động hơn, khả năng ứng dụng phong phú hơn Nó góp phần làm cho số lượng học sinh yêu thích môn Toán ngày càng tăng lên Sự yêu thích bộ môn giúp các
em thêm tích cực học tập và tiến bộ hơn Kết quả thể hiện (điểm Tự chọn ) : Năm học Số HS tham gia Giỏi Khá TB Yếu
2007 - 2008 83/426 55 66,3 23 27,7 5 6 0
Trang 10Đây là một phương pháp suy luận khó đối với diện đại trà nên SGK có đề cập nhưng lượng bài tập giành cho vấn đề này còn ít Nếu vì lí do trên mà trong quá trình giảng dạy GV cũng lướt qua thì rất thiệt thòi cho đối tượng HS khá giỏi , vì thực tế cho thấy có những bài toán nếu không sử dụng phương pháp này thì việc chứng minh sẽ rất khó khăn Ngoài các bài tập nêu trên còn có một số dạng khác nữa nhưng thời gian trên lớp không cho phép GV hướng dẫn học sinh
kĩ hơn về phương pháp này Bởi vậy nếu không tổ chức được một hình thức học tập thích hợp thì không thể khuyến khich được HS tích cực tự giác tham gia tự học , tự rèn bổ sung kiền thức, hỗ trợ thêm cho việc tiếp thu bài trên lớp tốt hơn
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ bé mà tối rút ra được trong quá trình giảng dạy Nó đã góp phần giúp tôi hoàn thành nhiệm vụ giảng dạy trên lớp cũng như công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trong những năm qua có kết quả tốt đẹp Tôi xin mạn phép được trình bày và kính mong được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong hội đồng giám khảo và các bạn đồng nghiệp Chắc chắn rằng trong bài viết của tôi cũng còn nhiều thiếu sót Rất mong được quí thầy cô góp
ý , bổ sung để bản thân tôi được học hỏi nhiều hơn và hoàn thiện hơn trong công tác giảng dạy Xin chân thành cám ơn