SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC 2010-2011
( Dành cho tất cả thí sinh thi vào PTTH chuyên Lam Sơn)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :19 tháng 6 năm 2010
Câu I: ( 2 điểm )
− +
−
+
+
−
−
10 2 :
2
1 6 3
6
x x
x x
x x x x
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm x sao cho A < 2
Câu II : ( 2 điểm ) Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 – 7x + 3 = 0
1) Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 -x2 và 2x2 -x1
2) Tính giá trị của biểu thức : B = 2x1 −x2 + 2x2 −x1 ,
Câu III : ( 1,5 điểm ) Giải hệ phương trình
=
−
+ +
=
−
− +
1 2
3 2
20
1 2
1 2
4
y x y x
y x y x
Câu IV : ( 3,5 điểm )
Cho hình vuông ABCD trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA Đường thẳng đi qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H
1) Chứng minh rằng : AE = ID
2) Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F ( F ≠A)
Chứng minh : DF.DA = EH EB
Câu V : ( 1 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lần lượt là : BC = a ; CA= b ; BA= c
Và chu vi bằng 2p Chứng minh rằng : ≥ 9
−
+
−
+
p b p
p a p p
.Hết
Họ và tên thí sinh số báo danh:
chữ ký giám thị 1: chữ ký giám thị 1 :
Trang 2dự kiến lời giải môn toán chung KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2010-2011
( Dành cho tất cả thí sinh thi vào PTTH chuyên Lam Sơn)
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi :19 tháng 6 năm 2010
Câu I: ( 2 điểm )
a) ĐK: x>0 ;x ≠ 4
A =
+
− +
−
+
+
−
−
10 2 :
2
1 6
3
6
x x
x x
x x
x x
A = ( − ) − − + + 2
1 ) 2 (
3
6
x x
x
2
10 2
2 2
+
− + +
+
−
x
x x
x x
A = ( − ) − − + + 2
1 ) 2 (
2
x
x
:
2
10 4 +
− +
−
x
x x
A = ( )( ) ( )
+
− + +
−
+
− +
2 2
).
2 (
) 2 (
2 2
x x
x
x x
x
x
:
2
10 4 +
− +
−
x
x x
A = ( )( )
+
−
− +
−
−
2 2
2 4
2
x x
x x
x
: 2
6 +
x
A = ( )( )
+
−
−
2 2
6
x
2
6 +
x
A =
x
−
2
1 2 1 b) với x>0 ;x ≠ 4 ta có :
A < 2 ⇔
x
− 2
1
<2 ⇔
2-x
− 2
1
> 0
⇔
x
x
−
−
− 2
1 2 4
=
x
x
−
− 2
2 3
> 0
3 2 0
3 2 0
.
x x x x
− <
− <
⇔ − >
− >
⇔
>
>
>
0 4
x x
Vậy với x> 4 hoặc 0 9
4
x
< < thì A<2
Câu II (2đ)
1) Vì ∆ = 49 12 37 0 − = > nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1 , 2
Theo hệ thức Vi-et ta có: 1 2
1 2
7 3
x x
+ =
Đặt y1 = 2x1 −x y2 ; 2 = 2x2 −x1 ta có:
2
Trang 3Do đó phương trình bậc hai cần lập là: 2
2)Ta có : B2=
Câu III (1,5đ)
ĐK: x≠ ± 2y Đặt 1 0, 1 0
5
2 12
x a
Câu IV (3,5đ) (Tự vẽ hình)
1) Xét tam giác ABE và tam giác IBE có:
AB=IB; gócBAE= gócBIE = 900 ; BE chung
suy ra tam giác ABE = tam giácIBE (cạnh huyền -cạnh góc vuông)
suy ra AE = IE (1)
vì ABCD là hình vuông nên góc EDI = 450 suy ra góc DEI = 450 (vì tam giácDEI vuông ở I)
suy ra tam giác DEI cân tại I suy ra IE =ID (2)
từ (1) và (2) suy ra AE = DI
2) Vì EA = EI nên đường tròn (E;EA) đi qua I mà EI vuông góc với DI
suy ra DI là tiếp tuyến của đường tròn (E;EA)
suy ra gócDAI = gócDIF (cùng chắn cung IF)
suy ra tam giácDAI đồng dạng với tam giácDIF (G-G) suy ra DA/DI =DI/DF
do đó DF.DA = DI2
mà DI = IE suy ra DF.DA =IE2 (3)
vì AI là dây chung của đương tròn (E;EA) và đường tròn (B;BA=BI) nên AI vuông góc với BE tại H
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BEI có : IE2 = EH.EB (4)
Từ (3) và (4) suy ra DF.DA =EH.EB
Câu V (1đ)
Trước hết ta chưng minh: với a,b >0 ta có:1 1 4 (*)
a b+ ≥ a b
+
Trang 4Thật vậy(*) ( )2 ( )2
⇔ + ≥ ⇔ − ≥ (đúng).Dấu “=” xảy ra ⇔ =a b
Áp dụng (*) ta có:
p a p− + p b p− ≥ p a p b− + −4p =4c p
tương tự ta có: p b p− + p c p− ≥ p b p c− + −4p =4a p
p c p− + p a−p ≥ p c p a− + −4p =4b p
suy ra p a p− + p b p− + p c p− ≥ 2a p+2b p+2c p
Hay p p p 3 (a b) (b c) (c a)
mà (a b) 2;(b c) 2;(c a) 2
b a+ ≥ c b+ ≥ a c+ ≥ (BĐT Cauchy)
Do đó p p p 9
Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c tức là ABC là tam giác đều
(lời giải của thầy Nguyễn Cưòng THCS Nghi sơn Tĩnhgia-Thanh Hóa)