Bài 1: (Đề khối B) Cho a,b,c không âm thoả mãn a+b+c=1 Tìm GTNN của:
P= a b +b c +c a + ab bc ca+ + + a + +b c
Giải Đặt t=ab+bc+ca Theo BĐT (a b c+ + ) 2 ≥ 3(ab bc ca+ + ) suy ra 0 1
3
t
3(a b +b c +c a ) ( ≥ ab bc ca+ + ) =t
Do đó 2
3 2 1 2
P t≥ + +t − t
Xét hàm 2
( ) 3 2 1 2
f t = + +t t − t với 0 1
3
t
Ta có '( ) 2 3 2 (2 3) 1 2 2
f t t
− − ; f t'( ) 0= ⇔(2t+3) 1 2− t =2 (1)
Đặt u= 1 2 − t thì 1 1
3 ≤ ≤u , pt (1) trở thành: u3 − 4u+ = 2 0 (2)
Dễ chứng minh được u3 − 4u+ < 2 0 với mọi 1 1
3 ≤ ≤u , do đó (2) vô nghiệm, tức là (1)
vô nghiệm
Từ đó suy ra ngay f t'( ) 0 > với mọi 0 1
3
t
≤ ≤
Do đó f t( ) ≥ f(0) 2 = Vậy minP=2 khi chẳng hạn a=b=0 và c=1.