Gọi M là điểm chính giữa của cung AB, P là điểm thuộc cung MB P không trùng với M và B; đường thẳng AP cắt đường thẳng OM tại C, đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại D.. 1 Chứng minh OB
Trang 1Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Kì Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 Trung Học Phổ Thông
ĐăkLăk Năm Học 2010-2011
Đề Chính Thức Môn : TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2 điểm)
1) Giải phương trình: 2x2 + 3x=x2+2 3x
2) Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2;8) và B(3;2)
Bài 2: (2 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: ( ) ( )2
1 2 2 2
=
A
2) Cho biểu thức:
−
+ +
−
=
x
x x
x x
B
1
2 1
1 : 1
2
với x≥0,x≠1
a) Rút gon biểu thức B
b) Tìm giá trị của x để biểu thức B = 5
Bài 3: (1,5 điểm)
Cho phương trình: ( ) 0
2
1 1
2 − m+ x+m + =
1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt?
2) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho biểu thức
( 1−1) ( 2 −1)
= x x
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho nữa đường tròn có tâm O và đường kính AB Gọi M là điểm chính giữa của cung AB, P là điểm thuộc cung MB (P không trùng với M và B); đường thẳng AP cắt đường thẳng OM tại C, đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại D
1) Chứng minh OBPC là một tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh hai tam giác BDO và CAO đồng dạng
3) Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở P cắt CD tại I Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng CD
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng phương trình (a4 −b4)x2 −2(a6 −ab5)x+a8 −a2b6 =0 luôn luôn có nghiệm với mọi a, b
-Hết -Họ tên thí sinh:………Số báo danh:………
Họ tên và chữ ki giám thị
……… ………
1
Trang 2Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Kì Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 THPT
TỈNH ĐĂKLĂK Năm Học 2010- 2011
Đề Chính Thức Môn: Toán –Chuyên
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1:
1) Giải phương trình: (x2−4x)2+9x2−36x+20=0
2) Giải hệ phương trình: ( )( )
= + + +
−
= + +
1 2 3
6 2 3 2
x
y x xy
Bài 2:
1) Cho a là số thực dương thỏa mãn a2 ≥a+2 Chứng minh phương trình:
x2+2ax+2a2−4=0
2) Cho phương trình: x2 + x + m = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2.
Từ đó tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
2
2 1
3 2
3
x
Bài 3:
1) Cho a,b,c là các số thực.Chứng minh rằng:
a2010+b2010+c2010 ≥a1005b1005+b1005c1005 +c1005a1005 , với mọi a,b,c
Dấu bằng xảy ra khi nào?
2) Chứng minh biểu thức: P=x3(x2−5)+4x chia hết cho 5, với mọi x nguyên
3) Tìm nghiệm nguyên x;y của phương trình:
x2+2xy+7(x+y)+2y2+10=0
Bài 4:
1) Cho hình vuông ABCD Điểm M di chuyển trên tia đối của tia CD ( M không
trung C).Trên đường thẳng BC lấy điểm N sao cho AN vuông góc với AM
a) Chứng minh MAN vuông cân
b) Xác định vị trí điểm M trên tia đối của tia CD sao cho tam giác AEC là tam giác đều, trong đó E là trung điểm của MN
2) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, biết AB = 6 cm, BC = 5 cm và
CD = 3 cm Tính thể tích hình được tạo thành khi quay hình thang ABCD
quanh AD đúng một vòng
Trang 3Sở Giáo Dục Và Đào Tạo KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐăkLăk Năm Học 2010-2011
Đáp Án Đề Thi Toán – Chuyên ( Năm 2010 -2011 )
Bài 1
1 + Đặt t = x2 -4x = (x-2)2- 4≥-4
+ Phương trình cho trở thành
t2 +9t +20 = 0 t= -5 ; t = -4 + Đối chiếu điều kiện t= -4 + Giải p/t t= - 4 tức x2 - 4x +4 = 0 x= 2
0,25 0,25 0,25 0,25 2
+ Viết lại hệ phương trình { ( ) ( )
1 2 3
6 2
3 2 2
2 2
= + + +
−
= + +
y y x x
y y x x
+ Đặt u = x2 +3x =
2 2
3
−x -
4
9 ≥ -4 9
Và v = y2 +2y = (y+1)2 -1 ≥ -1
Ta được hệ p/t :
= +
−
=
1
6
v u uv
Lúc này u và v là hai nghiệm của p/t : X2 –X -6 = 0 X=-2 ;X=3
Đối chiếu điều kiện
−
≥
−
≥
1 4 9
v
u
ta có hệ
= +
−
= +
3 2
2 3 2
2
y y
x x
+ Giải hệ ta được 4 nghiệm :
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−
=
=
−
=
3
2
; 1
2
; 3
1
; 1
1
y
x y
x y
x y
x
0,25 0,25 0,25
0,25
Bài2
(2đ)
1 = Tính '∆ =a2 –(2a2-4) = 4-a2
+ Từ giải thiết a > 0 ; a2 ≥2+a ta có a2 ≥2 2 =>aa 4 ≥8 => a≥2 + Lúc này ∆' ≤0
+Kết luận : phương trình đã cho không có hai nghiệm phân biệt
0,25 0,25 0,25
2 x2 +x +m =- 0 (1)
P/T (1) có hai nghiệm phân biệt khi x1 ,x2 khi ∆= 1- 4m≥0 m
4
1
≤
+Theo định lí Vi Et ta có :
=
−
= +
m x x
x x
2 1
2
+ A=(x1 +x2 )[ ( ) 1 2]
2 2
1 x 3 x x
2 2
1 x 2 x x
0,25
0,25
0,25
3
Trang 4Vì m
4
1
≤ nên A
4
3
−
≤ do đó giá trị lớn nhất của A là
-4
3 khi m =
4
Bài 3
( 3đ)
1
Đặt x =a1005, y = b1005 ; z = c1005.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
x2 +y2 + +z2 ≥xy+yz+zx 2(x2 +y2 +x2)≥2(xy+yz+zx) ( x- y)2 + (y-z)2 +(z-x)2 ≥ 0 ,∀x, y, z ∈R và dấu “ =” xảy ra khi x= y= z hay a =b = c
0,25 0,25 0,25 0,25
2 + Phân tích P =x(x4-5x2+4) = x(x2-1)(x2-4)
= (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)
- Vì x∈Z thì P là tích của 5 số nguyên liên tiếp do đó P5 với ∀x∈Z
0,25 0,25 0,5
+Viết lại p/t đã cho về dạng (x+y)2 + 7(x+y) +y2 +10 = 0 Đặt t = x+y ta có t2 +7t +y2 +10 = 0 (1)
Phương trình (1) có nghiệm theo t khi ∆= 49 – 4(10+y)2 > 0 , y2 ≤
4 9
y ≤
2
3
mà y∈Z => y = -1; 0;1 +Với y = -1 thì phương trình x2 +5x+5 = 0 ( vô nghiệm) + Với y = 0 x2 +7x +10 = 0 x =-5 ; x= -2
+ Với y = 1 giải tương tự không tồn tại số nguyên x thỏa đề bài + kết luận : p/t đã cho có nghiệm x , y nguyên là
=
−
=
=
−
=
0
2
; 0
5
y
x y
x
0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 5Bài 4:
( 3đ)
D
M C
N
E
Tứ giác MCAN nội tiếp ( vì góc MAN = góc MCN =900 )
Ta có góc AMN = góc CAN ( vì góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
Mà góc ACN=450 nên góc AMN = 450 do đó ∆AMN vuông cân tại A
∆MAN và ∆MCN là các tam giác vuông cân nên AE = CE =
2
MN
Để∆AEC đều thì chỉ cần AC= CE
Đặt cạnh hình vuông bằng a ta có AB = a (a> 0) => AC = a 2 => CE = a 2
MN = 2a 2 => AM = 2a
Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của tia đối của tia CD với đường tròn tâm
A, bán kính bằng 2AB
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
2
3cm
3cm
3cm
A
C D
B E
Từ C dựng đường thẳng song song với AD cắt AB tại E => EB = 3(cm) 0,25
5
Trang 6Ta có ∆CEB vuông tại E nên CE = BC2 −EB2 =4(cm)
Khi quay hình thang ABCD quanh AD đúng một vòng hình thu được là hình
nón cụt có bán kính đáy lớn R = 6 (cm) và bán kính đáy nhỏ R’= 3(cm)
và chiều cao h= 4 (cm)
Thể tích hình nón cụt là V = [ ( )' ']
3
1Πh R2 + R 2 +RR
= 4[6 3 6.3]
3
1Π 2 + 2 + = 84 Π(cm3)
0,25 0,25
0,25
B HƯỚNG DẪN CHẤM
1) Điểm bài thi đánh giá theo mthang điểm từ 0 đến 10 Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần và không làm tròn
2) Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó
3 ) Đáp án và biểu điểm gồm 04 trang
***Hết **