CHƯƠNG 4 - TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ppsx

4.1 Khái Niệm • Hệ thống ĐKTĐ phải giữ được trạng thái ổn định dưới tác động của tín hiệu đầu vào và ảnh hưởng của nhiễu... • Hệ thống không ổn định nếu chỉ có một nghiệm có phần thực dư

Chöông 4

TÍNH OÅN ÑÒNH CUÛA HEÄ THOÁNG

4.1 Khái Niệm

• Hệ thống ĐKTĐ phải giữ được trạng thái ổn định dưới tác động của tín hiệu đầu vào và ảnh hưởng của nhiễu

4.1.2 Ổn định của hệ tuyến tính

• Ptvp tổng quát mô tả một hệ thống ĐKTĐ :

d c t d c t d r t d r t

a a a c t b b b r t

• Hàm truyền :

1 1 1 1

( )

G s

−

−

• Nghiệm của (4.1) :

( ) o( ) qd( )

c t =c t +c t

( )

o

( )

qd

quá độ

Dạng tổng quát của nghiệm quá độ :

1

n

p t

i

c t λe

=

= ∑

1

A s = a s +a s − + +a =

Kết luận quan trọng :

• Hệ thống ổn định nếu tất cả nghiệm của pt đặc tính A(s)=0 đều có phần

• Hệ thống không ổn định nếu chỉ có một nghiệm có phần thực dương

• Hệ thống ở biên giới ổn định nếu chỉ có một nghiệm có phần thực bằng 0 (nghiệm nằm trên trục ảo)

4.2 Tiêu Chuẩn Ổn Định Đại Số

4.2.1 Điều kiện cần :

Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của ptđt phải khác 0 và cùng dấu

Ví dụ :

3 2

4 2

4 3 2

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh

a s a s − a s a

−

• Thành lập bảng Routh

- Hàng 1 : hệ số chẵn

- Hàng 2 : hệ số lẻ

- Phần tử hàng i cột j :

theo công thức c ij = c i−2,j+1 −αi.c i− +1,j 1 với : 2 1

1 1

, ,

i i i

c c

−

=

• Phát biểu tiêu chuẩn Routh :

Điều kiện cần & đủ để hệ thống ổn định là tất cả phần tử nằm ở cột 1 đều

dương Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 bằng số nghiệm bên phải

s + s + s + s+ =

0 1, 1 4, 2 5, 3 2, 4 1

chưa kết luận được → dùng tiêu chuẩn Routh

4

3

0 3

1

1 4

a

a

α = = s2 c31 = a2 −α3.a3

32 4 3 5

c =a −α a

1

4

33 6 3 7

c = a −α a

1

4

1

4

31

9 2/ 9

a

c

α = = = s1 c41 = a3 −α4.c32

9 9

0

31

5

41

9 2 81

10 9 20

/ /

c

c

• Các trường hợp đặc biệt

s + s + s + s+ =

2 Nếu một hàng có tất cả hệ số bằng 0 :

Ví dụ : Xét tính ổn định của hệ thống có ptđt :

5 4 3 2

s + s + s + s + s+ =

( )

p

A s = s + → dA s p( ) 8 0

s

( )

p

A s = s + = → s= ±j

Kết luận : có 2 nghiệm nằm trên trục ảo → hệ thống ở biên giới ổn định

4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz

a s a s − a s a

−

• Thành lập ma trận Hurwitz :

- Ma trận vuông nxn

- Lần lượt ghi các hàng lẻ và chẵn

• Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz

Điều cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả

các định thức con chứa đường chéo của ma

trận Hurwitz đều dương

4.3 Phương Pháp Quỹ Đạo Nghiệm Số

4.3.1 Khái niệm

s + s K+ =

• Nghiệm của ptđt ứng với các giá trị K

• Định nghĩa : Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của ptđt khi có một thông số nào đó trong hệ thống thay đổi từ 0 → ∞

1 3 5 7

0 2 4 6

1 3 5

0 2 4

0 0

0

n

a a a a

a a a a

a a a

a a a

a

4.3.2 Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

• Hàm truyền :

1

( ) ( ) ( )

k

G s G

G s H s

= +

• Để vẽ quỹ đạo nghiệm → biến đổi tương đương ptđt về dạng :

( )

N s

K

D s

( )

N s

D s

Điều kiện biên độ

Điều kiện pha

tiệm cận (xác định bởi qui tắc 5,6)

• Qui tắc 3 : QĐN đối xứng qua trục thực

• Qui tắc 4 : Một điểm trên trục thực thuộc về QĐN nếu tổng số cực và zero bên phải nó là một số lẻ

• Qui tắc 5 : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của QĐN với trục thực :

n m

π

−

• Qui tắc 6 : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ:

1 1

p z

OA

n m

−

=

−

(p i và z i là các cực & zero của G s0( ))

0 0

1

( )

G s

⎩

• Qui tắc 7 : Điểm tách nhập (nếu có) của QĐN nằm trên trục thực và là

ds =

• Qui tắc 8 : Giao điểm của QĐN với trục ảo xác định theo 2 cách sau :

- Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz

điểm & giá trị K

0

i j

θ

≠

Dạng hình học của công thức trên :

0

180

j

• Qui tắc 10 : Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 → +∞

• Qui tắc 11 : Hệ số khuếch đại dọc theo QĐN xác định từ điều kiện biên

( )

N s

K

Ví dụ 4.7 : Vẽ QĐN hệ thống

• Phương trình đặc tính :

( )

K

G s

s s s

Zero : không có → m = 0

• Tiệm cận :

( )

K

G s

s s s

=

2

3

0 3

1

1

l

l

n m

l

π α

α π

⎪

⎪

⎪

⎪⎩

• Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực

ds =

K

2

2

2 549

0 785

, ,

s s

= −

⎧

⎨ = −

• Giao điểm của QĐN với trục ảo :

Cách 1 : Áp dụng tiêu chuẩn Routh

K

s + s + s K+ = (2)

Điều kiện để hệ thống ổn định

1

5

0

K

K K

⎨

⎪ >

⎩

1 5, 2 6, 3 6

3

2

3

1 5

6

5.K

0

[ ( ) ( )]

OA

n m

Cách 2 : Thay s j= ω vào pt (1) :

3 2

jω ω jω K

3

2

j j

K

ω

ω = ⎧ω

=

Ví dụ 4.8 : Hệ thống hồi tiếp âm

đơn vị, hàm truyền hở :

8 20

( )

K

G s

s s s

=

( )

N s K

D s

8 20

K

s s s

• Zero : không có, m = 0

• Góc tiệm cận

1

2

3

0 3

1

1

l

n m

l

π α

α π

⎪

⎪

⎪

⎪⎩

• Giao điểm giữa các tiệm cận & trục thực

ds =

[ ( j) ( j)]

OA

n m

3 2 2

K

1 2

2

3 33

2 00

,

,

s dK

s ds

= −

⎧

QDN có 2 điểm tách nhập

• Giao điểm của QDN với trục ảo

3 2 2

Thay s j= ω → ( )jω 3 +8( )jω 2 +20( )jω + =K 0

jω ω jω K

2

3

, ,

K K

K

ω

ω

⎧

→

0

2 180 [agr p( 2 p1) arg(p2 p3)]

0

4

tg−

−

Ví dụ 4.9 : Vẽ QDN hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hàm truyền hở là :

2

1

( )

K s

G s

+

=

K s

+

( )

N s K

D s

• Zero : z = −1 1 → m = 1

→ QDN có 4 nhánh xuất phát từ các cực khi K=0 Một nhánh tiến đến zero

1 1

z = − , ba nhánh tiến ra vô cùng theo các tiệm cận

• Góc tiệm cận

1

2

3

0 3

1

1

l

n m

l

π α

α π

⎪

⎪

⎪

⎪⎩

• Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực

ds =

2

1

K

s

= −

+

2

1

= −

+

3 4

, ,

⎧

⎩ QĐN không có điểm tách nhập (không nằm trên trục thực)

OA

n m

• Giao điểm của QĐN với trục ảo

ω − ω − ω + + ω + =

3

K K

⎩

,

j

0

i j

θ

≠

3 180 1 ( 2 3 4) 180 146 3, (153 4, 116 6, 90 ) 33 7,

Ví dụ 4.10 : Vẽ QDN hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, hàm truyền hở là :

400 6

( )

G s

=

6

( )

N s K

D s

2

3 2

6

as s

+

→ QĐN gồm 3 nhánh xuất phát từ cực, 2 nhánh tiến đến zero, n-m = 1

nhánh tiến ra vô cùng

• Góc tiệm cận :

0

3 2

n m

• Giao điểm giữa tiệm cận và trục thực

ds =

3 2

6

as s

+

3 2

2

6

a

= −

6

=

+

8

3 2

OA

n m

• Giao điểm QĐN với trục ảo :

a

ω

⎨

⎩

j

2 180 ( 1 2) ( 3 4) 180 ( ,71 6 36 7, ) ( ,26 6 90 ) 171 7,

4.4 Tiêu Chuẩn Ổn Định Tần Số

4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

thống kín ( )G s k

Tiêu chuẩn Nyquist

điểm (-1, j0)

2l vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi ω

phẳng phức

Ví dụ 4.16 : Cho hệ thống hở không ổn định có đặc tính tần số như các hình vẽ dưới đây Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn định ?

4.4.4 Tieâu chuaån oån ñònh Bode

thoáng kín ( )G s k

Khoâng oån ñònh

Tiêu chuẩn Bode

dự trữ pha dương

0 0

GM M

>

⎨Φ >

• Tần số cắt biên ωc : tại đó M( )ωc =1 hay L( )ωc = 0

π

ϕ ω− = − = −π

GM

M ω−π

GM = −L ω−π

c

Ví dụ 4.18 : Cho hệ thống hở có biểu đồ Bode như hình vẽ Hỏi hệ kín có ổn định ?

Trên biểu đồ Bode xác định được :

5 1

c

35

L ω−π = dB → GM = −L(ω−π)= −35dB

0

270

c

0

GM < , Φ <M 0 → hệ thống kín không ổn định

Nyquist và Bode, xem tương đương hàm truyền vòng hở là G(s).H(s)