Chương II: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ TRONG ĐƯỜNG TRÒN pps

d 2.ĐỊNH LÝ:Tích vô hướng của hai vectơ ,a b  bằng tích vô hướng của a và hình chiếu của b trên đường thẳng chứa a... VD:Cho hai điểm A,B cố định.Tìm quỹ tích những điểm M thoả đk:

CHƯƠNG II: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ TRONG ĐƯỜNG

TRÒN.

BÀI 1: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC BẤT KỲ.

NỘI DUNG I/MỞ ĐẦU:

C Sin  =AC

BC

Cos  = AB

BC

A B

tg =AC

AB

cotg = AB

AC

II/TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (00  180 )0 :

Trên hệ toạ độ Oxy cho A(1;0),B(0;1),A’(-1;0)

Xét nửa đường tròn đk AA’ đi qua B được gọi là nửa đường tròn đơn vị

Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc AOM= 

M có toạ độ M(x;y)

ĐỊNH NGHĨA:

*Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc  ,KH:sin

Viết sin =y

*Hoành độ x của điểm M gọi là cosin của  ,KH:cos , viết cos =x

*Tỷ số (y x x0)gọi là tang của góc  ,KH:tg , viết tg =y x

*Tỷ số (x y y0) gọi là cotang của góc  ,KH:cotg , viết cotg =x y

Ví dụ:

a)Tính sin  , =300

Đặt AOM =300,Gọi M1,M2 lần lượt là hchiếu của M xuống Ox,Oy

Xét tam giác MM1O,ta có đó là nửa tam giác đều có cạnh bên bằng 1,nên MM1=1/2

Vậy sin 300

= 2 1

1 2

Tương tự Hs tính Cos 300,tg300,cotg300

II/TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ GÓC CẦN NHỚ:

góc 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180

0

Sin 0 1

2

2 2

3 2

2

2 2

1 2

0

2

2 2

1 2

0

-1

2  22  23

-1

3

3

0

3

3



IV/DẤU CỦA CÁC TỶ SỐ LƯỢNG GIÁC:

 sin   0, 

 00 900  0 cos 1

 900  1800   1 cos0

 Các tỷ số tg và cotg ,nếu khác không thì chúng cùng dấu với cos

CÁC HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC

NỘI DUNG I.CÁC HỆ THỨC CƠ BẢN:

1.ĐỊNH LÝ:Với mọi góc  ta đều có:

a)Nếu Cos 0 thì sin (1)

cos



 b)Nếu Sin  0 thì c cos (2)

sin



 c)sin2 +cos2 =1 (3)

CM:SGK

2.VD:

Cho tgx+cotgx=2.Tính sinx.cosx=?

Giải:Tacó:

sin cos sin cos cot

cos sin sin cos 1

sin cos





Mà tgx+cotgx=2 nên ta được sinx.cosx=1/2

II.CÁC HỆ THỨC KHÁC:

1.ĐỊNH LÝ:

Nếu cos  0 thì 2

2

1 1

cos

tg 



  (4)

Nếu sin  0 thì 2 2

1

1 cot

sin

g 



tg  cotg  =1 (6)

CM:SGK

2.VD:Đơn giản biểu thức:

2

2

2cot

1 cos 1 cos

1 cos 1 cos

2cot (1 cos )(1 cos )

g







Vậy A=2

III.LIÊN HỆ GIỮA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC BÙ NHAU:

Hai góc  và (1800

-  ) là hai góc bù nhau.Ta có:

Sin(1800

-  )=sin

Cos (1800-  )=-cos

tg(1800-  ) =-tg

cotg(1800-  ) =-cotg

IV.LIÊN HỆ GIỮA TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU:

Hai góc  và (900

- ) là hai góc phụ nhau.Ta có:

Sin (900- )=cos

Cos (900- )=sin

tg(900- )=cotg

cotg(900- )=tg

VD:

1.Tính :

A=cos 200cos 400cos 600 cos160 0cos1800

=Cos(1800-1600)+cos(1800-1400)+…+Cos 1600+cos1800

=-cos1600-cos1400+…+cos1600+cos1800=-1

Vậy A=-1

2.Cho tam giác ABC.CMR: sin cos



Ta có A+B+C=1800 nên 900

2

A B C 



0

90

0

2

C

(đpcm)

BÀI: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

NỘI DUNG I/GÓC CỦA HAI VECTƠ:

1.ĐỊNH NGHĨA:Cho hai vectơ ,a b  khác 0.Từ 1 điểm O ta vẽ OA a OB b                ,  

.Khi đó số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ ,a b ,hay gọn hơn :Góc giữa hai vectơ ,a b 

Kh:a b , 

2.CHÚ Ý:

a b , =00  acùng hướng b

a b ,  =1800 a  ngược hướng b.

a b , 

=90

0

 a vuông góc b

a b ,  tuỳ ý nếu a  hoặc blà 0.

II/TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ:

1.ĐỊNH NGHĨA:Tích vô hướng của hai vectơ a,b là 1 số.KH: a.b

Tính theo công thức: a b  a b cos ,a b 

Tích vô hướng a a  được gọi là bình phương vô hướng của a.KH: a2

Ta có:a2 a a . a a cos 00 a2

2.CHÚ Ý:

a b , =00  a.b= a b 

a b ,  =1800 a  b=- a b 

a b , 

=90

0

 a b=0

3.VÍ DỤ:Cho tam giác ABC đều cạnh a

Tính:    AB AC AC CB ,

Giải:

cos ,  cos 600 2

2

a

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

2 0

.cos 60

2

a

a a

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

III/CÔNG THỨC HÌNH CHIẾU:

1)ĐỊNH NGHĨA: Cho a AB



và đường thẳng d.Gọi A’,B’ là hình chiếu của A và B trên d.Khi đó ' ' '

a A B



gọi là hình chiếu của a trên d

d

2.ĐỊNH LÝ:Tích vô hướng của hai vectơ ,a b  bằng tích vô hướng của a và hình chiếu của b trên đường

thẳng chứa a

CM:Trên đường thẳng chứa vectơ a lấy điểm O,dựng OA a OB b , 

   

.Gọi B’ là HC của B trên đường thẳng chứa OA

Khi đó OB ' là hchiếu của OB b

 

trên đường thẳng chứa a

Ta có OA OB,  AOB 

 

Th1: 900

Th2:  900

IV/ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG:

1.ĐỊNH LÝ:

Với mọi vectơ , ,a b c   và một số k ta có:

) i a b b a   (Giao hoán)

ii a b c)     a b a c     (Phân phối)

iii ka b k a b)     

  (Kết hợp) CM:SGK

2.VÍ DỤ:

1.CM:a b  2 a2b22 a b 

Giải: VT a b a b        a a b     b a b   

a a a b b a b b a           2b22 a b 

4.Cho tam giác cân đỉnh A và đường cao AH.Gọi D là hchiếu vuông góc của H trên Ac,M là trung điểm

HD CMR: AM BD

Giải:

A

D M

Ta có: 2AM AH AD   ;BD BC CD 

Do đó:2              AM BD   AH AD BC CD     

AH CD AD BC AD CD

AH CD AD HC AD CD

AD CD AD DC AD CD

AD CD DC

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

  

V/ BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG:

ĐỊNH LÝ: Nếu trong hệ toạ độ Oxy cho hai vectơ a x y 1; 1 ;b x y 2; 2 thì tích vô hướng của chúng được tính theo công thức:

a b x x   1 2y y1 2

CM:

Ta có: 1 1

2 2

a x i y j

b x i y j

Vậy a b  (x i y j x i y j1 1)( 2 2)x x1 2y y1 2

CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC.

NỘI DUNG I/ĐỊNH LÝ COSIN TRONG TAM GIÁC:

B

A

C

1.ĐỊNH LÝ:Với mọi tam giác ABC ta có:

a2=b2+c2-2bcCosA (1)

b2=a2+c2-2acCosB (2)

c2=a2+b2-2abCosC (3)

CM:

Vì: BC AC AB 

  

Nên :

2 2

2 cos

Vậy ta có đpcm

*Các công thức còn lại cm tương tự

2.VD:Cho tam giác ABC ,BC=8,AB=3,AC=7 Lấy D thuộc BC sao cho BD=5.AD=? Giải:

Trong ABC ta có:

CosB=1/2 hay B=600(Ap dụng đlý hàm số cosin)

Trong ABD ta có:

AD2=AB2+BD2-2.AB.BD.cos600=19

Vậy AD= 19

II/ĐỊNH LÝ SIN TRONG TAM GIÁC:

1.ĐỊNH LÝ:Trong ABC ,R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác,ta có:

sin sin sin

R

CM:(SGK)

a

B

A

C O

A'

2.VD: Cho tgiác ABC có b+c=2a.CMR:

2sinA=sinB+sinC

Giải:

2 2 sin 2 sin 4 sin

sin sin 2sin

III/CÁC CÔNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH:

Ta có các công thức tính diện tích sau:

     

(5)

(7) 4 (8)

ABC

ABC

ABC

ABC

abc S

R















Với *R là bk đường tròn ngoại tiếp tam giác

*r là bk đường tròn nội tiếp tam giác

*p là nửa chu vi tam giác ABC

VD: Cho tam giác ABC với a=13,b=14,c=15

1)Tính dtích tam giác ABC

2)r=?,R=?

Giải:

2

a b c

p    (đvđd)

      84

ABC

S=pr r S 4

p

   (đvđd)

65

IV/CÔNG THỨC ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN:

Ký hiệu ma,mb,mc là độ dài đường trung tuyến lần lượt kẻ từ A,B,C.Ta có:

ĐỊNH LÝ:Trong mọi tam giác ABC ta đều có:

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

(10)

(11)

(12)

a

b

c

m

m

m







CM:Gọi AM=ma.

Ta có:b2+c2=AC2AB2  AM MC   2 AM MB 2

=2AM2+MC2+MB2+   2 2

2

a

a

  

Từ đó ta suy ra đpcm

*Các đẳng thức khác cm tương tự

VD:Cho hai điểm A,B cố định.Tìm quỹ tích những điểm M thoả đk: MA2+MB2=k2 (k là một số cho trước)

Giải:

Giả sử có điểm M thoả đk đề bài.Gọi O là trung điểm AB,thì OM là trung tuyến tam giác MAB nên:

 

2 2 2

2 2

1

1

2

4

*Nếu 2k2>AB2 thì OM=1  2 2

2

2 k  AB Khi đó quỹ tích M là đtròn tâm O,bk r=1  2 2

2

2 k  AB .

*Nếu 2k2=AB2 thì OM=0 hay M trùng O

*Nếu 2k2<AB2thì quỹ tích là tập rỗng

BÀI: GIẢI TAM GIÁC - ỨNG DỤNG THỰC TẾ.

NỘI DUNG BÀI TOÁN 1: Cho tam giác ABC biết a=17,4;B=44030’; C=640.Tính A,b,c?

Giải:

A=1800-(B+C)=71030’

Theo đlý hsố sin ta có:b= sin 12,9

sin

c= sin 16,5

sin

BÀI 1/55/SGK:

a)c=14,A=600,B=400

Ta có:C=180-A-B=800

a= sin 12

sin

b= .sin 9

sin

*Các bài còn lại tương tự.HS tự làm

BÀI TOÁN 2:Cho tam giác ABC biết a=49,4;b=26,4; C=47020’

Tính c, A, B

Giải:

Ap dụng đlý hsố cosin ta có:

c2=a2+b2-2ab cosC=1369

Vậy c=37

CosA=

2 2 2

0,191 2

bc

 



Vì A là góc tù nên A=1800-790=1010

Vậy B=31040’

BÀI 2/55/SGK:

a)a=6,3 ;b=6,3; c=540

Tam giác ABC cân vì a=b=6,3.

Nên A=B=(1800-C)/2=63

Ap dụng đlý hsố cosin ta có c=5,7

*Các bài còn lại tương tự.HS tự làm

BÀI TOÁN 3:Trong tam giác ABC biết a=24;b=13; c=15 Tính A,B,C?

Giải:

Ap dụng Đlý cosin ta có Cos A=

2 2 2

0, 4667 2

bc

 



Vì A là góc tù nên A=1800-62011’=117049’

Ap dụng đlý hsố sin ta có:sinB=bsinA 0.4790

Vậy B=28037’

Do đó, A=33034’

BÀI TOÁN 4:Để tính khoảng cách từ điểm A đến C(hình vẽ)người ta chọn B sao cho từ B ;A có thể

nhìn thấy C Ta có AB=c,A= ,B=  Tính AC?

Giải:

Ta có C=1800-( +  )

Vậy sinC=sin( +  )

Theo đlý hsố sin thì: AC=  

sin sin



BÀI 4/56/SGK:

Chiều cao của tháp bằng :

BC=BH+HC=AHtg450+AHtg100

=AH(tg450=tg100)

=12(m)

BÀI TOÁN 5:Từ đỉnh một cái tháp có chiều cao CD=h,người ta nhìn hai điểm A,B trên mặt đất dưới

hai góc là , .Ba điểm A,B,C thẳng hàng, 

Tính khoảng cách AB

GIẢI:

Ta có: CAD;CBD 

Từ tam giác vuông CDA ,ta có:

sin sin

AC

Mà: ACB    nên ta có:

 

 

sin sin

AC AB

 









Vậy, sin 

sin sin

h





ÔN TẬP HỌC KỲ I

NỘI DUNG BÀI TẬP 1:

Trong mp Oxy cho A(1;2),B(-2;6),C(9;8).

a.Tính  AB AC,

,từ đó suy ra tam giác ABC là tgiác vuông b.Tìm tâm I và bán kính R của đtròn ngoại tiếp tam giác ABC c.Tính độ dài các cạnh,chu vi,diện tích tam giác ABC.

d.Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B,M,A thẳng hàng.

e.Tìm N thuộc Ox để tam giác ANC cân tại N.

f.Tìm D để ABCD là hình chữ nhật.

g.Tìm toạ độ điểm T thoả TA 2TB 3TC0



GIẢI:

a.Ta tính được:

 

 

3;4 8,6

AB

AC

 





Ta có:AB AC   ( 3).8 4.6 0 

 

Vậy ABAC tại A

Chứng tỏ tam giác ABC vuông tại A

b.Vì ABC vuông tại A nên tâm I của đtròn ngoại tiếp

ABC

 là trung điểm cạnh huyền BC

Gọi I(xI,yI)

Vậy I(7/2;7)

Bán kính 125 5 5

BC

c.AB5;AC10,BC5 5

1

2

15 5 5( )

ABC

ABC





d.Vì M thuộc Oy nên M(0;yM)

Để B,M,A thẳng hàng thì

MB k MA   2;6 y M k1;2 y M

2 2

10

3

k k





 

Vậy M(0;10/3)

e.N Ox  N x N,0

Để tam giác ANC cân tại N thì NA=NC

 2  2

140 35

16 4

35

;0 4

N

x

N

f.Vì ta có góc A=900 nên để ABDC là hcn thì AB CD

  Gọi D(xD,yD)

Vậy:(-3;4)=(xD-9;yD-8)

 

6;12

D

g.Gọi T(x;y) thoả đẳng thức:



 



   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Không tìm được T thoả đẳng thức của đề bài

BÀI 2:

CHỨNG MING RẰNG :

2

1

cos

1 cos cot 1 cos cos

x

Giải:

2 2 2

1

cos

x  1 +tg

2x-sin 2x-tg 2x =1-sin 2x=cos2x

1 cos cot 1 cos

b  x g x  x (1-cos2x)

2 2

cos sin

x

x =cos

2x

Bài 3:

ĐƠN GIẢN:

a.A=sin(90 0 -x)+cos(180 0 -x)+sin 2 (1+tg 2 x)-tg 2 x

b.B=cos(90 0 -x)sin(180 0 -x)

c.C=

2

2

1 cos

.cot

1 sin

x

x







Giải:

a A=0

b B=sin 2x

c C= 12

cos x

Bài 4:

Trong tam giác ABC

Cho a= 6 ,b=2,c= 3 1

Tính A,B,ha,R,r,mb của tam giác ABC.

Giải:

Theo đlý hàm số cosin ta có:

CosA=

2 2 2 1

bc

 Vậy A=600

Tương tự, Cos B= 2

2 Vậy B=450

Ap dụng đlý sin ta có:R=

6

2

2

2

a

Ta có:S=1 sin 1.2 3 1  3 3 3

2b c A 2  2  2 2

S

a



Nửa chu vi tam giác ABC là 6 3 3

2

Ta lại có: S=p.r nên r= 3 3

S p





Trung tuyến mb:

2 2 2

4

3 4 2

b

b

m m



Bài: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN.

NỘI DUNG I/PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM VỚI MỘT ĐƯỜNG TRÒN:

1.ĐỊNH LÝ:Cho đường tròn (O;R) và một điểm M cố định.Một đường thẳng thay đổi đi qua M và cắt đường tròn tại hai điểm A và B thì tích vô hướng MA MB  .

là một số không đổi

CM:

Kẻ đường kính BB’ thì B’AMB nên MA là hình chiếu của MB ' trên đường thẳng MB

O B

B'

M

A

Đặt MO=d

'

MA MB MB MB

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

       

 

2.ĐỊNH NGHĨA:

Giá trịMA MB   không đổi trong định lý trên được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn O

KH: P M O/( ).

M o

*CHÚ Ý:

+P M O/( )>0M nằm ngoài (O)

+P M O/( )<0M nằm trong (O)

+P M O/( )=0M nằm trên đường tròn (O)

+Ta có:P M O/( )MA MB

+Nếu MT là tiếp tuyến của (O) tại T thì:

P M O/( ) MT 2 MT 2



3.HỆ QUẢ:

Nếu vẽ qua điểm M hai đường thẳng cắt đường tròn (O;R) lần lượt tại A,B và C,D thì:MA.MB=MC.MD

4.VÍ DỤ:

1) Cho tam giác đều ABC có cạnh a và có trực tâm H Tìm phương tích của điểm A và điểm H đối với đường tròn đường kính BC

A

H

Đường tròn đk BC có tâm là trung điểm O của BC và đi qua trung điểm B’,C’ của AB,AC,bán kính là R=a 2

/( )

/( )

A O

H O

       

       

II.TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN:

1.ĐỊNH LÝ:Cho hai đường tròn không đồng tâm(O1;R1) và (O2;R2) Quỹ tích những điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn ấy là một đường thẳng

CHỨNG MINH:SGK

2.ĐỊNH NGHĨA:

Đường thẳng quỹ tích nói trên được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1;R1) và (O2;R2)

*CHÚ Ý:

Trục đẳng phương của hai đường tròn luôn vuông góc với đường thẳng nối tâm của hai đường tròn đó

III/CÁCH DỰNG TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG:

1)Hai đường tròn (O),(O’) cắt nhau tai 2 điểm A,B:

B

A

2)Hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc nhau tại A:

3)Hai đường tròn (O) và (O’) không cắt nhau:

Cách dựng:

-Dựng đường tròn thứ 3 (O”) cắt cả hai đường tròn (O),(O’) sao cho ba tâm đường tròn không thẳng hàng

-Dựng trục đẳng phương  của (O),(O’)

-Dựng trục đẳng phương ’ của (O’),(O”)

-I là giao điểm của và ’

-Dựng đường thẳng qua I vuông góc với OO’, đó chính là trục đẳng phương của (O),(O’)

O O'

O"

IV.BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1)Cho hai đường thẳng a,b cắt nhau tại I Hai điểm A, A’ nằm trên a, hai điểm B, B’ nằm trên b sao cho: ' '

IA IA IB IB

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Chứng minh rằng 4 điểm A,B,A’,B’ nằm trên một đường tròn

Giải:

A B

a

b

C I

B'

A' B1

Gọi (C) là đường tròn đi qua A,B,A’ và nó cắt b tại điểm thứ hai B1

Ta có: '              IA IA                                          IB IB 1

So sánh với giả thiết IA IA 'IB IB '

   

ta có IB'IB 1

 

Vậy B1 trùng với B’.Vậy A,B,A’,B’ cùng nằm trên 1 đường tròn

2)Cho góc xOy,điểm A nằm trên tia Ox, hai điểm B,C nằm trên tia Oy sao cho OA2=OB.OC

CMR: đường tròn đi qua A,B,Ctiếp xúc với Ox tại A