Tỡm nghiệm x2... 2 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh * cú hai nghiệm phõn biệt.. Khi đó tìm nghiệm còn lại thay x=1..
Trang 1VI Giải Phơng trình Bài 1: Giải các phơng trình sau
1) 1,5x2 -2,5x -1=0 6) 4 2 3 0
4
1
x
2) -x2 +4x+3=0 7) 4x + 4 x + 1 − 7 − 4 3 = 0
3) x 2 -2(1+ 3)x +2 3 +1=0 8) x− 5 − x = 1 ( Lập bảng xét dấu)
4) x 2 –( 2 + 3 )x + 6 = 0 9)
x x x x x x − + = + − − − 1 1 1 1 1 2
5) 3x− 2 = 3 − 2 10)
x x x + = − − 1 1 2 1 2 2 Bài 2: Giải các phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ) 1) x4 –x2-6=0
2) 1 1 1 1 + − + − + x x x x =3 Đặt t x x = − + 1 1 (đk x≠ ±1)
3) (x2 +2x)2 -2(x2+2x) -3=0 Đặt (x 2 +2x)=t
4) (x2 +2x+2)2 -2(x2+2x) -28=0 Đặt (x 2 +2x)=t 5) (x2 -5x)2 -30(x2-5x) = 216
6) (y-x-2)2 + (x+2y) 2 =0 a 2 +b 2 = 0 <=> = = 0 0 b a
7) (x-2) x 2 +x- x 2 - 2=0 Đặt x- x 2 =t (đk x≠0) 8) (x+1) 2 − 4 , 5 ( +1) + 5 = 0 x x x Đặt x+ x 1 =t (đk x≠0) 9) 0
2 4 2 1 4 2 2 2 2 = + − + − − − x x x x x x MTC: x(x-2)(x+2) => ng x=3 lu ý ĐKXĐ
10) (x+ ) 2 2 1 +6x +11=0 Tách 11= 2 6 +8 rồi Đặt x + 2 1 =t Bài 3; Giải phơng trình 1) 1−2x2 = x−1 đk ; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc bình phơng 2 vế
2) x-4= x− 2
3) 1 −x− 2 +x = 1 4) 1 −x+ 4 +x = 3
5) x+ 1 + 1 = x đk ; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc bình phơng 2 vế
6) x-1= x+ 1
7) 3x-4 x− 1 = 18
8) x- x− 12 = 14
9) 2 3 1 1 1 1 = + − − − + x x x x đặt ẩn phụ ta có pt: t - t 1 = 2 3 (đk t>0 ; x>1 hoặc x<-1) 10) 1 −x− 2 +x = 1
11) x2 −4 = x−2 12 3x2 − 12x+ 16 + y2 − 4y+ 13 = 5 (ta có 3x2 − 12x+ 16 = 3 (x− 2 ) 2 + 4 ≥ 4 Nên 3x2 − 12x+ 16 ≥ 2 ; y2 − 4y+ 13 ≥ 3 10) x+3+4 x−1+ x+8−6 x−1 =5 11) x2 −2x+5 = x2 −2x−1 đặt ẩn phụ x2 − 2x+ 5 =t ( t ≥0) 12) 3x2 +2x=1-x+2 x2+x đặt x2 +x =t ( t ≥0)
Trang 2VII Phơng trình bậc cao (Dành cho lớp A)
Phơng trình a x3 +bx 2 +cx+d=0 (1) (a≠0)
-Biến đổi vế trái về dạng tích bậc nhất với bậc hai để giải
-Nếu a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1
- Nếu a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1 Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích -Nếu (1) có các hệ số nguyên , nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó là ớc của hạng tử
tự do , giả sử 3 nghiệm là x1;x2;x3 thì x1+x2+x3 =-b/a
x1.x2.x3 =-d/a
x1.x2 +x1x3 + x2.x3 =c/a
Bài 4.1: a) Giải phơng trình 2x3+7x2+7x+2=0
a-b+c-d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=-1 Khi đó ta đẽ dàng Biến đổi vế trái về dạng tích
b) Giải phơng trình x3+7x2-56 x+48=0
a+b+c+d=0 thì (1) sẽ có 1nghiệm x=1
a) Giải phơng trình 2x3+5x2+6x+3=0
e) Giải phơng trình sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x2+5x-24 )=0
Bài 4.2 Giải phơng trình sau 4x 4 – 109x2+ 225 =0 (1)
Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x 4 + bx 3 + cx 2 + dx +e =0
( x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ;a ≠0 )
(Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau )
ph
ơng pháp giải gồm 4 b ớc
-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x2 (đk x ≠0) rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng trình mới
-Đặt ẩn phụ : (x+1)
x =t (3) => x2+ 12
x =t2 -2 ta đợc phơng trình ẩn t -giải phơng trình đó ta đợc t = …
- thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)
Giải phơng trình sau : 10x 4 - 27x 3 - 110x 2 -27x +10=0 (1)
Ta nhận thấy x=0 không phảI là nghiệm của (1)
chia cả hai vế (1) cho x2 (đk x ≠0) ta đợc pt <=>10x2 -27x – 110 -27 102
x
x + = 0 Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc PT
10( x2 + 12) ( 1)
x
x
x − + ) -110 =0 (2)
Đặt ẩn phụ (x+1)
x =t (3) => x2+ 12
x =t2 -2 thay vào (2) ta có <=> 10t2 -27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t1=-
2
5
; t 2=
5 26
+ Với t1=-
2
5
(x+1)
x =-
2
5
2x2 +5x+2=0 có nghiệm là x1=-2 ; x2=-1/2 +Với ; t 2=
5
26
(x+1)
x =
5
26
5x2-26x+5 =0 có nghiệm là x3=5 ; x4=1/5 Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm là S=
5
; 5
1
; 2
; 2 1
Trang 3Bài 4.4 Phơng trình hồi quy dạng tổng quát : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1)
Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a ≠0 e≠0) và ( ) 2
b
d a
e = ; phơng tình hệ số đối xứng bậc 4 chỉ là 1 trờng hợp đặc biệt của phơng trình hồi quy
Chú ý :Khi
a
e
=1hay a=e thì d=± b; lúc đó (1) có dạng a x4 + bx 3+ cx2 ±bx +e =0
Cách giải:
-Do x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (1)nên chia cả hai vế cho x2 ta đợc
a x2 +bx +c + 2
x
c x
d + = 0 (2) Nhóm hợp lí a (x2 + 2) + ( + ) +c= 0
bx
d x b ax
c
-Đổi biến đặt x+
bx
d
=t => x2 +( 2
2 ) 2 t b
d bx
d + = do (d/b)2 =c/a nên x2+ c/ a x2=t2 -2 d/b
Khi đó ta có phơng trình a (t2 - 2
b
d
) bt +c =0
Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at2+ bt +c=0 (3)
-Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu
Giải phơng trình : x 4 -4x 3 -9x 2 +8x+4=0 (1)
Nhận xét 4/1= ) 2
4
8 (
− ; Nên phơng trình (1) là phơng trình hồi quy
• x=0 không phải là nghiệm của (1)
• Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x2 (x ≠0) ta đợc
x2- -4x -9 +8 42
x
x+ =0 (x2 + 42)
x 4( x
-x
2
) -9 =0 (2)
* Đặt ( x
-x
2
) =t (3) => ( x2 + 42)
x =t2 +4 thay vào (2) Phơng trình (1) trở thành t2-4t -5 =0 có nghiệm là t1=-1 ; t2=5
nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bớc đặt ẩn phụ
Đặt x+ bx
m
m y x b
2 2
2
−
=
Bài 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c)
cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó
Khi đó phơng trình có dạng
[x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0
Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc
bc )
Ta có phơng trình At2 +B t + C =0 (Với A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau đó thay vào (2) rồi giá trị tìm đợc nghiệm x
Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
• nhận xét 1+7 =3+5
• Nhóm hợp lý (x+1) (x+7 ) (x+3) (x+5 ) +15=0
(x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta có (2) t( t+ 8) + 15=0
y2 +8y +15 =0 nghiệm y1=-3 ; y2=-5 Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình
1/x2 +8x +7 = -3 x2+ 8x +10=0 có nghiệm x1,2 = -4± 6
Trang 42/ x2 +8x +7 = -5 x2 +8x +12 = 0 có nghiệm x3=-2; x4 =-6
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S ={− 2 ; − 6 ; − 4 ± 6}
Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a) 4 +(x+b) 4 = c (1) (Trong đó x là ẩn số ;a, b, c là các hệ số )
cách giải :
Đối với dạng phơng trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x+a) và (x+b)
Đặt t =x+
2
b
a+
=> x+a =t+
2
b
a−
và x+b=t -
2
b
a−
Khi đó phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 (
2
b
a+
)2 t2 + 2(
2
b
a+
)4 –c =0 Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải
áp dụng Giải phơng trình sau : (x+3) 4 +(x-1) 4 =626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)4 + (t – 2)4 =626
9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626
t4 +24t2 - 297 =0 => t=-3 và t=3
Từ đó tìm đợc x=2 ; và x=-4 là nghiệm của phơng trình đã cho
Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)] 2 +b f(x) +c = 0
(trong đó x là ẩn ;a≠ 0 ; f(x) là đa thức một biến )
cách giải: - Tìm TXĐ của phơng trình
- Đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc ha +/nếu (2) có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phơng trình f(x) =t
+/ nghiệm của phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phơng trnh (1)
Ví dụ : Giải phơng trình x 4 +6x 3 +5x 2 -12x+3=0 (1)
TXĐ : ∀ x∉R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3
Vậy ta có phơng trình <=> (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0
Đặt x2+ 3x =t (2)
Ta có PT <=> t2 -4t +3 = 0 có nghiệm là t1=1 ;t2=3
Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
Giải phơng trình 2x5 +3x 4 -5x 3 -5x 2 + 3x +2=0
Phơng trình có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc
lẻ , có nghiệm x=- 1 Nên biến đổi phơng trình về dạng
( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0
Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phơng trình
2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải
Giải (2) ta đợc x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1
Bài tập VN : Giải các phơng trình sau
1) x3 - 4x2- 29x -24 =0 2) 8x3 - 20x2 +28x - 10 =0
3) x4- 3x3+9x2 -27 x+81=0 4, x4-10x3+11x2 -10x+1=0
5, x4 +5x3 -14x2-20x +16 =0 6, x4 +4x3 -10 x2 -28 x-15=0
4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18) =2x2
7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x2 nhóm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) rồi chia 2 vế cho 4x 2
và đặt t=x+7/x (đk x≠ 0)
8) 3x5 -10x4 +3x3+3x2-10x+3=0 9) x5 +2x4 +3x3+3x2+2x+1=0
10) 6x5 -29x4 +27x3+27x2-29x+6=0 11) x5 +4x4 +3x3+3x2-4x+1=0
12) (x2-8x+7)(x2-8x+15)=20
Trang 513) (x2-3 x+1) (x2+3x+2) (x2-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x2-3 x+1) (x2-3x-4) (x2-3x-10)=-30 14) 3(x2+x) -2(x2+x ) -1=0 15) (x2-4x+2)2 +4x2-4x-4=0
VIII Định lí Vi et - dấu của nghiệm phơng trình a x 2 +bx+c=0 (a ≠0)
*Định lí Vi et: Nếu p/t (1) có 2 ng x 1 ; x 2 thì S=x 1 + x 2 =
a
b
−
và P=x 1 x 2 =
a
c
*Nếu tồn tại 2 số u và v sao cho S= u + v = và P= u.v thì u và v là 2 ng p/t
đk:s 2 -4p>0
*Dấu của nghiệm:
1 Phơng trình (1) có ng/ kép (a ≠0) ; ∆=0 2.Phơng trình (1) có 2 ng p/b (a ≠0); ∆>0
3 Phơng trình (1) có 2 ng trái dấu a.c<0
4.Phơng trình (1) có 2 ng đối nhau:
(a ≠0) ; S = x 1 + x 2 =0
5 Phơng trình (1) có ng duy nhất
=
∆
≠
=
0
; 0
*
0
*
a a
6.Phơng trình (1) có2 ng đều dơng
>
>
≥
∆
≠
0
0
0
;
0
S
P
a
7.Phơng trình (1) có 2 ng đều âm
>
<
≥
∆
≠
0 0
0
; 0
S P a
GIảI và biện luân PHƯƠNG TRiNH BẬC HAI ( chứa tham số) Loại toán suy luậN
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình: ax 2 +bx+c = 0 (a ≠ 0) có:
Bài 1: Giải phơng trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải ∆’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
Nếu ∆’< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phơng trình vô nghiệm
Nếu ∆’= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phơng trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ∆’> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1- 1 −k; x2 = 1+
k
−
1
Kết luận: Nếu k > 1 thì phơng trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phơng trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phơng trình có nghiệm x1 = 1- 1 −k ; x2 = 1+ 1 −k
Bài 2: Cho phơng trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x = 23 (là nghiệm)
(1)
X2 - S X + P=0
1 Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2 Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng
nhau) ⇔ ∆ = 0
4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
5 Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6 Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0
và P > 0
8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9 Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đốilớn hơn
⇔ a.c < 0 và S < 0
12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0 (ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = )
Trang 6+ Nếu m 1 Khi đó (1) là ph≠ ơng trình bậc hai có: ∆’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ⇔
∆’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 32
+ Kết hợp hai trờng hợp trên ta có: Với m ≥ 32 thì phơng trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x = 23 (là nghiệm)
+ Nếu m 1 Khi đó (1) là ph≠ ơng trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆’ = 3m-2 = 0 ⇔ m = 32 (thoả mãn m 1) Khi đó x = = 3≠
+Vậy với m = 1 thì phơng trình có nghiệm duy nhất x =
2
3
; với m =
3
2
thì phơng trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phơng trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =
4 3
Khi đó (1) là phơng trình bậc hai (do m -1 =
4
3
-1=
4
1
− 0)Theo đinh lí Viet ta có: x≠ 1.x2 =
6 12
4 1
3 1
3
⇒
=
−
−
=
−
m
Bài 3: Cho phơng trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phơng trthoả mãn x12+x22 ≥ 10
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải a) Ta có: ∆’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =
4
15 2
12 +
2
12 ≥
−m với mọi m; 0
4
15
> ⇒∆ > 0 với mọi m
⇒ Phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Hay phơng trình luôn có hai nghiệm (đpcm) b) Ph trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
d) Theo ý a) ta có ph tr luôn có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A=x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10
c) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phơng trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0 3
3
1 0
) 3 (
0 ) 1 ( 2
−
<
⇔
−
<
<
⇔
>
+
−
<
−
m
m m
m
Vậy m < -3
Trang 7Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0
≤
≥
⇔
≤
≤
≥
≥
⇔
≤
−
≤
≥
−
≥
⇔
0 2 3
2 3 0 2 3 0
0 3 2 0 0 3 2 0
m m m
m m m
m m m
m
Vậy m ≥ 23
hoặ m ≤ 0
e) Theo ý a) ta có phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:
−
−
=
−
= +
⇔
+
−
=
−
= +
6 2
2
2 2
) 3 (
) 1 ( 2
2 1
2 1 2
1
2 1
m x
x
m x x m
x x
m x
x
⇒ x1 + x2+2x1x2 = - 8 không phụ thuộc m
Bài tập
Bài 1: Cho ph.t: x2 – 2mx + m + 2 = 0 Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú một nghiệm x1 = 2 Tỡm nghiệm x2
Bài 2: Cho phương trỡnh x2 + 2(m + 1)x + m2 = 0 (1)
a) Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm phõn biệt
b) Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt và trong 2 nghiệm đú cú 1 nghiệm bằng −2
HD: a) PT (1) cú hai nghiệm phõn biệt ⇔ m 1
2
> − b) m = 0 hoặc m = 4
Bài 3: Cho phương trỡnh x 2 + 3x − 5 = 0 và gọi hai nghiệm của phương trỡnh là x1, x2 Khụng giải phương trỡnh, tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau: a)
c) 2 2
x + x d) 3 3
HD: Đưa cỏc biểu thức về dạng x1 + x2 và x1x2 rồi sử dụng hệ thức Viột
Bài 4: Cho phương trỡnh (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng ∀m ≠ −1 phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt
b) Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh cú hai nghiệm cựng dấu
HD: a) Chứng minh ∆' > 0 b) Phương trỡnh (1) cú hai nghiệm cựng dấu ⇔ m < −1 hoặc
m > 3
Bài 5: Cho phương trỡnh x2 − 2(m + 1)x + m − 4 = 0 (1)
a) Giải phương trỡnh (1) khi m = 1
b) Chứng minh rằng phương trỡnh (1) luụn cú nghiệm với mọi giỏ trị của m
c) gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trỡnh (1) Chứng minh A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) khụng phụ thuộc vào giỏ trị của m
HD: a) Khi m = 1: PT cú 2 nghiệm x 2 2 7 = ± ;b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 ⇒ A khụng phụ thuộc vào m
Bài 6: Gọi x1, x2 là cỏc nghiệm của phương trỡnh x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0
a) Khụng giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của biểu thức P = (x1) 2 + (x2)2 theo m b) Tỡm m
để P nhỏ nhất
HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10
c) P = 2 15 15
(2m 5)
− + ≥ Dấu "=" xảy ra ⇔ m 5
2
=
Bài 7: Cho phương trỡnh x2 − 6x + m = 0 (m là tham số) (1)
a) Giải phương trỡnh (1) với m = 5
b) Tỡm giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt x1 và x2 thỏa món 3x1 + 2x2 = 20
Trang 8HD: a) Với m = 5 ⇒ x1 = 1, x2 = 5 b) Đỏp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)
Bài 8: Cho phương trỡnh x2 − 4x + k = 0
a) Giải phương trỡnh với k = 3 Tỡm tất cả cỏc số nguyờn dương k để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt
HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3 b) ∆' = 4 − k > 0 ⇔ k < 4 ĐS: k ∈ {1 ; 2 ; 3}
Bài 9: Cho phương trỡnh : x2 − (m + 5)x − m + 6 = 0 (1)
a) Giải phương trỡnh với m = 1 b) Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú một
nghiệm x = −2
HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5 b) ĐS: m = − 20
Bài 10: Cho phương trỡnh: (m − 1)x2 + 2mx + m − 2 = 0 (*)
1) Giải phương trỡnh (*) khi m = 1 2) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (*) cú hai nghiệm phõn biệt
2) HD: a) Khi m = 1: x 1
2
= b) ĐS: m 2, m 1
3
Bài 11: Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là
a) x1=1/2 và x2=2 b) x1=2+ 3 và x2=2- 3 c) 1/x1 và 1/x2
Bài 2: Cho phơng trình (m 2 -5m+3)x 2 +(3m-1)x -2 =0 (1)
a) Giải phơng trình khi m=2
b) Tìm m để phơng trình (1) có 1 nghiệm là 1 Khi đó tìm nghiệm còn lại (thay x=1
Bài 3: Cho phơng trình x 2 +(2m+1) x +m 2 +3m =0 (1) ( m là tham số)
Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm mà tích 2 nghiệm bằng 4 Tìm 2 nghiệm đó
Bài 4: Cho phơng trình x 2 +(2m-5) x +3n =0 (1)
Tìm m và n để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1=2; x2=-3
Bài 5: a) Tìm m để phơng trình x2 - x +2m-2 =0 (1) có 2 nghiệm dơng
b) Tìm m để phơng trình 4x2 +2x +m-1 =0 (1) có 2 nghiệm âm
c) Tìm m để phơng trình m 2x2 +2mx -2 =0 (1) có 2 nghiệm phân biệt
Bài 6: Cho phơng trình x 2 -2(m+1)x +m-4=0 (1) ( m là tham số)
a) Giải phơng trình khi m=2
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
d) Chứng minh rằng biểu thức M=x1(1-x2)+(1-x1) x2 không phụ thuộc vào m
Bài 7: Cho phơng trình x 2 - (m- 1)x m – 2 +m-2 =0 (1) ( m là tham số)
a) Giải phơng trình khi m=-1
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho S=x12 +x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 8: Cho phơng trình x 2 - (m +2)x +m+1 =0 (1) ( m là tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm đối nhau
Bài 9: Cho phơng trình x 2 - (m +1)x +m =0 (1) ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Giả sử (1) có 2 nghiệm x1;x2 tính S=x12 +x22 theo m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho x12 +x22 =5
Bài 20: Cho phơng trình x 2 2mx +2m-1 =0 – (1) ( m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 với mọi m
b) Gọi A=2(x12 +x22 )-5 x1.x2 ; b1) c/m rằng A=8m2-18m +9 ; b2)Tìm m sao cho A=27 c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia
Bài 21: Cho phơng trình 2x 2 (2m+1)x +m– 2 -9m +39 =0 (1) ( m là tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
Trang 9b)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm này bằng 2 lần nghiệm kia Tìm các nghiệm đó
Bài 22: Cho phơng trình (m-1)x 2 +2(m-1)x -m =0 (1) ( m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm đều âm
Bài 13: Cho phơng trình x 2 - 2(m-1)x -3 -m =0 (1) ( m là tham số)
a)Chứng tỏ rằng phơng trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho x12 +x22 ≥ 10
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho E=x12 + x2 đạt GTNN
Bài 14: Cho phơng trình x2 –(2m+1)x +m2+m -6 =0 (1) ( m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm đều âm
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho / x13 - x23/ =50
a) (1) có 2 nghiệm đều âm t/m: ∆=25 ≥0 với∀m ; x1x2 =(m-2)(m+3) >0 ; x1+x2 =2m+1<
0 Kq:m<-3b tính x1=m-2 ;x2 =m+3 theo công thức ng =>/ x13 - x2 / =50 <=>
3
3 ( 3 ) )
2 (m− − m+ =50=>m=
2
5
1 ±
−
Bài 15: Cho phơng trình x 2 -6x +m =0 (1) ( m là tham số)
a)Tìm m để (1) có 2 nghiệm phân biệt
b)Tìm m để (1) có 2 nghiệm sao cho x13 + x2 =72
(Với ∆ ≥ 0 <=> m ≤ 9 ta có x 13 + x 2 =72 < => (x 1 + x 2 ) 3 -3x 1 x 2 (x 1 + x 2 )<=>6 3 -3.m.6=72 =>m=8(t/m)
Bài 16: Cho phơng trình x2 (m-1)x m– – 2 +m-2=0 (1) ( m là tham số)
a)Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
b)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho E=x12 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 17: Cho phơng trình x 2 2(m+1)x +2m+10 =0 – (1) ( m là tham số)
Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x1;x2 Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao
cho E=x12 + x2 +10 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
Bài 18: Cho phơng trình x 2 (m-1)x +1=0 – (1) ( m là tham số)
Giả sử (1) có 2 nghiệm phân biệt là x1;x2 Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao
cho M=3x12 + 3x22 +5 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm nghiệm trong trờng hợp M đạt GTNN
Bài 19: Cho phơng trình x 2 2(m-1)x m– – 2 -3m+4=0 (1) ( m là tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho
1
1
x +
2
1
x =1 b) Lập một biểu thức giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài 20: Cho phơng trình 2x 2 +(2m-1)x +m-1=0 (1) ( m là tham số)
a)C/m rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
b)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho -1<x1<x2<1
c) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 Lập một biểu thức giữa x1 và x2 mà ∉ m
Bài 21: Cho phơng trình : x 2 + (m-1)x+m 2 =0 (1) ; -x 2 -2mxx+m=0 (2)
C/m rằng ít nhất một trong 2 phơng trình đã cho phải có nghiệm
( Xét ∆ 1+ ∆ 2 ≥0 với mọi m Thì phải có ít nhất 1 trong 2 biểu thức∆1≥0 hoặc ∆2 ≥0 =>
đpcm)
Bài 22: Cho 2 phơng trình : x 2 a– 1 x+b 1 =0 (1) ; x 2 a– 2 x+b 2 =0 (2)
Cho biết a1.a2 ≥ 2(b1+b2) C/m rằng ít nhất một trong 2 phơng trình đã cho có nghiệm ∆ 1+ ∆ 2= a1 +a2 -4(b1+b2) ≥ a1 +a2 -2a1a2 = (a1-a2)2 ≥0 với mọi m Thì phải có ít nhất ∆1≥
0hoặc ∆ 2 ≥0=> đpcm
Bài 23: Cho 3 phơng trình : ax 2 + 2bx+c=0 (1) ; bx 2 +2cx+a=0 (2) ; cx 2 +2ax+b=0 (3)
Cho biết a ;b;c ≠0 C/m rằng ít nhất một trong 3 phơng trình đã cho có nghiệm
∆ 1 ’+ ∆ 2 ’+ ∆ 3 ’= =1/2[ (a−b) (2 + b−c) (2 c−a)2]≥ 0 => có ít nhất 1 trong 3 biểu thức ∆ 1 ’ ≥0hoặc ∆2’≥0
Bài 24: Cho phơng trình : ax 2 + bx+c=0 (1) và cx 2 + bx+a=0 (2) trong đó a; c>0
Trang 10a) Chứng minh rằng 2 phơng trình cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm
b) Giả sử (1) có 2 nghiệm x1;x2 và (2) có 2 nghiệm x3;x4.Chứng minh rằng x1x2+x3.x4 ≥2
c) Giả sử (1) và (2) cùng vô nghiệm C/m rằng a+c>b
+Vì a;c>0 nên (1) và (2) đều là bậc 2 và có chung ∆=b2-4ac => đpcm
+áp dụng Viét x1x2=
a
c
; x3x4=
c
a
vì a;c>0 nên x1x2 +x3x4=
a
c
+
c
a ≥2 (đã c/m ở bđt )
+(1) vô ng <=> ∆=b2-4ac<0 <=>b2<4ac<(a+c)2 mà a+c>0 nên b≤/b/<a+c
Bài 25: Cho phơng trình : x2 + mx+n=0 (1)
a) Giải phơng trình khi m=-(3+ 3) n=3 3 (kq: ∆=(3- 3) 2 >0)
b)Tìm m;n để (1) có 2 nghiệm là x1=-2; x2=1
c) C/m rằng (1) có 2 ng/ dơng x1;x2 thì ph/tr: n x2+mx+1=0 (2) cũng có 2 ng/ dơng x3;x4
x1x2=m/n ; x3x4 =n/ m nên (1) có 2 ng trái dấu thì (2) có 2 ng trái dấu
Vì x1 là ng của (1) <=> x1 + mx1+n=0 <=>1 2 0
1 1
= + +
x
n x
m
(vì x1 >0 nên chia cảe 2 vế cho x1 2 )
Hay x 3 =
1
1
x là ng dơng của (2) T.tự x4=
2
1
x là ng dơng của (2) (vì x1;x2>0 nên
1
1
x và
2
1
x >0 ) là
đpcm
Bài 26; Cho phơng trình (m-1)x 2 2(m+1)x +m=0 – (1) ( m là tham số)
a) Giải và biện luận nghiệm phơng trình (1) theo m
b) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 Hãy tìm 1 hệ thức giữa x1 và x2 mà ∉ m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho /x1-x2 / ≥ 2
d) a)m=1=>thì (1) có ng c) /x1-x2 / ≥ 2<=> (x1-x2) 2 ≥ 4
e) m≠1 khi đó ∆=3m+1 <=>(x1+x2)2 - 4 x1x2 ≥ 4
+) nếu m<-1/3 thì (1) Vô ng <=>
+) nếu m=-1/3 thì (1) có ng kép ; +) nếu m>-1/3 thì (1) có 2 ng
Bài 27; Cho phơng trình x 2 2mx m– – 2 -1=0 (1) ( m là tham số)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Khi (1) có 2 nghiệm phân biệt x1;x2 Hãy tìm 1 hệ thức giữa x1 và x2 mà ∉ m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1;x2 sao cho
2
1
x
x
+
1
2
x
x
=
2
5
−
Bài 28; Cho phơng trình x 2 ax – – 12
a =0 (1) Tìm min P=x1 +x2 ( min P=2 2 +4 <=> a 8 =2)
Bài 29; Cho phơng trình x 2 mx +m 1=0 – – (1) ( m là tham số)
Phơng trình (1) có 2 nghiệm x1;x2 với mọi m Tìm max Q= 2 2(13 )
2 1
2 2
2 1
2 1
x x x
x
x x
+ + +
+
Bài 30; Cho phơng trình x 2 ax – – 2
2
1
a =0 (1) ( a là tham số)
C/m rằngx14+x24
2
2 +
≥ dấu (=) xảy ra khi nào? ( dấu đẳng thức xảy ra a 4 = 4
2
1
a <=>a 8 =2
1
từ đó tính x1 ;x 2
Bài 31: Cho phơng trình x 2 + 2(a+3)x +4(a+3)=0 (1) (a tham số)
a) Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó
b) Tìm a để (1) có 2 nghiệm phân biệt >-1
Đặt x=t-1 ; (1) <=> t 2 +2(a+2)t+2a+7=0 (1) có 2 nghiệm phân biệt >-1<=>
>
+
−
= +
>
+
=
>
∆
0 ) 2 ( 2
0 7 2
0 '
2 1
2 1
a t
t
a
t <=> -7/2<a<-3