Tài liệu xác suất thống kê - chương 6 - Lý thuyết ước lượng pot

Nguyễn Công Trí ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH VÀ ƯỚC LƯỢNG CÓ HIỆU QUẢ q Một thống kê được gọi là ư ùc lư ïng trung bình hay kỳ vọng của thống kê đó bằng với tham số tổng thể.. Tuy nhiên, mới th

Trang 1

Ths Nguyễn Công Trí

LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG

1 Ư ÙC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH VÀ Ư ÙC

2 Ư ÙC LƯỢNG ĐIỂM VÀ Ư ÙC LƯỢNG

3 Ư ÙC LƯ ÏNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA CÁC

4 Ư ÙC LƯỢNG HỢP LÝ TỐI ĐA (Xem)

CHƯƠNG 6

ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH VÀ ƯỚC LƯỢNG CÓ HIỆU QUẢ

q Một thống kê được gọi là ư ùc lư ïng

trung bình hay kỳ vọng của thống kê đó bằng với tham số tổng thể Giá trị tương ứng của thống kê được gọi làư ùc lư ïng không

q VÍ DỤ 6.1 Trung bình và phương sai là các ư ùc lư ïng không chệch của trung bình tổng thể m và phương sai s 2 nên các giá trị và đều là các ư ùc lư ïng không chệch Tuy nhiên, mới thự sự là ư ùc lư ïng chệch của s vì tổng quát ta có

Sˆ

s

¹ )

(S

E

x

2

ˆs

q Nếu luật phân phối mẫu của hai thống kê

có cùng trung bình thì thống kê nào ứng với

phương sai nhỏ hơn thì thống kê đó được gọi

ta mong muốn được cả hai tiêu chuẩn trên,

nhưng điều đó khó có thể xảy ra.

q VÍ DỤ 6.2 Với một tổng thể có phân phối

chuẩn, trung bình và trung vị mẫu sẽ có

cùng giá trị là trung bình, được gọi chung là

trung bình của tổng thể Tuy nhiên, phương

sai của các trung bình mẫu thì nhỏ hơn

phương sai của các trung vị mẫu nên trung

bình cho ta một ư ùc ư ùc lư ïng hiệu quả hơn

trung vị.

qMột ư ùc lư ïng tham số của tổng thể được cho bởi một con số thì được gọi là ư ùc

tham số của tổng thể được cho bởi hai con số mà tham số của tổng thể có thể nằm giữa hai số đó được gọi là ư ùc lư ïng

qVÍ DỤ 6.3 Nếu ta nói khoảng cách là 1,60m thì ta nói về ư ùc lư ïng điểm Còn nếu

ta nói khoảng cách là 1,60 ± 0,03 m, nghĩa là khoảng cách từ 1,57m đến 1,63 m, thì ta đã nói về ư ùc lư ïng khoảng.

ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM VÀ ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG

q Gọi m s và s s lần lư ït là trung bình và độ

lệch chuẩn (sai số chuẩn) của phân phối

thống kê mẫu S Nếu phân phối mẫu S có

thể xấp xỉ phân phối chuẩn (điều này có thể

được nếu kích thư ùc mẫu n ³ 30), ta có thể

hy vọng tìm được S nằm trong khoảng m S – s S

đến m S + s S ; từ m S – 2s S đến m S + 2s S ; từ m S – 3s S

đến m S + 3s S độ khoảng 68,27%, 95,45%, và

99,73%.q

KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỔNG THỂ

q Một phát biểu tương đương, ta tin rằng có thể tìm được m s trong khoảng S ± ks S (k = 1, 2, 3) đúng đến 68,27%, 95,45%, và 99,73% Chính vì lý do đó, ta gọi khoảng trên là

dùng để ư ùc lư ïng m s (thống kê S là ư ùc

lư ïng không chệch) Các số ks S (k = 1, 2, 3) được gọi là độ chính xác của ư ùc lư ïng.

q Tương tự, S ± 1,96s S và S ± 2,58s S làđộ tin cậy95% và 99% của m s , ký hiệuđộ tin cậy

1 a Các số 1,96, 2,58, được gọi làcác giá trị tới hạn, ký hiệu za

Nếu ta có độ tin cậy, ta có thể tìm được giá trị tới hạn và ngư ïc lại, nếu ta có giá trị tới hạn, ta có thể tìm được độ tin cậy.

ong

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com http://nctri.co.cc

Trang 2

q Trong Bảng 6-1 ta cho các giá trị của

tương ứng với các độ tin cậy khác nhau,

được sử dụng trong thự hành Với các độ

tin cậy không có trong bảng này, các giá trị

của za có thể tra bảng phân phối chuẩn

trong Phụ lục II.

Bảng 6 1

q Trư øng hợp thống kê có phân phối mẫu

khác với phân phối chuẩn (phân phối c 2 , t,

F), ta có thể sửa đổi cho phù hợp để tìm

khoảng tin cậy của các ư ùc lư ïng.

0,6745 1,28 1,645 1,96 2,05 2,33 2,58

za

50%

80%

90%

95%

96%

98%

99%

Độ tin cậy

3.1 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH (Xem)

3.2 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ (Xem)

3.3 KHOẢNG TIN CẬY CỦA HIỆU VÀ TỔNG

(Xem)

3.4 KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI CÓ

3.5 KHOẢNG TIN CẬY TỶ LỆ PHƯƠNG SAI

(Xem)

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA CÁC THAM SỐ TỔNG THỂ

1 TRƯỜNG HỢP MẪU LỚN (n ³ 30) Khoảng tin

cậy trung bình của tổng thể có 2 tr ờng hợp:

qChọn mẫu từ tổng thể vô hạn hay chọn

mẫu có hoàn lại từ tổng thể h õu hạn, ta có

(1)

qChọn mẫu không hoàn lại từ tổng thể h õu

hạn có kích thư ùc N, ta có

(2)

qTổng quát, nếu chưa biết độ lệch chuẩn

của tổng thể s, ta thay s bởi S hay .

KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH

a

s

±

X z n

a

s

-±

-1

N n

X z

N n

ˆS

2 TRƯ ØNG HỢP MẪU NHỎ (n < 30) VÀ TỔNG THỂ CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN.

Khoảng tin cậy trung bình của tổng thể

(3) Trong đó t a (n – 1) bậc tự do, tra từ bảng III

qSo sánh hai biểu thứ (3) và (1) cho thấy đối với mẫu nhỏ ta thay z a bằng t a Với mẫu

n ³ 30, z a và t a bằng nhau

qChú ý, thuận lợi trong lý thuyết chọn mẫu nhỏ là ta có thể dùng độ lệch chuẩn mẫu S thay cho s của tổng thể thư øng chưa biết

ˆ

X t n

S

a

±

KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH

Với mẫu có kích thư ùc n ³ 30 được chọn từ

một tổng thể có phân phối nhị thứ Khoảng

tin cậy P của tỷ lệ tổng thể làf ± z a s f, trong

đóf là tỷ lệ thành công trong mẫu

qTrư øng hợp chọn mẫu từ tổng thể vô hạn

hay chọn mẫu có hoàn lại từ tổng thể h õu

hạn

(4)

qTrư øng hợp chọn mẫu không hoàn lại từ

tổng thể h õu hạn có kích thư ùc N là

(5)

KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ

(1 )

f z

n

a

-±

(1 )

1

f z

a

-

-±

-Nếu S 1 và S 2 là hai thống kê mẫu với phân phối mẫu xấp xỉ phân phối chuẩn khoảng tin cậy của hiệu hai tham số tổng thể tương ứng lần lư ït với với S 1 và S 2 là

(6) Khoảng tin cậy của tổng hai tham số tổng thể

(7) điều kiện là các mẫu độc lập.

Ví dụ, khoảng tin cậy của hiệu hai trung bình tổng thể, trong tr ờng hợp các tổng thể vô hạn và biết độ lệch chuẩn s 1 , s 2 được cho bởi biểu thứ (8)

KHOẢNG TIN CẬY CỦA HIỆU VÀ TỔNG

2 2

S -S ±z a s - =S -S ±z a s +s

2 2

S +S ±z a s + =S +S ±z a s +s

ong

Trang 3

(8) trong đó n 1 và n 2 lần lư ït là kích thư ùc mẫu

của hai mẫu được chọn từ hai tổng thể.

Tương tự, khoảng tin cậy hiệu của hai tỷ lệ

tổng thể, trong đó các tổng thể đều vô hạn

được cho bởi

(9) trong đó f 1 , f 2 là tỷ lệ và n 1 , n 2 là kích thư ùc

của hai mẫu được chọn từ hai tổng thể.

1 2

f f f f

f f z

a

phân phối chi bình phương với n–1 bậc tự do cho ta khoảng tin cậy của s 2 hay s

với a khá bé ta có thể tìm c 2

/2 (n–1) và

c 2 -a/2 (n–1) sao cho P(c 2

-a/2 < c 2 < c 2

/2 )=1 - a Ước lư ïng cho s 2 có thể nằm trong khoảng

Ước lư ïng cho s có thể nằm trong khoảng

KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN

2/ 2 ( 1)ˆ2/ 2

nS s = n- S s

2

(n 1)S (n 1)S

s

-< <

s

c / 2< <c1-/ 2

2

/ 2 1 / 2

s

c < <c

-/ 2 1 / 2

s

-< -<

Lư ý rằng nếu hai mẫu ngẫu nhiên độc lập

có kích thư ùc lần lư ït là m và n và phương

sai là S 1 và S 2 được chọn từ hai tổng thể có

phân phối chuẩn với phương sai lần lư ït là

s 1 và s 2 thì đ ïi ư ïng ngẫu nhiên

có phân phốiF với m-1, n-1 bậc tự do

với a khá bé ta có thể tìm được F a (m–1)(n–1)

và F 1 - (m–1)(n–1) sao cho P(F a < F < F 1-a )=1-a

Tỷ lệ phương sai của hai tổng thể được cho

KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ PHƯƠNG SAI

2 2 2 2

/ ˆ / ˆ

s

s S S

2 2

1 1 1

2 2

ˆ /

S

s

2

s s

Giả sử một tổng thể có có hàm mật độf(x,

q) Giả sử có n quan sát độc lập X l , , X n có hàm mật độ đồng thời là

L = f(x 1 , q)f(x 2 , q)… f(x n , q) (13) hàm này được gọi làhàm hợp lý

Để tiện lợi, đ àu tiên lấy logarit hai vế, rồi lấy

đ ïo hàm theo q và cho đ ïo hàm bằng

Giải phương trình, tìm q trong các số hạng của x k , gọi làư ùc lư ïng hợp lý tối đ của

q Phương pháp này có khả năng tổng quát hóa cho tr ờng hợp có nhiều tham số.

ƯỚC LƯỢNG HỢP LÝ TỐI ĐA

0 ) , ( ) , ( 1

) , ( ) , (

1

=

¶

¶ + +

¶

q

q q q

q

x f x f x f x f

1 Ư ÙC LƯ ÏNG KHÔNG CHỆCH VÀ Ư ÙC

LƯỢNG CÓ HIỆU QUẢ [1] [2] [3] [4] [29] [30] [31]

2 Ư ÙC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA

TRUNG BÌNH (MẪU LỚN) [5] [6] [7] [8] [9] [32] [33] [34] [35] [36]

3 Ư ÙC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA

TRUNG BÌNH (MẪU NHỎ) [10] [11] [12] [37] [38] [39]

3 Ư ÙC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ

[13] [14*] [15] [40] [41] [42]

BÀI TẬP CHƯƠNG 6

4 KHOẢNG TIN CẬY CỦA HIỆU VÀ TỔNG [16] [17] [18] [43] [44] [45]

5 KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI [19] [20] [21] [22] [46] [47] [48] [49] [50]

6 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ PHƯƠNG SAI [23] [24] [51] [52] [53] [54]

7 ƯỚC LƯỢNG HỢP LÝ TỐI ĐA [25] [26] [55] [56] [57]

8 CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP [27] [28] [58] [59]

BÀI TẬP CHƯƠNG 6

ong

Trang 4

LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG

6.1 Cho các ví dụ về ước lượng là (a) ước lượng không chệch và hiệu quả, (b) ước

lượng không chệch và không hiệu quả, (c) ước lượng chệch và không hiệu quả.

6.2 Một mẫu gồm năm độ đo đường kính của một quả cầu do một nhà khoa học ghi

nhận là 6,33; 6,37; 6,36; 6,32, và 6,37 cm Hãy xác định ước lượng không chệch và hiệu quả của (a) trung bình thực, (b) phương sai thực Giả sử đường kính đo được có phân phối chuẩn.

Đs (a) 6,35 cm; (b) 0,00055 cm2 6.3 Giả sử chiều cao của 100 sinh viên nữ ở trường Đại học XYZ một mẫu ngẫu

nhiên đại diện cho tất cả chiều cao của 1.546 sinh viên nữ ở trường đại học này Hãy xác định ước lượng không chệch và có hiệu quả của (a) trung bình thực, (b) phương sai thực.

Chiều cao (inches)

Số sinh viên

60 – 62

63 – 65

66 – 68

69 – 71

72 – 74

5 18 42 27 8

Đs (a) 67,45; (b) 8,6136 6.4 Cho một ước lượng không chệch và không hiệu quả của đường kính (trung bình)

thực của quả cầu trong bài tập 6.2.

Đs 6,36 cm

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH (MẪU LỚN)

6.5 Hãy tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% ước lượng chiều cao trung bình của các

sinh viên ở trường Đại học XYZ trong bài tập 6.3.

Đs (a) 66,88 <  < 68,02 inhches; (b) 66,69 <  < 68,21 inches 6.6 Độ đo các đường kính của một mẫu ngẫu nhiên gồm 200 vòng bi do một máy sản

xuất trong một tuần có đường kính trung bình là 0,824 inch và độ lệch chuẩn là 0,042 inch Tìm khoảng tin cậy (a) 95% (b) 99% của ước lượng trung bình về đường kính của tất cả các vòng bi.

Đs (a) 0,824  0,006 inches ; (b) 0,824  0,008 inches.

CHƯƠNG 6

http://nctri.co.cc

Trang 5

Đs (a) 0,824  0,0069 inches ; (b) 0,824  0,0049 inches; (c) 0,824  0,0089 inches 6.8 Trong đo lường thời gian phản ứng, một nhà tâm lý học cho rằng độ lệch chuẩn

này là 0,05 giây Nhà tâm lý học này phải chọn một mẫu gồm các đo lường thời gian phản ứng có kích thước là bao nhiêu để có (a) 95%, (b) 99% độ tin cậy mà sai số trong ước lượng khoảng thời gian phản ứng trung bình sẽ không vượt quá 0,01 giây?

Đs (a) ít nhất 97 ; (b) ít nhất 167 6.9 Có 200 bài thi môn toán Chọn ngẫu nhiên một mẫu gồm 50 bài thi, tính được

điểm trung bình là 75 điểm và độ lệch chuẩn là10 điểm (a) Tìm khoảng tin cậy 95% về điểm trung bình của 200 bài thi? (b) Tìm độ tin cậy mà ta có thể nói rằng điểm trung bình của tất cả 200 bài thi là 75  1?

Đs (a) 75  2,4 điểm ; (b) 58,2%.

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH (MẪU NHỎ)

6.10 95% giá trị tới hạn (hai phía) của phân phối chuẩn là 1,96 Tìm giá trị tương ứng

đối với phân phối t nếu bậc tự do là (a) = 9, (b)  = 20, (c)  = 30, (d)  = 60?

Đs (a)  2,26; (b)  2,09; (c)  2,04; (d)  2,00 6.11 Một mẫu gồm 10 độ đo đường kính của một quả cầu có đường kính trung bình

4, 38

x  inches và độ lệch chuẩn s = 0,06 inch Tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% của đường kính thực.

Đs (a) 4,38  0,037 inches ; (b) 4,38  0,065 inches 6.12 (a) Làm lại bài tập 6.11, với phương pháp lý thuyết chọn mẫu có kích thước lớn.

(b) Hãy so sánh các kết quả của hai phương pháp này.

Đs (a) 4,38  0,037 inches và 4,38  0,049 inches.

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ

6.13 Một mẫu thăm dò ý kiến của 100 cử tri được chọn ngẫu nhiên tại một quận cho

thấy có 55% trong số này ủng hộ ứng cử viên A Tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99%, (c) 99.73% của tỷ lệ các cử tri ủng hộ ứng cử viên A.

Đs (a) 0,55  0,10; (b) 0,55  0,13; (c) 0,55  0,15 6.14 Trong bài tập 6.13 Sẽ chọn ngẫu nhiên bao nhiêu cử tri để có độ tin cậy 95%

ứng cử viên A đắc cử?

Đs n = 27 6.15 Trong 40 lần tung một đồng xu, có 24 lần xuất hiện mặt ngửa Tìm khoảng tin cậy

(a) 95%, (b) 99.73% của tỷ lệ mặt ngửa xuất hiện trong phép thử với số lần tung đồng xu là vô hạn.

Đs (a) 0,6  0,15; (b) 0,6  0,23.

6.16 Một mẫu gồm 150 bóng đèn điện mang nhãn hiệu A có tuổi thọ trung bình là

1.400 giờ và độ lệch chuẩn là 120 giờ Một mẫu gồm 200 bóng đèn điện mang nhãn hiệu B có tuổi thọ trung bình là 1.200 giờ và độ lệch chuẩn là 80 giờ Tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% của hiệu tuổi thọ trung bình của hai tổng thể mang nhãn hiệu A và B.

Đs (a) 200  24,8 giờ; (b) 200  32,6 giờ.

http://nctri.co.cc

Trang 6

trình TV nào đó, trong đó có 100 người lớn và 300 thiếu niên cho biết họ thích chương trình TV trên Hãy xây dựng khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% về hiệu tỷ lệ của tất cả người lớn và thiếu niên đã xem và thích chương trình này.

Đs (a) 0,25  0,06; (b) 0,25  0,08 6.18 Lực điện động (emf) của các bộ ắc quy do một công ty sản xuất có phân phối

chuẩn, với trung bình 45,1 volts và độ lệch chuẩn 0,04 volt Nếu bốn bộ ắc quy được mắc nối tiếp, tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99%, (c) 99.73%, (d) 50% của tổng lực điện động.

Đs (a) 180,4  0,16; (b) 180,4  0,21; (c) 180,4  0,24; (d) 180,4  0,054 volt.

KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI

6.19 Một mẫu gồm 200 bóng đèn điện do một nhà máy sản xuất, độ lệch chuẩn của

tuổi thọ bóng đèn được tính là 100 giờ Tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% về độ lệch chuẩn của toàn bộ bóng đèn do nhà máy này sản xuất.

Đs (a) 100  9,8 giờ; (b) 100  12,9 giờ 6.20 Sẽ phải chọn một mẫu gồm bao nhiêu bóng đèn trong bài tập 6.19 để với độ tin

cậy 99,73% thì độ lệch chuẩn của tổng thể không khác độ lệch chuẩn mẫu ít nhất (a) 5%, (b) 10%?

Đs (a) ít nhất 1.800 bóng; (b) ít nhất 450 bóng 6.21 Một trường học có 1.000 sinh viên nam Chọn ngẫu nhiên 16 sinh viên nam từ

trường này thì tính được độ lệch chuẩn về chiều cao là 2,40 inches Tìm khoảng tin cậy (a) 95%, (b) 99% về độ lệch chuẩn của tất cả các sinh viên nam tại trường này Giả sử chiều cao có phân phối chuẩn.

Đs (a) 1,83 <  < 3,84 inches; (b) 1,68 <  < 4,49 inches 6.22 Làm lại bài tập 6.19, sử dụng lý thuyết mẫu nhỏ hay mẫu chính xác.

Đs (a) 91,2 <  < 111,3 giờ; (b) 88,9 <  < 115,9 giờ.

KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỶ LỆ PHƯƠNG SAI

6.23 Hai mẫu ngẫu nhiên có kích thước lần lượt là 16 và 10, được chọn ngẫu nhiên từ

hai tổng thể có phân phối chuẩn, phương sai của hai mẫu trên lần lượt là 24 và

18 Hãy tìm khoảng tin cậy (a) 98%, (b) 90% về tỷ lệ của các phương sai.

2 2

σ

2 2

σ

6.24 Tìm khoảng tin cậy (a) 98%, (b) 90% tỷ lệ của độ lệch chuẩn trong bài tập 6.23.

2

σ σ

2

σ σ

ƯỚC LƯỢNG HỢP LÝ TỐI ĐA

6.25 Giả sử ta có n quan sát, X1, … , Xn, được thực hiện từ tổng thể có phân phối chuẩn, trung bình chưa biết nhưng biết độ lêch chuẩn Hãy ước lượng trung bình theo phương pháp ước lượng hợp lý tối đa.

6.26 Nếu trong bài tập 6.25, biết trung bình tổng thể nhưng phương sai chưa biết Hãy

ước lượng phương sai theo phương pháp hợp lý tối đa.

http://nctri.co.cc

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	467,02 KB