Gọi O là trung điểm của BC.. Tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC lần lượt tại M, N.. b Xác định vị trí điểm H sao cho diện tích ∆AMN lớn nhất.. Người ta vẽ các đường tròn bán kín
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2008 - 2009
Môn thi : Toán
Thời gian :150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
-Bài 1: ( 2 điểm)
Tìm số tự nhiên có hai chữ số , biết rằng = +
Bài 2: ( 2 điểm)
Giải phương trình : 10 = 3(x2 + 2 )
Bài 3: ( 2 điểm)
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c ( a = 0) Biết rằng phương trình f(x) = x
vô nghiệm Chứng minh rằng phương trình : a [f(x) ]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm
Bài 4: ( 1 điểm)
Cho x , y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + xz = xyz
Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2
3
y z
Bài 5 : ( 3 điểm )
Cho tam giác ABC cân tại A Gọi O là trung điểm của BC Đường tròn (O;R)
tiếp xúc với AB ở E , tiếp xúc với AC ở F Điểm H chạy trên cung nhỏ EF ( H
khác E, F) Tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC lần lượt tại M, N
a) Chứng minh : ∆MOB ∆ONC
b) Xác định vị trí điểm H sao cho diện tích ∆AMN lớn nhất
Bài 6 : ( 1 điểm )
Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài bằng 4 , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng Người ta vẽ các đường tròn bán kính bằng 2 và tâm là các
điểm đã cho Hỏi có hay không ba điểm trong cá điểm đã cho sao cho chúng đều thuộc phần chung cuả ba hình tròn có tâm cũng là ba điểm đó ? Vì sao ?
……… Hết…………
Họ và tên thí sinh : ……… Số báo danh : ………….
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Đề chính thức
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2008 - 2009
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
( Hướng dẫn chấm và biểu điểm này gồm có 03 trang )
Điều kiện 1 ≤ x , y ≤ 9 và x, y nguyên
= + (1)
⇔ x.100.11 + y.11 = x2.112 + y2.112
⇔ 100 x + y = 11 (x2 + y2)
0,5
⇒ (x + y ) 11
⇒ x + y = 11 ( vì 2 ≤ x + y ≤ 18 ) 0,5
⇒ (x ; y) chỉ có thể là các cặp (2; 9) ; (9; 2) ; (3; 8) ; (8; 3) ; (4; 7) ; (7; 4) ; (5; 6) ; (6; 5) 0,5
Thay lần lượt từng cặp trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 8 và y = 3 thỏa mãn
Bài 2 (2 điểm)
Khi đó 10 = 3(x2 + 2 )
1
= +
(Điều kiện u ≥ 0 ,v > 0 ) khi đó phương trình (*) trở thành
10uv = 3 (u2 + v2 )
0,5
Trường hợp 1 : u = 3v , ta có : x+ 1 = 3 x2 − +x 1
⇔ 9x2 - 10 x + 8 = 0 Vô nghiệm 0,25 Trường hợp 2 : 3u = v , ta có : 3 x+ 1 = x2 − +x 1
⇔ 9x + 9 = x2 - x + 1
⇔ x2 - 10 x - 8 = 0
0,25
⇔ x 5- 33
x 5+ 33
=
=
( thỏa mãn điều kiện x ≥ -1
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 5- 33 = và x 5+ 33 =
0,25
Bài 3 ( 1điểm )
Vì phương trình f(x) = x vô nghiệm nên f(x) > x , với mọi x ∈ R hoặc f(x) < x , với mọi x
Nếu f(x) > x , với mọi x ∈ R thì a [f(x) ]2 + bf(x) + c = f(f(x) ) > f(x) > x , với mọi x ∈ R
Suy ra phương trình a [f(x) ]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm 0,25 Nếu f(x) < x , với mọi x ∈ R thì thì a [f(x) ]2 + bf(x) + c = f(f(x) ) < f(x) < x , với mọi x ∈ R
Suy ra phương trình a [f(x) ]2 + bf(x) + c = x vô nghiệm
Vậy ta có điều phải chứng minh
0,25
Bài 4 ( 1 điểm )
Đề chính thức
Trang 3Ta có xy + yz + xz = xyz ⇔ + + = 1
Đặt a = , b = , c = ta được a, b, c > 0 và a + b + c =1 (1)
Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành + 2 2 ( )
b c
a b c
c + a ≥ + +
0,25
Ta sẽ chứng minh (2) đúng với mọi a, b, c thỏa mãn (1)
Thật vậy , vì a + b + c = 1 nên ta có
2
(2) a 2a b b 2b c c 2c a 3 a b c a b c
⇔ − + ÷ + − + +÷ − + ÷≥ + + − + +
0,25
(a b) (b c) (c a)
⇔ − ÷ − + − ÷ − + − ÷ − ≥
0,25
0
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = hay x = y = z = 3
0,25
Bài 5 (3 điểm )
Câu a ) (1,5 điểm )
Theo tính chát tiếp tuyến ta có OM , ON
lần lượt là phân giác của các góc EOH,· · · 1EOF·
2
FOH ⇒MON =
0,5
⇒ · 180 · · ·
2
BAC
180
OCN ONC NOC MOB MON NOC+ + = + + = ° 0,5
b) ( 1,5 điểm )
Từ ∆MOB ∆ONC
2
4
MB CN OB OC
OC NC
Vì SAMN = SABC - SBMNC nên SAMN lớn nhất khi và chỉ khi SBMNC nhỏ nhất
Ta có SBMNC = SBOM + SMON + SNOC = 1 ( )
2R BM MN CN+ +
1
2
R BM CN BM BE CN CF
không đổi
0,5
O
A
M
N H
Trang 4M N
A
B C
⇔ H là điểm chính giữa cung nhỏ EF
Vậy SAMN lớn nhất khi H là điểm chính giữa cung nhỏ EF
Bài 6 ( 1 điểm)
Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông đơn vị ( các cạnh
song song với các hình vuông đã cho và có độ dài bằng 1)
0,25
Do 33 > 16.2 nên theo nguyên lí Dirichlê , tồn tại ít nhất ba điểm nằm trong hoặc trên
cạnh của hình vuông đơn vị Giả sử đó là ba điểm A, B, C ở trong hoặc nằm trên cạnh
của hình vuông đơn vị MNPQ
0,25
Ta có MP = 2 và với mọi điểm E thuộc hình vuông MNPQ thì MP ≥ AE , tức là
AE ≤ 2 Từ đó hình tròn (A; 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ Tương tực các
hình tròn (B; 2 ) ,(C; 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ
0,25
Suy ra ba hình tròn (A; 2 ), (B; 2 ) , (C; 2 ) đều chứa hình vuông MNPQ nên ba
điểm A, B, C nằm trong phần chung của ba hình tròn nói trên Vậy câu trả lì của bài
toán là có
0,25
Ghi chú : Thí sinh làm theo cách khác mà vẫn đúng vẫn cho điểm tối đa