Xây dựng một số bộ dữ liệu phân tán trong không gian 2D cho phương pháp RBF FD giải phương trình Poisson

NGUYỄN NGỌC KHÁNH XÂY DỰNG MỘT SỐ BỘ DỮ LIỆU PHÂN TÁN TRONG KHÔNG GIAN 2D CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH .... 25

NGUYỄN NGỌC KHÁNH

XÂY DỰNG MỘT SỐ BỘ DỮ LIỆU PHÂN TÁN TRONG KHÔNG GIAN 2D CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Tôi xin cam đoan:

Luận văn này là sản phẩm nghiên cứu của tôi

Số liệu trong luận văn là trung thực

Tài liệu nghiên cứu có nguồn gốc rõ ràng

Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Học viên thực hiện luận văn

Nguyễn Ngọc Khánh

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự

nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý Thầy Cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến cô giáo TS Đặng Thị Oanh, người đã hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này Xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều mà cô đã dành cho tôi

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý Thầy Cô trong Trường Đại Học Công Nghệ Thông Tin & Truyền Thông cũng như quý Thầy

Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và cho đến khi thực hiện luận văn

Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người đã không ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến các anh chị và các bạn bè đồng nghiệp đã hỗ trợ cho tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh

Thái Nguyên, tháng 12 năm 2013

Học viên thực hiện

Nguyễn Ngọc Khánh

DANH MỤC HÌNH VẼ

Trang

(200 tâm trong miền với hệ số co là 0.2) 37

(400 tâm trong miền với hệ số co là 0.2) 37

(400 tâm trong miền với hệ số co là 0.4) 38

(800 tâm trong miền với hệ số co là 0.4) 38

(400 tâm trong miền với hệ số co là 0.6) 39

(800 tâm trong miền với hệ số co là 0.6) 39

(400 tâm trong miền với hệ số co là 0.8) 40

(800 tâm trong miền với hệ số co là 0.8)

số nút trên miền = 145 và số nút trên biên = 44) 45

nút trên miền 206 và số nút trên biên 54) 46

nút trên miền = 283 và số nút trên biên= 74) 46

số nút trên miền = 433 và số nút trên biên = 102) 47

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 10 CHƯƠNG 1 12 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 12 1.1 ĐIỀU KIỆN VẬT LÝ DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH

POISSON 12 1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 13 1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI

SỐ TUYẾN TÍNH 15 1.3.1 Phương pháp Gauss 15 1.3.2 Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình với ma trận

ba đường chéo 17 1.4 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 19 1.4.1 Định nghĩa bộ dữ liệu phân tán 19 1.4.2 Một số định nghĩa liên quan đến hàm Radial Basis

Function-RBF 19 1.4.3 Định nghĩa véc tơ trọng số 20 1.5 NỘI SUY HÀM RBF 20 1.5.1 Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian d

R 20 1.5.2 Nội suy với hàm cơ sở theo bán kính 21 1.6 PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN (Finite Different - FD) 22 1.6.1 Bài toán 22

1.6.2 Rời rạc bài toàn Dirichlet 23

1.6.3 Lược đồ sai phân hữu hạn giải bài toán Dirichlet với phương trình Poisson 23

CHƯƠNG 2 25

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BỘ DỮ LIỆU PHÂN TÁN TRONG KHÔNG GIAN 2D 25

2.1 PHƯƠNG PHÁP RBF-FD (Radial Basis Function Finite Different) 25

2.1.1 Véc tơ trọng số dựa vào hàm nội suy theo cơ sở bán kính25 2.1.2 Ma trận hệ số (ma trận cứng) 27

2.1.3 Lược đồ RBF 27

2.2 THUẬT TOÁN CHỌN BỘ TÂM HỖ TRỢ TÍNH HỆ SỐ NỘI SUY HÀM RBF 28

2.3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BỘ DỮ LIỆU PHÂN TÁN 32

2.3.1 Bộ tâm ngẫu nhiên 32

2.3.2 Cấu trúc Ngựa vằn (Zebra) 34

2.3.3 Cấu trúc co đều xung quanh các điểm có tọa độ nguyên 37 2.3.4 Làm mịn thích nghi 43

CHƯƠNG 3 50

THỬ NGHIỆM SỐ 50

3.1 GIAO DIỆN CHÍNH CỦA CHƯƠNG TRÌNH 50

3.2 SAI SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN THỬ NGHIỆM 50

3.2.1 Sai số 50

3.2.2 Các bài toán 51

3.3 KẾT QUẢ THỬ NGHIỆM 51

3.3.1 Thử nghiệm trên bộ sinh tâm ngẫu nhiên 51

3.3.2 Thử nghiệm trên cấu trúc ngựa vằn 52

3.3.3 Thử nghiệm trên bộ sinh tâm co đều xung quanh các điểm : 54

3.3.4 Thử nghiệm trên cấu trúc sinh tâm thích nghi 56

58

59

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 61

LỜI MỞ ĐẦU

Trong suốt thế kỷ XX một loạt các phương pháp số đã hình thành và phát triển như các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn v.v… đã đem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng các phương pháp toán học vào thực tiễn Các phương pháp vừa nêu nói chung đều là các phương pháp lưới Tuy nhiên, các phương pháp này còn nhiều hạn chế khi áp dụng vào lớp các bài toán thực tế có miền hình học hoặc dữ liệu phân bố quá phân tán

Vào khoảng những năm cuối của thế kỷ trước đã hình thành một xu hướng mới của các phương pháp số: Phương pháp không lưới Cũng như các phương pháp lưới, để giải các bài toán biên bằng phương pháp không lưới cũng cần thiết có các tập hợp nút, mà ở đây gọi là các bộ tâm để tính toán Từ

bộ tâm này ta xấp xỉ các toán tử vi phân bằng tổ hợp các giá trị của hàm tại các nút Phương pháp tìm các vectơ trọng số dựa trên các hàm cơ sở bán kính (RBF – Radial Basis Function) gọi là phương pháp dựa vào nội suy dữ liệu phân tán với các hàm cơ sở bán kính RBF – FD (Radial Basis Function – Finite Different) Khi áp dụng phương pháp này, khó khăn gặp phải là chọn

bộ tâm hỗ trợ cho việc tính véc tơ trọng số Nhờ sự giúp đỡ của TS Đặng Thị

Oanh, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài: “Xây dựng một số bộ dữ liệu phân tán

trong không gian 2D cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson” Mục đích của đề tài là xây dựng một số bộ tâm có cấu trúc đặc biệt

để test độ mạnh của một số thuật toán chọn tâm hỗ trợ cho tính véc tơ trong số hiện nay Trên cơ sở thực hiện các test sẽ rút ra được một số nhận xét nhằm

cải tiến việc chọn bộ tâm sao cho nội suy hàm RBF tốt hơn

Nội dung luận văn bao gồm 3 chương:

Chương 1: Một số kiến thức cơ sở

Chương này trình bày đ ;

;

; Nội suy RBF; Phương pháp sai phân

Chương 2: Một số phương pháp xây dựng bộ tâm dữ liệu phân

tán trong không gian 2D

Chương này nghiên cứu về phương pháp RBF-FD, xây dựng ma trận hệ

số, thuật toán chọn bộ tâm cho hệ số nội suy hàm RBF và chuyên sâu về nghiên cứu một số phương pháp xây dựng bộ dữ liệu phân tán như: sinh bộ tâm ngẫu nhiên, cấu trúc ngựa vằn, cấu trúc co đều xung quanh các điểm có tọa độ nguyên và làm mịn thích nghi

Chương 3: Thử nghiệm số

Chương này dành cho phần thử nghiệm phương pháp RBF-FD trên các

bộ tâm được sinh ra bởi các phương pháp trình bày trong chương 2

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 ĐIỀU KIỆN VẬT LÝ DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH POISSON [12]

Hay khi k1,k2, f không phụ thuộc vào uthì có phương trình tuyến tính

Nếu đến một lúc nào đó phân bố nhiệt trên bản mỏng vật chất đã ổn

định, không thay đổi theo thời gian nữa thì ta nói hiện tượng truyền nhiệt đã

dừng

Từ lúc đó nhiệt độ không thay đổi theo thời gian nên u 0

t và ta có phương trình truyền nhiệt dừng như sau:

Đối với phương trình Poisson hai chiều (1.7) điều kiện phụ cho tại biên của miền

Điều kiện phụ

u x y( , ) g x y( , ), ( , )x y (1.8) Gọi là điều kiện biên loại một hay điều kiện biên Dirichlet

Bài toán tìm hàm số u u x y( , ) thỏa mãn phương trình (1.7) với điều kiện biên (1.8) gọi là bài toán biên loại một hay bài toán biên Dirichlet đối với phương trình Poisson (1.7)

Ý nghĩa vật lý của bài toán này là nó mô tả sự phân bố nhiệt đã ổn định trong miền phẳng khi phân bố nhiệt độ tại biên của ổn định là g x y( , ) [12]

1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH [12]

Xét một hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số

A x

A (1.10) trong đó A j là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi cột b

Công thức (1.10) thường chỉ dành cho hệ với ma trận hệ số cỡ nhỏ, còn với ma trận cỡ lớn thì chi phí cho tính toán quá lớn Do đó, người ta đã đi xây dựng các phương pháp nhanh để giải hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn

là khai thác triệt để các thông tin về ma trận của hệ

Dưới đây là một số dạng đặc biệt của ma trận:

1) Ma trận đường chéo: Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là aij aji, với i j, được gọi là ma trận đường chéo

2) Nếu ma trận đường chéo có a ii 1, i 1, 2, , n thì ta gọi A là ma trận đơn vị và ta thường kí hiệu là E hoặc I

3) Ma trận tam giác trên: Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên, nếu A có dạng

21 22

0 0 0

Tức là aij 0 nếu i j

5) Ma trận thưa: Ma trận thưa là ma trận có rất nhiều phần tử bằng 0 6) Ma trận đối xứng: Ma trận A được gọi là ma trận đối xứng nếu A = A*, tức là aij a (i ji 1, 2, , n, j 1, 2, , n)

1.3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH [12]

1.3.1 Phương pháp Gauss [14]

Đây là phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình đại số tuyến tính Ý tưởng của phương pháp khử Gauss là khử dần các ẩn để đưa hệ ban đầu về hệ với ma trận tam giác trên bằng các phép biến đổi tương đương:

1) Đổi chỗ hai phương trình bất kì

2) Nhân một phương trình với một số khác không

3) Cộng vào phương trình một tổ hợp tuyến tính của một phương trình khác

Như vậy phương pháp Gauss gồm hai quá trình:

Quá trình thuận: Đưa hệ về dạng tam giác trên

Quá trình ngược: Giải hệ tam giác trên từ dưới lên trên

a) Quá trình thuận: Để viết gọn ta xét hệ

Bước 1: Dùng phương trình đầu tiên để khử x1trong n - 1 phương trình còn lại Giả sử a11 0(ta luôn có được điều này bằng cách đổi chỗ hai phương trình) Chia hai vế của phương trình thứ nhất cho a11 ta được phương trình:

1 12 2 1n n 1,n 1

x b x b x b (1.12)

Với

(0) 1

11

, 2, , 1.

j j

Như vậy sau bước 1 ta thu được phương trình (1.12) và hệ (1.13)

Bước 2: Dùng phương trình đầu tiên trong (1.13) khử x 2 trong các phương trình còn lại tương tự như đã làm trong bước 1 Quá trình được tiếp

tục như vậy Kết quả sau bước thứ m ta thu được hệ:

Cuối cùng, sau n bước khử ta thu được hệ phương trình với ma trận tam

giác trên sau đây:

x1 b x12 2 b x1n n b1,n 1

x2 b x2n n b2,n 1

(1.14)

diễn của x2 qua x3 Vì thế ta sẽ đi tìm nghiệm của hệ (1.18) trong dạng

x i i x i 1 i (1.20) trong đó i, i là các hệ số cần xác định Muốn vậy thế biểu thức

i i i n Khi i n 1 công thức (1.20) cho ta x n 1 n 1x n n 1 Thế biểu thức này vào phương trình cuối của hệ (1.18) ta tìm được

1 1

Tóm lại, phương pháp này gồm hai quá trình sau:

* Quá trình truy đuổi xuôi:

1.4 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.4.1 Định nghĩa bộ dữ liệu phân tán [8]

Cho miền trong không gian Ơcơlit d

R với biên Trong luận văn này sẽ dùng thuật ngữ ―Tâm‖ như là một điểm thuộc miền

Đinh nghĩa l.1 [9] (Tập các tập rời rạc ) Tập các tâm rời rạc là tất cả

các tâm, bao gồm cả các tâm nằm trong miền và các tâm nằm trên biên

Định nghĩa 1.2 [8] (Hàm bán kính) Hàm :R d R được gọi là hàm bán kính nếu tồn tại hàm một hàm : 0, R sao cho

x x với mọi d

x R

trong đó ||x||2 là chuẩn Euclide

Định nghĩa 1.3 [8] (hàm xác định dương) Hàm :R d R liên tục, được gọi

Định nghĩa 1.4 [8] hàm một biến : 0, R được gọi là xác định dương trên d

R nếu hàm nhiều biến tương ứng x x , d

x R là xác định dương

1.4.3 Định nghĩa véc tơ trọng số [8]

Cho D là toán tử vi phân tuyến tính và X x x1 , 2 ,x n là bộ tâm phân tán

đã được chọn trong không gian d

R Một xấp xỉ vi phân tuyến tính đối với toán tử D

Du x x u x (1.24)

được xác định bởi các trọng số wi wi x Khi đó w w , w , w1 2 n được gọi là véc tơ trọng số hay còn được gọi là stencil đối với toán tử vi phân D

1 , n T

y y1, , yn T

Bài toán (1.27) và (1.28) có thể giải được nếu det A 0

Định nghĩa 1.5 [8] Cho d

R và F C( ) là không gian tuyến tính hữu hạn chiều có cơ sở là B B1, 2, ,B n Ta nói F là không gian Haar trên nếu det A 0 với mọi bộ tâm phân biệt từng đôi một x x1, 2., ,x n trong , trong

đó ma trân A được định nghĩa bởi (1.28)

Định lý 1.1 [8] (Mairhuber Curtis) Giả sử rằng R d d, 2, chứa một điểm trong Khi đó không tồn tại không gian Haar của các hàm liên tục trên

Định lý Mairhuber Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải được bài toán nội suy dữ liệu phân tán nhiều biến thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu

Để thu được các không gian xấp xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét các hàm xác định dương và ma trận xác định dương

1.5.2 Nội suy với hàm cơ sở theo bán kính [8]

Vì hàm (x) vẫn là xác định dương khi r được nhân một số lớn hơn

Bảng 1.2: Một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng >0

Giả sử ( )x là hàm xác định dương và được xác định theo công thức

(1.29) Khi đó mà trận A của bài toán nội suy theo hàm ( )x có dạng

u f trong Ω (1.31)

u g (1.32)

Lưu ý rằng tất cả các chuẩn . trong luận văn này là chuẩn Ơcơlit .2

1.6.2 Rời rạc bài toàn Dirichlet

Bài toán (1.31) và (1.32) có thể được rời rạc với sự trợ giúp của công

Cho là tập hữu hạn các tâm rời rạc Kí hiệu: : và int

:= \ Với mỗi int, ta chọn một công thức vi phân tuyến tính đối với

toán tử Laplace ,

u w , u (1.33)

với là bộ tâm cho tính véc tơ trọng số w , ,w , R Ta thay thế

các w , vào bài toán (1.31) và (1.32), cuối cùng ta được hệ phương trình



,

w u f , int (1.34)

u g , (1.35)

Nếu hệ phương trình (1.34) – (1.35) không suy biến, tìm véc tơ nghiệm

xấp xỉ của hệ phương trình này có thể so sánh được với véc tơ u là nghiệm

chính xác của bài toán (1.31) – (1.32)

1.6.3 Lược đồ sai phân hữu hạn giải bài toán Dirichlet với phương trình

vuông và là tập các điểm nằm trên lưới đều với bước lưới h thì công thức

(1.33) là sai phân khuông 5- điểm đối với toán tử Laplace, hay

Nhận xét 2.1 Trong trường hợp miền Ω là hình chữ nhật hoặc hình

vuông thì phương pháp sai phân hữu hạn đơn giản vì các véc tơ trọng số giống nhau nên không cần chi phí tính các véc tơ trọng số và tốc độ hội tụ là

O(h 2 )

Ưu điểm : Dễ dàng thực hiện trên miền hình chữ nhật

Nhược điểm : Khó khăn khi thực hiện trên các miền có hình học phức tạp

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG BỘ DỮ LIỆU PHÂN TÁN

TRONG KHÔNG GIAN 2D 2.1 PHƯƠNG PHÁP RBF-FD (Radial Basis Function Finite Different)

2.1.1 Véc tơ trọng số dựa vào hàm nội suy theo cơ sở bán kính

Cho : [0; ) —> R là hàm xác định dương, : Rd —> R là hàm

bán kính thỏa mãn (x) := ||x||2), ||x||2 là chuẩn Euclide của x

X ={x1, x2, , xn} Rd là bộ tâm phân biệt từng đôi một, u : Rd —> R là

hàm liên tục Khi đó, s là hàm nội suy cơ sở theo bán kính của hàm u được viết dưới dạng:

s x a x x , (2.1)

( )s x i u x , i =1,2, ,n (2.2) ( )itrong đó a j được chọn sao cho thỏa mãn điều kiện nội suy (2.2) nghĩa là

Vì là hàm xác định dương nên ma trận |X là xác định dương với bộ tâm x

phân biệt từng đôi một Do đó, véc tơ a được xác định duy nhất bởi:

Hàm nội suy cơ sở bán kính s là một xấp xỉ tốt của hàm u nếu hàm u đủ trơn

và các tâm x x1, 2, ,x n R đủ dầy trong lân cận của x Hơn nữa, đạo hàm của d

hàm s cũng xấp xỉ tốt với đạo hàm của hàm u nếu hàm đủ trơn Vì vậy một

xấp xỉ của Du(x), trong đó D là một toán tử vi phân tuyến tính có thể được xét trong dạng:

1 1

số nội suy như trong công thức (2.6) và đó chính là tọa độ của véc tơ trọng số

w Vì vậy chúng ta có phương pháp tính véc tơ trọng số như sau :

Cho : R R là hàm xác định dương, X = {x1,x2,…,xn} Rd là bộ tâm phân biệt từng đôi một, hàm u R: d— R là hàm liên tục, D là toán tử vi phân tuyến tính và hàm nội suy s được biểu diễn dưới dạng (2.1) - (2.2) Khi đó véc

tơ trọng số w của vi phân số tại x được tìm bằng cách giải hệ phương trình

(2.6), hay véc tơ trọng số là các hệ số của nội suy hàm cơ sở bán kính với dữ liệu được cho bởi hàm D (x ) |X

2.1.2 Ma trận hệ số (ma trận cứng)

Ma trận cứng là ma trận có các dòng được tạo từ các véctơ trọng số mà

được xác định từ tập các tâm phân tán

Với mỗi x ta chọn bộ tâm xung quanh x, giả sử X x x1, 2, ,x n R d

Khi đó, ta có véctơ dòng của ma trận cứng ứng với x là nghiệm của hệ

Trong trường hợp tuyến tính, ma trận toàn cục là ma trận thưa (đa số các thành phần của nó bằng 0) và hệ phương trình này có thể giải được bằng cách

sử dụng phương pháp trực tiếp hoặc phương pháp lặp (phương pháp lặp Jacobi) để giải hệ phương trình toàn cục

Tóm lại, giải phương trình đạo hàm riêng sử dụng vectơ trọng số từ nội

suy hàm cơ sở theo bán kính gồm các bước sau:

Bước 1: Xác định sự phân bố các tâm trong miền tính toán Có nghĩa là xác định tạp các tâm nằm trên biên và các tâm nằm trong miền

Bước 2: Với mỗi nút trong , nằm trong miền xác định bộ các tâm nằm xung quanh Các tâm này là giá của vectơ trọng số và kí hiệu là , ,

Bước 5: Giải hệ phương trình toàn cục (1.34) (1.35) thu được

2.2 THUẬT TOÁN CHỌN BỘ TÂM HỖ TRỢ TÍNH HỆ SỐ NỘI SUY HÀM RBF

Với mỗi int, ta chọn tập Đặt , , ,1 k trong đó các điểm 1, 2, , k được sắp xếp theo chiều ngược chiều kim đồng hồ đối với Xét hàm chi phí sau

có thể đạt được giá trị cực tiểu duy nhất khi

1 k 2 /k, tức là, các tia i sẽ cách đều nhau nếu 1, 2, , k được chọn tùy ý trong R2 Tuy nhiên, các điểm này bị phụ thuộc vào sự phân bố của các điểm trong tập và vì vậy, mục đích thuật toán của ta là chọn

1 , 2 , , k sao cho 1, 2, , k đạt cực tiểu, trong khi vẫn giữ khoảng cách i nhỏ nhất có thể Để đạt được mục đích cân bằng giữa nhỏ và khoảng cách cũng nhỏ, ta đưa ra giới hạn là i phải được bao quanh bởi m

điểm gần nhất với và thuật toán dừng nếu tập , ,1 2 , k thỏa mãn

1 , 2 , , k u 1 , 2 , , k trong đó m k và u 1.0 là các tham biến được xác định theo kinh nghiệm

Thuật toán Chọn bộ tâm cho hệ số nội suy hàm RBF

a Ý tưởng thuật toán: Với mỗi int, chọn tập các tâm địa phương i với

i = 1, 2,…, k sao cho thỏa mãn điều kiện thứ nhất là các tia liền kề i và 1

i tạo thành các góc đều nhất tó thể và điều kiện thứ hai là các tâm ivới

I Tìm m điểm 1, 2, , m gần nhất với điều kiện 1, 2, , m thuộc

\ ,sắp xếp các điểm 1, 2, , mtheo chiều tăng dần theo khoảng cách đến , tập ban đầu chứa và k điểm đầu tiên,

1 2

, , , k

Nếu 1, 2, , k u 1, 2, , k thì STOP: trả về .

II For i = k +1, …,m :

Chọn p = j hoặc p = j + 1 phụ thuộc vào j 1 j 1hoặc j 1 j 1 STOP: trả

về , ,1 2 , k \ p

Nhận xét 0.1

1 Nếu thuật toán kết thúc trước Bước III thì chứa k + 1 điểm (bao

gồm cả ,Trái lại số điểm là k Chúng tôi chọn k = 6 để đảm, bảo rằng độ

thưa của

ma trận

, \

,

w của hệ phương trình tuyến tính (1.38)-(1.39) mà là kết

quả từ rời rạc RBF, hoàn toàn giống độ thưa của ma trận cứng của FEM

2 m điểm gần nhất trong Bước I có thể được tìm thấy hiệu quả theo hướng không lưới bằng cách sử dụng cấu trúc dữ liệu chuẩn như kd-tree

3 Dễ dàng thấy rằng việc chọn p trong Bước II(2)i đảm, bảo rằng