Một số bài toán khó
Câu 1 :Với giá trị nguyên nào của a thì đa thức (x-a)(x-10)+1 có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên
Bài Làm Giả sử ta có : (x-a)(x-10)+1 =(x-m)(x-n) Với m,n Z
Vì m,n Z nên:
Thay vào (1) ta được:
11 11 10
11.11 10 1 12
8
9 9 10
9.9 10 1
a
a a
a
Vậy với a a128
thì đa thức (x-a)(x-10)+1 có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên
Câu 2 :Chứng tỏ rằng nếu ta có:
x
²- yz y²- xz z²- xy
thì có thể suy ra được: a²- bc b²- ca c²- abx y z
Bài Làm
Đặt:
x²- yz y²- xz z²- xy
=k (kR)
x²- yz y²- xz z²- xy
x²- yz ²- y²- xz z²- xy a²- bc
ax+10a+1=
10( ) 100 10 (1)
10 1
10 10 99
10 10 100 1
( 10) 10( 10) 1
( 10)( 10) 1
mn a
m n mn
²- 10x- ²- nx- mx +mn
²- (10+a)x +10a+1= ²- (n+m)x +mn
n+m=10+a
mn=10a+1
Trang 2³ ³+z³-3xyz
²
x y
a²- bc
(1)
Tương tự ta có: b²- acy x³y³+z³-3xyzk²
(2) ³ ³+z³-3xyz
²
x y
c²- ab
(3)
Từ (1),(2),(3) đpcm
Câu 3 :Biết rằng ax+by+cz=0, hãy tính gt của biểu thức :
R
ax
bc(y- z)²+ca(z- x)²+ab(x- y)²
²+by²+cz²
Bài Làm
Ta có:
ax+by+cz=0
²x²+b²y²+c²z²+2abxy+2acxz+2bcyz=0
²x²+b²y²+c²z²=-2abxy-2acxz-2bcyz (1)
a
a
Khai triển tử thức ta có:
( )²+ac(z-x)²+ab(x-y)²
bc(y²-2yz+z²)+ca(z²-2xz+x²)+ab(x²-2xy+y²)
bcy²-2bcyz+bcz²+caz²-2caxz+cax²+abx²-2abxy+aby²
bcy²+bcz²+caz²+cax²+abx²+aby²+ ²x²+b²y²+c²z²
y²(bc+ab+b²)+z²(bc+ac+c²)+x²(ac+ab+a²)
bc y z
a
²b(c+a+b)+z²c(b+a+c)+x²a(c+b+a)
( ²b+z²c+x²a)(a+b+c)
( ²b+z²c+x²a)(a+b+c)
y
y
y
a ax
²+by²+cz²
Vậy R=a+b+c
Câu 4:Cho hai số thực x và y thỏa mãn: xy =1, x >y Chứng minh rằng: x²+y² 2 2
x y
(Đề thi thử chuyển cấp vào lớp 10 trường trung học cơ sở kỳ long )
Giải
Ta có thể viết :
Trang 3²+y²+2 2 2 2 2 2 ( 2)² 0
Do đó: ²+y² 2 2(x x y ) Vì x>y nên x-y>0
Ta suy ra: x²+y² 2 2
x y
Vậy nếu x.y=1 và x y thì x²+y² 2 2
x y
Câu 5: Giải phương trình:
x x x x x x
Đặt: a(1;1)
b ( x2 x 1; x2 x 1)
Mà a b a b x2 x 1 x2 x 1 x 1
2