Đề thi thử Đại học, Cao đẳng môn Toán 2010 docx

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I−1;2tới tiếp tuyến của C tại M là lớn nhất.. Tớnh thể tớch hỡnh chúp cụt biết rằng cạnh

.ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010

Mụn: Toỏn A Thời gian: 180 phỳt ( Khụng kể giao đề).

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Cõu I (2 điểm) Cho hàm số

1

1 2 +

−

=

x

x y

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I(−1;2)tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất

Cõu II (2 điểm) :

1 Giải hệ phương trỡnh:

2 2

2 2

1 4

2.Giải phương trỡnh :2sin2x−sin2x+sinx+cosx−1=0 .

Cõu III (1 điểm): Tớnh tớch phõn

3

6

cotx

sinx.sin x

4

π

π

=

π

 + 

∫

Cõu IV (1 điểm) Cho hỡnh chúp cụt tam giỏc đều ngoại tiếp một hỡnh cầu bỏn kớnh r cho trước Tớnh thể tớch hỡnh chúp cụt biết rằng cạnh đỏy lớn gấp đụi cạnh đỏy nhỏ.

Cõu V (1 điểm) Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

x10 2+8x+4=m(2x+1). x2 +1.

PHẦN RIấNG (3 điểm): Thớ sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trỡnh chuẩn.

Cõu VI.a (2 điểm)

1 Cho∆ABC cú đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x y+ + =1 0 và phõn giỏc trong CD:

1 0

x y+ − = Viết phương trỡnh đường thẳng BC.

2 Cho đường thẳng (D) cú phương trỡnh:

2 2

2 2

= − +



 = −



 = +



.Gọi ∆ là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song

song với (D) và I(-2;0;2) là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn (D) Trong cỏc mặt phẳng qua ∆, hóy viết phương trỡnh của mặt phẳng cú khoảng cỏch đến (D) là lớn nhất.

Cõu VII.a (1 điểm) Với x,y là các số thực thuộc đoạn [ ]0;1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( )

3

xy P

+

+ +

2 Theo chương trỡnh nõng cao.

Cõu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trũn hai đường trũn

2 2

( ) :C x + – 2 – 2 1 0,y x y + = ( ') :C x2+ y2 +4 – 5 0x = cựng đi qua M(1; 0) Viết phương trỡnh đường

thẳng qua M cắt hai đường trũn ( ), ( ') C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.

2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d’ lần lợt có phơng trình : d : x y =z

−

−

= 1 2

và d’ :

1

5 3

2

2

−

+

=

−

=

y

x

Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua d và tạo với d’ một góc 300

Cõu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh tam giỏc Chứng minh

2

a

Kỳ thi thử đại học- cao đẳng

năm 2010

Hớng dẫn chấm môn toán

I

(2,0) 1(1,0)

Làm đỳng, đủ cỏc bước theo Sơ đồ khảo sỏt hàm số cho điểm tối đa.

2(1,0) Tập xác định : x≠−1.

1

3 2 1

1 2

+

−

= +

−

=

x x

x

) 1 (

3 ' +

=

x

Bảng biến thiên:

Tiệm cận đứng : x=−1 , tiệm cận ngang y=2

1

3 2

;

0

x x









+

− thì tiếp tuyến tại M có phơng trình

) ( ) 1 (

3 1

3

0 0

x x x

x

+

= + +

− hay 3( ) ( 1)2( 2) 3( 0 1) 0

0

x

Khoảng cách từ I(−1;2) tới tiếp tuyến là

0 2 0

4 0

0 4

0

0 0

) 1 ( ) 1 ( 9

6 )

1 ( 9

1 6 1

9

) 1 ( 3 ) 1 ( 3

+ + +

= + +

+

= +

+

+

−

−

−

=

x x

x

x x

x x

d

Theo bất đẳng thức

Côsi ( 1) 2 9 6

) 1 (

0 2 0

=

≥ + +

x , vây d ≤ 6 Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi

) 1 ( ) 1 (

9

0

2 0

2 0 2 0

±

−

=

⇔

= +

⇔ +

=

Vậy có hai điểm M : M(− 1 + 3 ; 2 − 3) hoặc M(− 1 − 3 ; 2 + 3)

1

1) CõuII:2 Giải phương trỡnh:

0 1 cos sin

) 1 cos 2 ( sin 2 0 1 cos sin

2 sin sin

∆=(2cosx−1)2 −8(cosx−1)=(2cosx−3)2 Vậy sinx=0,5 hoặc sinx=cosx−1 Với sinx=0,5 ta có x π 2kπ

6 +

= hoặc x π 2kπ

6

5

+

=









−

=

−

=











 −

⇔

−

=

−

4

sin 2

2 4

sin 1 cos

x= 2kπ hoặc x π 2kπ

2

3

+

=

Dễ thấy y≠0, ta có:

2

2 2

2

1

4

1 4

x

x y y

x y

y



+



2 1

,

x

y

+

+) Với v=3,u=1ta có hệ: 2 1 2 1 2 2 0 1, 2

+) Với v= −5,u=9ta có hệ: 2 1 9 2 1 9 2 9 46 0

KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; ) {(1; 2), ( 2; 5)}.x y = −

Tính

3 2 6

2 sinx sinx cos sin x sin

4 cot 2

sin x 1 cot

x x

x

dx x

π

π

π

+

 + 

=

+

∫

Đặt 1+cotx=t 12

sin x dx dt

x= ⇔ = +π t x= ⇔ =π t +

3 1 3

3 1 3

3

t

t

+ +

∫

Gọi H, H’ là tõm của cỏc tam giỏc đều ABC, A’B’C’ Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’ Ta cú:

'

AB IC

AB HH

⊥



Suy ra hỡnh cầu nội tiếp hỡnh chúp cụt này tiếp xỳc với hai đỏy tại H, H’ và tiếp xỳc với mặt bờn (ABB’A’) tại điểm Gọi x là cạnh đỏy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đỏy lớn Ta cú:

I K =I H = I C = IK =IH = IC =

I K IK OK= ⇒ = ⇒r x =

3

h

V = B B+ + B B

x

Từ đú, ta cú:

Nhận xét : 10x2+8x+4= 2(2x+1)2 +2(x2 +1)

1

1 2 ( ) 1

1 2

2

2

+

+

− +

+

x

x m x

x

x

+

+ 1

1 2

2 Điều kiện : -2< t ≤ 5 Rút m ta có: m=

t

t 2

2 2 +

Lập bảng biến thiên của hàm số trên (−2, 5] , ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là:

5 12

4<m≤

1

Điểm C CD x y∈ : + − = ⇒1 0 C t( ;1−t)

Suy ra trung điểm M của AC là 1 3;

M + − 

M∈BM x y+ + = ⇒  + + − + = ⇔ = − ⇒t C −

Từ A(1;2), kẻ AK ⊥CD x y: + − =1 0 tại I (điểm K BC∈ ).

Suy ra AK:(x− − − = ⇔ − + =1) (y 2) 0 x y 1 0

1 0

x y

I

x y

+ − =

 − + =

Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK ⇒ tọa độ của K(−1;0) .

7 1 8

x y

+ = ⇔ + + =

− +

2

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng ∆, thì ( ) //( )P D hoặc ( ) ( ) P ⊃ D Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P) Ta luôn có

IH ⊥ AH

Mặt khác ( ( ) ( ) ) ( ( ) )

( )





∈



Trong mặt phẳng ( )P , IH IA≤ ; do đó axIH = IAm ⇔ ≡H A Lúc này (P) ở vị trí (P 0 ) vuông góc với IA tại A.

Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là n IAr uur= =(6;0; 3− ), cùng phương với vr=(2;0; 1− ) .

Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là: 2(x− −4) (1 z+ =1) 2x - z - 9 = 0.

+ Ta cã : 1 (*)

xy x y

ThËt vËy: (*)⇔ +(1 xy) (1+ +x y) (≥ +x y) (2+xy) ⇔ −(1 x) (1−y) ≥0

§óng víi x,y thuéc [ ]0;1

+ V× x y; ∈[ ]0;1 ⇒ ≤0 xy≤1 1 2 2 1(2)

1

xy

xy

+

3

3

9

1

x y

+ +

Tõ (1);(2);(3) Ta cã : P≥3

VËy , MinP=3 khi x=y=1

+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R=1, ' 3R = , đường thẳng (d) qua M có phương trình a x( − +1) b y( − = ⇔0) 0 ax by a+ − =0, (a2+b2 ≠0)(*).

+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.

Khi đó ta có: MA=2MB⇔ IA2−IH2 =2 I A' 2−I H' '2 ( )2 ( )2

1 d I d( ; ) 4[9 d I d( '; ) ]

IA IH>

2 2 2 2

9

4 d I d( '; ) d I d( ; ) 35 4 a b 35

2 2

2 2

36

a b

a b

−

+

Dễ thấy b≠0 nên chọn 1 6

6

= −



b

Kiểm tra điều kiện IA IH> rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn.

2 .Đờng thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ chỉ phơng u(1;−1;1)

Đờng thẳng d’ đi qua điểm M'(2;3;−5) và có vectơ chỉ phơng u('2;1;−1).

Mp(α) phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến n vuông góc với u và

2

1 60 cos ) '

; cos(n u = 0 = Bởi vậy nếu đặt n=(A;B;C) thì ta phải có :











= + +

− +

= +

−

2

1 6

2

0

2 2

2 B C

A

C B

A

C

B

A

⇔







=

−

−

+

=

⇔









+ + +

=

+

=

0 2

) ( 6

3

C A B C

C A A A

C A B

Ta có 2A2 −AC−C2 =0⇔(A−C)(2A+C)=0 Vậy A=C hoặc 2A=−C.

Nếu A=C,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B=2, tức là n=(1;2;1) và mp(α)có phơng trình

0 )

2

(

x hay x+ 2y+z− 4 = 0

Nếu 2A=−C ta có thể chọn A=1,C=−2, khi đó B=−1, tức là n=(1;−1;−2) và mp(α)có phơng trình x−(y−2)−2z=0 hay

1,00

Vỡ a, b, c là ba cạnh tam giỏc nờn:

a b c

b c a

c a b

+ >



 + >



 + >



.

Vế trỏi viết lại:

2

VT

a c a b a b c

y z z x x y

x y z x y

y z < x y z z x < x y z

2

x y z

y z z x x y x y z

+ +

a