Lê Trọng Châu – ST> NHẨM NGHIỆM ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Nhiều bạn khi nói đến nhẩm nghiệm đều băn khoăn là nhẩm những con số nào?. Chẳng lẽ cứ nhẩm “vu vơ” may ra thì được?.
Trang 1Lê Trọng Châu – ST> NHẨM NGHIỆM ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Nhiều bạn khi nói đến nhẩm nghiệm đều băn khoăn là nhẩm những con số nào ? Chẳng lẽ cứ nhẩm “vu vơ” may ra thì được ? Xin “mách” các bạn nguyên tắc nhẩm (dựa trên kết quả đã được khẳng định nhưng không trình bày trong chương trình sách giáo khoa)
Nguyên tắc cơ bản:
1) Cho đa thức ẩn x với hệ số nguyên
f(x) = a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an có nghiệm hữu tỉ thì p là ước của an và
q là ước của a0
Hệ quả : Nếu a0 = 1 thì mọi nghiệm hữu tỉ của f(x) đều là nghiệm nguyên
và nghiệm nguyên này là ước của số hạng tự do an
2) Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì x - a là một nhân tử khi phân tích f(x) về dạng tích Chúng ta theo dõi một ví dụ đơn giản
sau :
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức x2 - 9x + 14 thành nhân tử
Nhẩm nghiệm : Ta thấy nghiệm nguyên nếu có của f(x) sẽ là ước của 14 Nhẩm thử sẽ tìm ra nghiệm x = 2 (có bạn nhẩm ra x = 7 trước !) Từ đó ta
có x - 2 phải là một nhân tử của f(x) (nếu nhẩm được x = 7 thì nhận định
có một nhân tử là x - 7)
Lời giải : Khi bạn nhẩm được nghiệm x = 2
Cách 1 : x2 - 9x + 14 = x2 - 2x - 7x + 14 = x(x - 2) - 7(x - 2) = (x - 2)(x - 7)
Cách 2 : x2 - 9x + 14 = x2 - 4 - 9x + 18 = (x + 2)(x - 2) - 9(x - 2) = (x - 2) (x - 7)
Khi bạn nhẩm được nghiệm x = 7
Cách 1 : x2 - 9x + 14 = x2 - 49 - 9x + 63 = (x - 7)(x + 7) - 9(x - 7) = (x - 7) (x - 2)
Cách 2 : x2 - 9x + 14 = x2 - 7x - 2x + 14 = x(x - 7) - 2(x - 7) = (x - 7)(x - 2)
Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử
f(n) = 5n3 + 15n2 + 10n
Tìm lời giải : Ta có f(n) = 5n3 + 15n2 + + 10n = 5n(n2 + 3n + 2) Nhẩm nghiệm của đa thức n2 + 3n + 2 ta được n = -1 (hoặc n = -2)
Lời giải : f(n) = 5n3 + 15n2 + 10n = 5n(n2 + 3n + 2) = 5n(n2 + n + 2n + 2)
= 5n[n(n + 1) + 2(n + 1)] = 5n(n + 1)(n + 2)
Chú ý : Từ kết quả trên có thể chứng minh f(n) chia hết cho 30 với mọi số
nguyên n
Thí dụ dưới đây để các bạn lưu ý về tác dụng của ẩn phụ
Ví dụ 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử P(x) = (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 12
Tìm lời giải : Đặt t = x2 + 3x + 1 thì đa thức trở thành f(t) = t(t + 1) - 12 =
t2 + t - 12 Nhẩm nghiệm trong các ước của 12 ta có nghiệm t = 3 (hoặc t
= -4)
Trang 2Lê Trọng Châu – ST>
Lời giải : Ta có f(t) = t2 - 3t + 4t - 12 = t(t - 3) + 4(t - 3) = (t - 3)(t + 4)
Do đó :
P(x) = (x2 + 3x + 1 - 3)(x2 + 3x + 1 + 4) = (x2 + 3x - 2)(x2 + 3x + 5) Mời các bạn thử làm các bài tập sau :
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15 ; b) (x2+ 8x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 ;
2) Chứng minh P = (x2 + 1)4 + 9(x2 + 1)3 + + 21(x2 + 1)2 - x2 - 31 ≥ 0 với mọi x 3) Chứng minh Q = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 là số chính phương với mọi số nguyên x