vật lí chất rắn đại cương chương 5 - khí điện tử tự do fermi

vật lí chất rắn đại cương chương 5 - khí điện tử tự do fermi tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bà...

Slide 1

Chương V Khí điện tử tự do Fermi

ách khỏi nguyên tử

vμ tạo ra trong tinh thể một khí điện tử ,

đường tự do lớn Không có va chạm

không bị tác động của các ion ,

ít va chạm nguyên lý Pauli.

Khí điện tử không tương tác, tuân theo nguyên lý Pauli được gọi lμ khí điện tử tự do Fermi.

ắTrong kim loại các điện tử hoá trị được coi như t

còn tại các nút mạng chỉ có các gốc ion.

ắCác khí điện tử nμy được coi lμ tự do:

-Quãng , ~10 8 -10 9 khoảng cách giữa các nguyên tử

ắMẫu điện tử tự do tồn tại được lμ nhờ các lý do sau:

Coulomb của các ion U(x)=0.

-Các điện tử dẫn rất với nhau do chúng phải tuân theo

ắ

Slide 2

V.1 Mức năng lượng vμ mật độ trạng thái trong trường hợp một chiều

dμi

Ψn (x)

ắGỉa sử điện tử có khối lượng m chuyển động giới hạn trong đoạn

ở 2 đầu của đoạn nμy có hμng Hμng rμo nμy thay cho các tương tác gĩư điện tử ở trong tinh thể

ắHμm sóng của điện tử được xác định bởi phương tr ỡ nh

dinger o Schr&& H ψ = εψ

dx

d i

Pˆ = ư h

n n 2 2 2 n

dx ) x ( d m 2

H Ψ ưh ψ = ε Ψ

Trong đó:

Toán tử Hamiltơn (bỏ qua thế nang)

trong đóm lμ toán tử động lượng

P H

2

ˆ

ˆ = 2

Pˆ

εn - n ă ng lượng điện tử ở trạng thái n được mô t ả bởi hμm sóng ψ n

Slide 3 -Điều kiện biên cố định: ψ

n (0)=0 vμ ψ n (L)=0

hμm

, vì có các rμo thế ở 2

đầu.

-Điều kiện biên trên được đáp ứng tự nhiên nếu hμm sóng có dạng

Thực vậy:

n L 2 L

n 2

1

; x 2 sin

n

λ

π

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ π

=

L

n sin A n

Hμm ψ n phải đáp ứng phương trình Schr o && dinger:

⎟

⎜

⎛ π

⎟

⎜

⎛ π

ư ψ

⎟

⎜

⎛ π π

= ψ

x L

n sin L

n A dx

d x L

n cos L

n A dx

2 2

A lμ hằng số

Hay

= n n n

2 ψ ε ψ

⎟

⎜

⎛ π L n m 2

2 h

Năng lượng lμ hμm bậc 2 của số lượng tử n

2 2 n

L

n m

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ π

=

Slide 4

Slide 5

suy biến nhiều hơn 1 Nguyên lý Pauli

n; m S =±1/2

n 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

Năng lượng FermiεF

- Mức năng lượng : Nếu số hμm sóng ứng với một giá trị cho

cùng các số lượng tử giống nhau, nghĩa lμ mỗi một hμm sóng mô tả một trạng thái có thể bị chiếm bởi không quá một điện tử

với định hướng của spin Trong một cặp trạng thái có số lượng tử n chung thì có 1 điện tử ứng với spin quay lên vμ 1 điện tử ứng với spin quay xuống.

Nếu hệ có 8 điện tử thì trong trạng thái cơ bản của hệ, việc chiếm các trạng thái riêng của điện tử sẽ tuân theo bảng dưới đây:

Điện tử chiếm 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

chiếm, nghĩa lμ khi n=n F 2n F =N ; trong đú N là số điện tử tổng cộng

Slide 6

T=0K

k ε

F ε

k

Trạng thái cơ bản của khí điện tử tự do

2 2 2 F 2 F

L 2

N m 2 L

n m

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ π

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ π

=

Trong trường hợp một chiều:

L n

Slide 7 V.2 Sự phụ thuộc vμo nhiệt độ của hμm phân bố Fermi-Dirac

Trạng thái cơ bản không tuyệt đối nhiệt độ tăng lên động năng của khí điện tử tăng

Fermi-Dirac :

trạng thái dưới mức Fermi bị chiếm, trên mức Fermi trống

Điện tử có năng lượng cao hơn mức Fermi chiếm các trạng thái trên mức Fermi → Để lại trạng thái trống dưới mức Fermi.

- Điện tử tuân theo hμm phân bố

1 T k / ( e

1 )

(

μ ε

= ε

học bằng năng lượng Fermi ở nhiệt độ thấp giá trị

.

Hμm Fermi-Dirac cho thấy xác suất điện tử chiếm trạng thái ứng với mức năng lượng ε ở nhiệt độ T

μ gọi lμ thế hoá học

μ gần với giá trị εF

Slide 8

Nhiệt độ Fermi

Slide 9 -Như vậy năng lượng Fermi lμ năng lượng của trạng thái cao

nhất có điện tử chiếm ở không độ tuyệt đối

f(ε) ≈ exp[(μ-ε)/kBT]

V.3 Khí điện tử tự do trong trường hợp 3 chiều

-Khi ε-μ >> kBT:

Hμm nμy gần với hμm phân bố Boltzmann.

Nếu điện tử bị giới hạn trong một thể tích hữu hạn có dạng hộp cạnh L thì nghiệm của phương trình nμy có dạng :

) ( ) ( z y x

2

2 2

2 2 2

r r

r r

∂

∂

∂

∂

∂

⎜⎜

ư

Phương trình đối với hạt tự do trong trường hợp 3 chiều :

V.3.1 Bμi toán ba chiều biên cố định

Slide 10

⎟

⎜

⎛ π

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛ π

⎟

⎜

⎛ π

=

L

n sin y L

n sin x L

n sin A

n r

Trong đó n x , n Y , n z lμ các số nguyên dương

ψ(x+L, y, z) = ψ(x, y, z)

- Sóng bị dập tắt tại bề mặt của khối hộp.

-Hμm sóng phải tuần hoμn theo x, y, z với chu kỳ L:

đối với biến y vμ z có điều kiện tương tự

V.3.2 Bμi toán với điều kiện biên tuần hoμn

;

L

4

; L

2

; 0

± π

±

=

Các thμnh phần của véctơ sóng đều có giá trị dạng trong đó n

- Điều kiện biên tuần hoμn thoả mãn khi:

r k

r r r i

ψ

kr

-Hμm sóng đáp ứng phương trỡnh Schrodinger đối với hạt tự do vμ

điều kiện biên tuần hoμn lμ sóng phẳng chạy:

Các thμnh phần véctơ sóng nhận các giá trị :

2nπ/L

âm hoặc dương

Slide 11

exp[ik x (x+L)]

= exp(ik x x)

= exp[i2nπ(x+L)/L] = exp(i2nπx/L).exp(i2nπ) = exp(i2nπx/L)

Thay hμm sóng k( )vμo phương trình Schrodinger

r ψ

) (

2 2

2 2 2 2 2 2

z y x

m k

ε

-Độ dμi của véctơ sóng liên hệ với bước sóng λ theo hệ thức:

k=2π/λ

ứng với động lượng p trong cơ học lượng tử có toán tử Nếu tác

động toán tử nμy lên hμm sóng ta có:

) ( k ) i ) (

k r

εk lμ giá trị năng lượng riêng của trạng thái với véctơ sóng

= ư ∇ih pˆ

- Toán tử động lượng:

r

h h

ψ

Như vậy sóng phẳng ψ k lμ hμm riêng của toán tử động lượng -Các giá trị riêng của toán tử động lượng lμpˆ kr

h

Slide 12

r k i e )

ψ

U(x)=0, sóng phẳng chạy

Hệ N điện tử tự do ở trạng thái cơ

bản, các trạng thái riêng biệt của

điện tử bị chiếm (các điểm trong không gian k)

Bán kính kFđược xác định từ:

m 2 /

kF2 2

F = h ε

k y

k z

k x

F

k r F ε

L 2π

εFlμ năng lượng của điện tử với véctơ sóng có độ dμi kF (mũi nhọn ở mặt Fermi).

Slide 13

-ở trạng thái cơ bản,

mặt Fermi

các trạng thái bị chiếm đ−ợc biểu diễn bằng các

điểm bên trong hình cầu trong không gian k

sóng có độ dμi bằng k F có đầu nhọn chạm mặt cầu, mặt cầu nμy đ−ợc

m

h

=

ε

N k 3

V ) L / 2 ( 3 /

F 2 3

3

= π

= π

π kF

-Tổng số trạng thái cho bằng số điện tử

3 / 1 2 F

V N 3

k =⎜⎜⎛ π ⎟⎟⎞

kr

m / k

v r h

→

trong trạng thái với véctơ sóng :

-Số các trạng thái cho phép bằng:

Vận tốc hạt

Slide 14

Bán kính cầu Fermi k F chỉ phụ thuộc vμo mật độ hạt N/V mμ không phụ thuộc vμo khối l−ợng m

3 / 2 2

2 3

2 ⎜⎜⎛ ⎟⎟⎞

=

V

N m F

π

ε h

Cu cóεF =7eV

Vận tốc điện tử trên mặt Fermi

3 / 1 2 F F

V N 3 m m

k

v =h =h⎜⎜⎛ π ⎟⎟⎞

năng l−ợngε

V.3 3 Mật độ trạng thái

2 / 3

2 2

3 / 2 2 2

2 3 3

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟

⎞

⎜⎜

⎛

=

h

F

m V N hay V

N m

ε

Mật độ trạng thái tại mức năng l−ợng Fermi

2 / 1 2 / 3 2 2

2 2 )

F F

m V d

dN

h

Slide 15 Ta có thể thu đ−ợc kết quả đơn giản hơn:

F F F

d N

dN const

3 Hay ln

2

3

F F F

N d

dN

3 )

V.4 Nhiệt dung của khí điện tử

gấp 100 lần

-Nguyên lí Pauli khí điện tử Fermi không phải tất cả các điện tử có năng l−ợng lμ k B T

Nh− vậy mật độ trạng thái hay số trạng thái trên một khoảng đơn vị năng l−ợng gần mức Fermi tỷ lệ với tỷ số của số điện tử dẫn với năng l−ợng Fermi

-Khi nâng từ 0K lên nhiệt độ T, chỉ có các điện tử ở các trạng thái ứng

với năng l−ợng

Slide 16

Slide 17

Nếu N lμ tổng số điện tử, khi nhiệt độ tăng từ 0 lên T độ , số điện tử

đ−ợc kích thích nhiệt

k B T

ΔE kích thích nhiệt

, có năng l−ợng trong vùng k B T ở phần trên của phân bố năng l−ợng, l à

Mỗi một điện tử c ú năng l−ợng nhiệt d− cỡ vμ tổng năng l−ợng

của các điện tử lμ:

T k T

NT

F

≈ Δ

Nhiệt dung của điện tử

F B ele

T

T Nk

∂ Δ

∂

= T E

C ele ~T

C ele ở nhiệt độ thấp k B T<<εF

đúng nh− thực nghiệm vμ nhỏ hơn giá trị cổ điểnkhỏang100 lần nếu T F ~5.10 4 K

ắTa t ỡ m biểu thức chính xác hơn đối với

Sự thay đổi tổng cộng n ă ng l−ợng ΔE của điện tử

)d D(

)d D(

) (

F

0

=

ΔE ∞f ε ε ε ε εε ε ε

Slide 18 f(ε) lμ hμm phân bố Fermi-Dirac, tại 0K f(ε)=1 ; D(ε) lμ hμm mật độ

trạng thái.

0

) ( ) (

N f ε Dε dε

∫

∞

=

0

) ( ) (ε ε ε ε

εF N F f D d

-Lấy đạo hμm ΔE vμ ε F N

∫

∞

= Δ

=

f ) D(

T

E ε ε ∂∂ ε

∂

∂

d

C ele

∫

=

∂

∂

d D F F

T

f ) ( T

N 0

∫

∞

−

= Δ

=

0

) ( T

f ) ( T

∂

∂

∂

∂

d D

∫

∞

−

≈

f ) ( ) (ε ε ε ∂∂ ε

d D

Slide 19

2 2

} 1 ] / ) {exp[(

] / ) exp[(

T

f

+

ư

ư

ư

=

T k T k T

B F B

F

ε

ε ε ε ε

ε

∂

∂

ư k T x

x B

F ele

B

dx e

e x T k D C

2 2

) 1 ( )

( ε

ε

V ỡ e x rất nhỏ khi vμ ở nhiệt độ thấp giới hạn dưới của tích phân thay bằng

x=-ε F /k B T -∞

3 dx ) 1 e ( e x

2 2 x x

+

∫

∞

∞

ư

T k D

C ele F B

2 2 ) ( 3

1 π ε

=

F F F F F

T k N N d

dN

Dε = ε = ε = ; =ε

2 3 2

3 )

(

Ta lại có

F B 2 2 B F B 2 ele

T

T Nk 2

1 T k T k N 3 3

1

Vậy

Slide 20 ắNhiệt dung của kim loại

-Nhiệt dung tổng cộng của kim loại ở nhiệt độ T <<T F vμ T<< θ D :

γ, α lμ các hằng số

γT lμ phần nhiệt dung của điện tử ( đóng góp của điện tử ).

αT 3 lμ phần nhiệt dung của mạng ( đóng góp của Phonon ).

-Phần nhiệt dung của điện tử tuyến tính với T nên chiếm ưu thế ở nhiệt

T T

C=γ+α

-giá trịγexp đo được bằng thực nghiệm không trùng với giá trị lý thuyết:

F B 2 free

T T Nk 2 1

2 ) ( 3

0 2 2 2

F B B F free

z k N k D

ε

π ε π

Trong đó lấy N ; N 0 lμ số Avogadro, z- hoá trị của nguyên tố

F F

3 ) ( =

-Thông thường người ta thay m th khối lượng điện tử nhiệt cho khí điện tử dẫn trong kim loại:

hiệu dụng

; exp

*

free th

m

m

γ

γ

=

Slide 21

Slide 22

ắTỷ số mth*/m khác 1

khối lượng hiệu dụng vùng

lμm biến dạng mạng tinh thể

cực phổ Polaron

vì các nguyên nhân sau:

mạng tinh thể bất động Khối lượng hiệu dụng trong trường thế như vậy gọi lμ

tử hướng tới việc phân cực hoá hay

quanh nó Trong các tinh thể ion hiện

chuyển động vμ tác động lên các điện tử của khí điện

tử quanh nó lμm cho khối lượng hiệu dụng của nó tăng lên

Slide 23

-Động lượng của điện tử tự do liên hệ với véctơ sóng :

hay

k v

h

h

r =

) B v E ( e

Fr=ư r+rìr

-Điện trường

V.5 Độ dẫn điện, định luật Ohm

E vμ từ trường B tác dụng lên điện tử một lực :

- Phương trình chuyển động của điện tử

) B v E ( e dt k dt

v m

h

khi B = 0

r h r

) 0 ( k ) t (

Sau khi đặt điện trường , các điện tử điền đầy cầu Fermi nhưng tâm của cầu Fermi dịch khỏi gốc toạ độ một đoạn :

Er

kr

δ

h

t E e

δ

độ dịch chuyển tĩch của cầu Fermi trong thời gian trung bình τ giữa

E e k h

Slide 24

k δ

Slide 25

Số gia của vận tốc : δ v r

m / E e v m

k v τ

ư

= δ

δ

= δ r r

r h r

Mật độ dòng gây bởi điện trường Erlμ:

m / E ne v nq

v

τ

= δ

=

trong đó nδvrlμ số hạt qua đơn vị thiết diện trong đơn vị thời gian

Độ dẫn điện σ theo định nghĩa lμ hệ số tỉ lệ giữa mật độ dòng r jvμ điện trường

E r

m

ne2τ

= σ

Điện trở suất ρ lμ đại lượng tỷ lệ nghịch của độ dẫn điện:

τ

= σ

=

ne m 1

t m E e t m

F v dt

v m a m

F = = hay δ = δ = ư δ

r r

E J

r = σ r

Slide 26

Có thể hiểu công thức trên như sau:

e/m

τ gọi lμ thời gian hồi phục khoảng thời gian mμ điện trường tác dụng

l=vFτ

nằm gần mặt Fermi

mật độ điện tích -Số nhân xuất hiện lμ do gia tốc của điện tích ne trong

điện trường đã cho tỷ lệ thuận với giá trị của điện tích vμ tỷ

lệ nghịch với khối lượng

lên hạt tải điện tích tự do.

Khái niệm quãng đường tự do trung bình l của điện tử dẫn:

vF lμ vận tốc điện tử trên bề mặt cầu Fermi.

-Tất cả các va đập chỉ xảy ra đối với phần các điện tử trong không gian k

Slide 27

-Trong đa số kim loại có điện trở ở 300K lμ do va đập của điện tử dẫn

nguyên tử tạp chất vμ các sai hỏng của mạng

chứa tạp

ρ=ρ L +ρ I

Matthiessen

vμo nhiệt độ.

Kết quả thực nghiệm

ρL ~T ở

còn ở nhiệt độ Heli lỏng

như nút khuyết, lệch mạng

-Điện trở suất ρ của kim loại chất có thể viết dưới dạng:

tán xạ của điện tử trên

tạp ít thì

ắ về điện trở của kim loại:

Khi ngoại suy đồ thị tới T=0K ta được

điện trở suất dư, giá trị nμy tương đương với ρ I vì ρ L → 0 khi T → 0K.

nhiệt độ cao

ở nhiệt độ thấp

ρI

tạp chất

ρ

T

0

Slide 28

- Hệ số dẫn nhiệt trong đó v lμ vận tốc hạt, C lμ nhiệt dung riêng của

đơn vị thể tích khí, l lμ quãng đường tự do trung bình

l Cv 3

1

K=

V.6 Độ dẫn nhiệt của kim loại

Ta xác định độ dẫn nhiệt cuả khí điện tử tự

do Fermi :

F F B

F B 2 F

B B 2 el

T k

T

T Nk 2

1 T k Nk 2

1 C ε

=

π

= ε π

=

2 F

2

1

= ε

Mặt khác

Slide 29

Hệ số dẫn nhiệt do điện tử :

m 3 T nk l v mv

T nk 3 K l Cv 3

F 2 F

2 B 2 ele

τ π

= π

=

=

trong đó l = vFτ τ

n

hạt dẫn chủ yếu

điện tử

pha tạp 2 phần nμy có thể cùng cỡ với nhau.

, còn lμ thời gian trung bình giữa các va đập, lμ nồng độ điện tử.

- Kim loại dẫn nhiệt tốt hơn điện môi 10-102lần do

đó:

khiết sẽ lμ chứ không phải phonon

Trong kim loại thì

Slide 30

-ở nhiệt độ rất thấp tỷ số giữa hệ số dẫn nhiệt vμ dẫn điện riêng

tỷ lệ thuận với nhiệt độ không phụ thuộc vμo tính chất hoá học

của

kim loại

T e k 3 m / ne m 3 / Tn k

2 2 B 2

⎟

⎜ π τ τ π σ

Hệ số tỷ lệ gọi lμ hằng số Lorentz

T

K L

σ

= 2

B 2

e k 3

L π ⎜ ⎟= 2,45.10-8WΩ/độ2

ở nhiệt độ thấp ( ) giá trị có xu hướng vì ở nhiệt

độ thấp quá trình va

.

Thực nghiệm: LAg(00C)=2,31.10-8WΩ/độ2

LAg(1000C)=2,37.10-8WΩ/độ2

LAu(00C)=2,35.10-8WΩ/độ2

LAu(1000C)=2,40.10-8WΩ/độ2

đập đặc trưng cho dẫn điện vμ nhiệt khác nhau do đó thời gian hồi phục τ th vμ τ el khác nhau

V.7 Định luật Wiedemann-Franz

Slide 31

V.8 Phản ứng điện môi của khí điện tử

- Nếu không có va đập thì phương trình chuyển động của điện tử tự

dt x d

m 2

2

t

ω

e E

; e X x 2 2

m

eE X eE mX

ω

=

ư ω

ư hay

m E e eX p

ω

ư

ư

Mô men phân cực của đơn vị thể tích

2 2 m E ne neX

Hằng số điện môi:

ε lμ hằng số điện môi.

) P E ( D

ω

+ ε

= 0

2 0 2

0

ne 1 ) ( E ) ( P 1 ) ( E ) ( D ) (

ω ε

ư

= ω ε

ω +

= ω ε

ω

= ω ε

Trong đó ξ lμ điện trường xoay chiều.

- x vμ ξ phụ thuộc vμo thời gian :

Sự liên hệ giữa điện trường vμ cảm ứng điện khi có phân cực:

Slide 32

Sự phụ thuộc của hằng số

điện môi vμo tần số điện trường của một hệ khí

điện tử :

m ne

0

2 2

ω

2

2 p

1 ) (

ω

ω

ư

= ω ε

Tần số plasma:

Slide 33 ắ Truyền sóng điện từ trong plasma

bị phản xạ hoμn toμn lọc tần

trong suốt đối với sóng có tần số ω>ω P

ω2 =ω P 2 +c 2 k 2

tần số plasma ω P vμ bước sóng λ P ≡ 2πc/ω P

-ở tần số nhỏ hơn ωPthì ε(ω)<0

-Từ phương trình sóng ta có định luật tán sắc có dạng:

ω2ε(ω)=c2k2

- Sóng có dạng exp(-|k|x), với tần số trong khoảng 0<ω≤ω P tới

trong vùng nμy hμm điện môi dương:

với nồng độ điện tử n:

n (số điện tử/cm 3 ) 10 22 10 18 10 14 10 10

ωP (độ/sec) 5,7.10 15 5,7.10 13 5,7.10 11 5,7.10 9

λP (cm) 3,3.10 -5 3,3.10 -3 0,33 33

Slide 34

Slide 35

Bức xạ điện từ sẽ lan truyền

nhỏ hơn λP

trong môi trường chỉ trong trường hợp nếu trong không gian tự do bước sóng của nó Trong trường hợp ngược lại sẽ xảy ra phản xạ.

Từ kết quả trên suy ra:

-ánh sáng thường vμ sóng radio bị kim loại phản xạ.

-ánh sáng tử ngoại, bức xạ rơn-gen đi qua được kim loại -Tầng điện li của khí quyển phản xạ sóng điện từ vô tuyến tần số cao trở xuống.

Giá trị λPcủa các kim loại kiềm, các sóng có λ<λPtruyền qua được các mμng kim loại nμy.

Kim loại Li Na K Rb Cs

λP (tính) A 0 1550 2090 2870 3220 2620

λP (thực nghiệm) A 0 1550 2100 3150 3400 2620

Slide 36

0

0

2 = ε ρ ϕ

∇

2 e[ n ) n0]

0

ư ε

= ϕ

trong đó ϕ(r) lμ thế tĩnh điện, n(r)-n 0 : sự chênh lệch nồng độ điện tử

V.9 Hiệu ứng mμn chắn

điện tử gần điện tích q bị kích thích ,

-Điện trường gây bởi điện tích q giảm mạnh

q bị chắn

chiều dμi chắn khoảng cách lớn hơn hiệu ứng cμng thấy rõ cho tới lúc chắn hoμn toμn.

-Nếu ta đưa một điện tích điểm q vμo trong kim loại thì

kết quả lμ điện trường của điện tích bị rơi vμo một trường khử

-Trường khử nμy sinh ra do sự vi phạm độ đồng nhất của mật độ điện tử

theo khoảng cách Trong trường hợp nμy ta nói điện tích bởi khí điện tử

-Để mô tả hiện tượng nμy ta đưa ra một thông số gọi lμ

ở khoảng cách nhỏ hơn chiều dμi nμy hiệu ứng chắn không thấy rõ, còn ở

-Phương trình Poisson :