Các dấu hiệu nhận biết phơng trình bậc hai có nghiệm:Thí dụ 9: Chứng tỏ tập hợp A có phần tử cố định với mọi m.. 2 Tìm hệ thức độc lập với tham số liên hệ giữa các phần tử không cố định
Trang 1Các dấu hiệu nhận biết phơng trình bậc hai có nghiệm:
Thí dụ 9: Chứng tỏ tập hợp A có phần tử cố định với mọi m.
Tìm m để A có đúng 2 phần tử Với:
)
2
0 1
|
)
1
2 2
2 3
3
= + +
−
− + + +
−
∈
=
=
− +
−
∈
=
m m x m m x m x R
x
A
m mx
x R
x
A
Lời giải
Câu 1: Viết lại: x3-mx+1-m = 0 ⇔ x3 + 1-m(x+1) = 0 (1)
• Tập hợp A có phần tử cố định với mọi m ⇔ Phơng trình (1) có nghiệm không phụ thuộc m Điều đó xảy ra khi và chỉ khi
1 0
1
0 1
= +
= +
x x
x
Vậy khi m thay đổi, tập hợp A luôn có một phần tử cố định là x = -1
Từ kết quả trên suy ra (1) ⇔(x+ 1) (x2 −x+ 1 +m)= 0 (2)
Gọi f(x) = x2 –x + 1 + m
• A có đúng 2 phần tử ⇔ tập nghiệm của phơng trình (1) có đúng 2 giá trị
⇔
( )
−
=
−
=
⇔
∆ = − ≠−
4 3 3
1 2
; 0
1
; 0 1
m m a
b a
c f
f
Vậy tập hợp các giá trị phải tìm của m
=− =−
4
3
;
3 m
m
Câu 2: Xem phơng trình x3-(m+1)x2 + (m2 + m-3)x-m2 + 2m + 3 = 0 (3)
( − 1) 2 −( 2 + − 2) + 3 − 2 − 3 + 3 = 0
0 3 3
0 2
0 1
2 3
= +
−
−
=
− +
=
−
x x
x x
x x
x
Suy ra phơng trình (3) có nghiệm x = 1 không phụ thuộc m ⇔ Tập hợp A có một phần tử cố định (x = 1) với mọi m (đpcm)
Từ kết quả đó suy ra: (3) ⇔(x− 1) (x2 −mx+m2 − 2m− 3)= 0
Gọi f( )x =x2 −mx+m2 − 2m− 3
• A có đúng 2 phần tử ⇔ Tập nghiệm của phơng trình (3) có đúng 2 giá trị
( )
±
=
±
=
⇔
≠
= + +
−
≠
−
−
=
−
−
⇔
∆ = − ≠
⇔
3
13 2 2
17 3
2
0 12 8 3
0 4 2
0 2 3
1 2
; 0
1
; 0
1
2 2 2
m
m
m
m m
m m
m m
a b a
c f
f
Vậy tập hợp các giá trị phải tìm của m là:
=
±
=
3
13 2
; 2
17 3
m m
Thí dụ 10: Tìm a để phơng trình (a + 1)x2-(8a+1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm thuộc (0; 1)
Trang 2Lời giải
Phơng trình đã cho trở thành 7x – 6 = 0 ⇔ ( )0 ; 1 1
7
6 ∈ ⇒ = −
+ a = 0, phơng trình đã cho trở thành x2 – x = 0 ⇔ x = 0; x = 1 (loại)
⇒ a = 0 cũng không phải là giá trị phải tìm (2)
+ a ≠ 0 ⇒ f( ) ( )0 f 1 < 0
⇒ Phơng trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc (0; 1) (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒Phơng trình đã cho có đúng 1 nghiệm (0; 1) khi và chỉ khi a≠0
Thí dụ 11: Cho m ≥ - 1 Tìm nghiệm lớn của phơng trình:
x2 + (2m-6)x +m-11 = 0 (1)
Lời giải
Viết lại ( )1 ⇔m(2x+ 1)+x2 − 6x− 11 = 0 ⇔(m+ 1)(2x+ 1)+x2 − 8x− 12 = 0( )1 '
Thấy rằng
2
1
−
=
x không phải là nghiệm của phơng trình (1)
Chia hai vế của phơng trình (1’) cho 2x + 1 ta có:
(1’)
1 2
12 8 1
2 +
+ +
−
= +
⇔
x
x x
1 2
12 8 0
1 1
2
≥ +
+ +
−
⇔
≥ +
⇔
−
≥
x
x x m
m
1 2
7 2 4 7 2
4
≤ +
−
− +
−
⇔
x
x x
- -
4 − 2 7
2
1
− 4 + 2 7
Căn cứ vào dấu vế trái (2) suy ra tập nghiệm của bất phơng trình (2) là
− +
∪
−
∞
−
2
1 7
2 4
;
Gọi x0 là nghiệm của phơng trình (1) với m ≥ -1
Từ (3) suy ra maxm≥1( )x0 = 4 + 7 Nói cách khác, với m ≥ -1, nghiệm lớn nhất có thể của phơng trình (1) là x = 4 + 7
Bài tập Bài 1: Chứng minh tập hợp nghiệm của tập hợp các phơng trình sau đây khác
rỗng:
1) Hai phơng trình: x2 + ax +b = 0; x2 + bx + a = 0 trong đó a, b là các số thực thoả mãn:
2
1 1 1
= +
b a
2) Ba phơng trình: x2 + ax + b -1=0; x2 + bx + c-1=0; x2 + cx + a-1 = 0 trong đó
a, b, c là các số thực bất kỳ
Bài 2: Cho tập hợp A = {x∈R|x3 −(m2 −m+ 7) (x− 3m2 −m− 2)= 0}
1) Chứng tỏ tập hợp A có phần tử cố định với mọi m Tìm m để a có đúng 2 phần tử
Trang 32) Tìm hệ thức độc lập với tham số liên hệ giữa các phần tử không cố định của A
Bài 3: Tìm a để cả hai nghiệm của phơng trình g(x) = 0 đều nằm trong khoảng 2 nghiệm của phơng trình f(x) = 0, với g(x) = x2-2x-a2 + 1, f(x) = (x2-2a+1)x + a(a+1)
Bài 4: Tìm m biết rằng phơng trình: x2 + 2mx +2m2-1=0 có hai nghiệm thoả mãn
|x1| < 1 < |x2|