1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1.. 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B
Trang 1ĐỀ THAM KHẢO 18
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM HỌC 2009 - 2010
Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN BẮT BUỘC (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 2
2x 3
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB cân tại gốc tọa độ O
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình: cotx 3 tan x 2cot 2x 3
2) Giải phương trình: x2 2(x 1) 3x 1 2 2x2 5x 2 8 x 5
Câu III (1 điểm) Tính tích phân : 4
0
cos sin
3 sin 2
x
Câu IV (1 điểm) Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh
CD, AD Điểm P thuộc cạnh DD’ sao cho PD = 2PD Chứng tỏ (MNP) vuông góc với (AAM) và tính thể tích của khối tứ diện AAMP
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a b c b c a c a b
P
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
(Học sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 25 và điểm M(7; 3) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt sao cho MA = 3MB
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường thẳng
1 : x 1 y z 9
; 2 : x 1 y 3 z 1
Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau
Câu VII.a (1 điểm)
Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z22z10 0
Tính giá trị của biểu thức: Az12 z22
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; –1), C(11; 2) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và chia ABC thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 2
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho, đường thẳng : 1 2
3y + 2z + 2 = 0 Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 2; 4), song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d
Câu VII.b (1 điểm)
Giải phương trình: 3
log 1 x log x
Trang 2Hướng dẫn Câu I: 2) OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳng y = x hoặc y = –x Nghĩa là: f (x0) = 1 2
0
1
1 (2x 3)
1 : y – 1 = –1(x + 1) y = –x (loại); 2 : y – 0 = –1(x + 2) y = –x – 2 (nhận)
Câu II: 1) Điều kiện: sin cos 0
2
Ta có: 2cot 2 2cos 2 2cos2 sin2 cot tan
sin 2 2sin cos
4 cot 7cot 6 0
x
2) Điều kiện: 1
3
PT (x 1) 2 2(x 1) 3x 1 3x 12 x 22 2 2x2 5x 2 2x 12 0
Câu III: Đặt u sinx cosx
2
2
du
I
u
Đặt u 2sint
2
2cos
12
4 4sin
Câu IV: Gọi Q là giao điểm của NP và AD Do PD = 2PD nên DN = 2DQ
2 2
.
4
AD DQ MD QM AM (đpcm)
Ta có: 1 . '
2
Thay vào (1), ta được: 3
12
a
Câu V: Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ( )3,
a b c c
c và 1
3 ta được:
b c
c a
Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra P 1 minP 1 khi a b c 1
Câu VI.a: 1) P M C/( ) 27 0 M nằm ngoài (C) (C) có tâm I(1;–1) và R = 5
M C
P MA MB MB MB BH IH R2 BH2 4 d M d[ ,( )]
Ta có: phương trình đường thẳng (d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0)
0
6 4
5
a
a b
d M d
Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0
2) M (–1 + t; t; –9 + 6t) 1; 2 qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương a= (2; 1; –2)
AM
= (t – 2; t – 3; 6t – 8) AM;a
= (14 – 8t; 14t – 20; 4 – t)
Trang 3Ta có : d (M, 2) = d (M, (P)) 2
261t 792t 612 11t 20
35t2 – 88t + 53 = 0 t = 1 hay t = 53
35 Vậy M (0; 1; –3) hay M 18 53 3; ;
35 35 35
Câu VII.a: ’ = –9 = 9i2 do đó phương trình có 2 nghiệm z1 = –1 – 3i, z2 = –1 + 3i
Az12 z22= (1 + 9) + (1 + 9) = 20
Câu VI.b: 1) 3x + 2y – 15 = 0; 2x + 5y – 12 = 0
2) Chọn ( ;1 2 ;2 ) ( 2;2 1; 2)
Câu VII.b: Điều kiện: x > 0 Đặt t log 7x x 7t
2
t
Hàm số ( ) 1 3 7 3 1
f t nghịch biến và f(3) 0 nên (*) có nghiệm t = 3 Vậy phương trình có nghiệm x = 343