PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNGKHOẢNG CÁCH VÀ GÓC A.. Các ví dụ Ví dụ 1 : Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc trong các trường hợp sau a.. Trong mặt phẳng với h
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
A Kiến thức cơ bản:
1- Đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0) và nhận véctơ ur(a;b) làm véc tơ chỉ phương có phương trình tham số: 0
0
x x at
y y bt
= +
= +
và phương trình chính tắc
x x y y
2 - PTTQ của đường thẳng có dạng: ax + by + c = 0
Đường thẳng qua M(x0;y0) và nhận véctơ n (a;b) làm VTPT có PTTQ: a(x- xr 0) + b(y - y0) = 0
3 Khoảng cách từ M(x0;y0) đến ∆:ax + by + c = 0 là: ( ) 0 0
2 2
d M,
∆ =
+
4 Đường thẳng d1, d2 lần lượt có VTCP là uuur1 =(a ;b ,u1 1) uur2 =(a ;b2 2) Khi đó ta có:
·
1 2
cos d ,d cos u ,u
+
uur uur uur uur
uur uur
B Các ví dụ
Ví dụ 1 : Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc trong các trường hợp sau
a Đi qua điểm A( -5;3) và B(-3;4)
b Đi qua điểm M(-3;4) và có hệ số góc k = 3
Ví dụ 2 : Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc trong các trường hợp sau
a Đi qua điểm M(-3;4) và song song với đường thẳng 1 3
4 2
= +
= −
b Đi qua điểm M(-3;4) và vuông góc với đường thẳng 1 3
4 2
= +
= −
Ví dụ 3 : Cho ba điểm A(1;4) , B(3;-1) và C(6;2)
a Chứng minh A,B,C là ba đỉnh của một tam giác
b Lập phương trình đường cao AH và trung tuyến AM
Ví dụ 4 : Cho đường thẳng ∆ 3 2
4 3
= − +
= +
và điểm A( 1;2)
a Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên ∆
b Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua ∆
Ví dụ 5 Cho đường thẳng ∆: 2 2
3
= +
= +
và điểm A(0;2)
a Tìm trên ∆ điểm M cách A một khoảng bằng 20
b Tìm trên ∆ điểm N soa cho AN ngắn nhất
Ví dụ 6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho hai điểm A(1;1), B(4,-3) và đường thẳng (d) có phương
trình x – 2y – 1 = 0 Tìm trên (d) điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 6
Ví dụ 7 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho hai điểm A(3;1), B(-1,2) và đường thẳng (d) có phương
trình x – 2y – 1 = 0
a Tìm trên (d) điểm M sao cho tam giác ABM cân tại M
b Tìm trên (d) điểm N sao cho tam giác ABN vuông tại N
Ví dụ 8 Cho tam giác ABC có A(1;1) các đường cao hạ từ B và C lần lượt có phương trình
hB : 2x – y + 8 = 0 và hC : 2x + 3y – 6 = 0
a Viết phương trình đường cao hạ từ A
b Xác định tọa độ B, C
Ví dụ 9 Cho tam giác ABC có A(1;1) các đường trung tuyến hạ từ B và C lần lượt có phương trình
mB : 2x – y + 8 = 0 và mC : 2x + 3y – 6 = 0
a Viết phương trình đường trung tuyến xuất phát từ A
Trang 2b Xác định tọa độ B, C
Ví dụ 10 Cho tam giác ABC có A(2; -1) các đường phân giác hạ từ B và C lần lượt có phương trình
lB : x – 2y + 8 = 0 và lC : x + y + 3 = 0
a Viết phương trình đường phân giác kẻ từ A
b Xác định tọa độ B, C
Ví dụ 11 Cho điểm P(2;2) và hai đường thẳng lần lượt có phương trình
d1 2x – y + 1 = 0 và d2 : x + 3y + 2 = 0
a Lập phương trình đường thẳng đi qua M và tạo với d1 góc 450
b Lập phương trình đường thẳng đi qua M cắt d1 tại A và d2 tại B sao cho M là trung điểm của đoạn AB
Ví dụ 12 Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết tọa độ một đỉnh là (-4;5) và một đường chéo có
phương trình 7x – y + 8 = 0
Ví dụ 13 Cho tam giác ABC đều đỉnh A(1; 2), cạnh BC có phương trình x – 2y + 5 = 0 Xác định tọa độ B, C
BÀI TẬP
I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Lập phương trình TQ và TS của đường thẳng đi qua điểm M và có vtpt nr biết:
a, M 1; 1 ; n( − ) r=( )2;1 b, M 0;4 ; n( ) r= −( 1;3) c, M 2; 3 , n(− − ) r= −( 2;1)
Bài 2: Lập PTTS và PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M và có vtcp ur biết:
a, M 1; 2 ; u( − ) r=( )1;0 b, M 5;3 ; u( ) r= −( 3;1) c, M 3; 7 , u(− − ) r=( )3; 2
Bài 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B trong các trường hợp sau:
a, A 1;1 , B 2;1(− ) ( ) b, A 4; 2 , B 1; 2( ) (− − ) c, A 5;0 , B 1;1(− ) ( )
Bài 4: Lập phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB biết:
a, A 1;1 , B 3;1( ) (− ) b, A 3; 4 , B 1; 6( ) ( − ) c, A 4;1 , B 1;4(− ) ( )
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng (d) biết:
a, đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc k = 2
c, đi qua điểm M(-3;-1) và tạo với hướng dương trục Ox góc 450
d, đi qua điểm M(3;4) và tạo với hướng dương trục Ox góc 600
Bài 6: Chuyển (d) về dạng tham số biết (d) có phương trình tổng quát:
Bài 7: Chuyển (d) về dạng tổng quát biết (d) có phương trình tham số:
a, =
= +
x 2
= −
= +
x 2 t
= +
= −
x 2 3t
Bài 8: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) và C(2;3)
a, Lập phương trình đường trung trực cạnh AB
b, Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;7) và vuông góc với đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC
Bài 9 Lập phương trình các cạnh và các đường trung trực của tam giác ABC biết trung điểm 3 cạnh BC, CA,
AB lần lượt là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5)
II ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC
Bài 1: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và 2 đường cao (d1) và (d2) có phương trình là
( )d : x y 2 0; d :9x 3y 4 01 + − = ( )2 − + =
Bài 2: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB là x + y – 9 = 0, các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt
là (d1): x + 2y – 13 = 0 và (d2): 7x + 5y – 49 = 0 Lập phương trình cạnh AC, BC và đường cao thứ 3
Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(1;-1) và 2 đường trung tuyến (d1) và (d2) có phương trình là: ( )d :3x 5y 12 0; d :3x 7y 14 01 − − = ( )2 − − =
Bài 4: Phương trình 2 cạnh của một tam giác là: ( )d :x y 2 0; d : x 2y 5 01 + − = ( )2 + − = và trực tâm H(2;3) Lập phương trình cạnh thứ 3
Trang 3Bài 5: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là
M(2;3), phương trình (AB): x – y – 1 = 0; phương trình (AC): 2x + y = 0
Bài 6: Xác định toạ độ các đỉnh và lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm G 4 2;
3 3
phương trình (AB): x – 3y + 13 = 0; phương trình (AC): 12x + y – 29 = 0
III HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với đt(d) qua điểm I
a, I( 3;1);(d) : 2x y 3 0− + − = b, I(1;1);(d) : 3x 2y 1 0− + =
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng (d1) đối xứng với đường thẳng (d) qua đt(∆) biết:
a, (d) : x 2y 1 0;( ) : 2x y 3 0+ − = ∆ − + = b, (d) : 2x 3y 5 0;( ) : 5x y 4 0+ + = ∆ − + =
Bài 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A(0;3); phương trình 2 đường phân giác trong xuất
phát từ B và C lần lượt là (d ) : x y 0;(d ) : 2x y 8 0B − = c + − =
Bài 4: Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh BC: x+4y−8=0 và phương trình 2 đường phân giác trong xuất phát từ B và C lần lượt là: (d ) : y 0;(d ) : 5x 3y 6 0B = C + − =
Bài 5: Cho tam giác ABC biết C(3;-3); phương trình đường cao và đường phân giác trong xuất phát từ A lần
lượt là (d ) : x 2;(d ) : 3x 8y 14 01 = 2 + − =
IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau: a 1 2
(d ) : ;(d ) :
Bài 2: Cho a2 +b2 ≠0 và 2 đt (d1) và (d2) có phương trình: 2 2
(d ) : (a b)x y 1;(d ) : (a− + = −b )x ay b+ =
a, Tìm quan hệ giữa a và b để (d1) và (d2) cắt nhau, khi đó hãy xác định toạ độ giao điểm I của chúng
b, Tìm điều kiện giữa a và để I thuộc trục hoành
Bài 3: Cho 2 đường thẳng 2 2
(d ) : kx y k 0;(d ) : (1 k )x 2ky 1 k− + = − + − − =0
a CMR: đường thẳng (d1) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k
b CMR: (d1) luôn cắt (d2) Xác định toạ độ của chúng
V GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
Bài 1: Tìm góc giữa 2 đường thẳng (d1) và (d2) trong các trường hợp sau:
a, (d ) : 5x 3y 4 0;(d ) : x 2y 2 01 + − = 2 + + = b, (d ) : 3x 4y 14 0;(d ) : 2x 3y 1 01 − − = 2 + − =
Bài 2: Cho 2 đường thẳng (d1):2x−3y+1=0;(d2):−4x+6y−3=0
a, CMR (d1) // (d2) b, Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
Bài 3: Lập phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi (d1) và (d2) biết:
a, (d ) : 2x 3y 1 0;(d ) : 3x 2y 2 01 + − = 2 + + = b, 1 2
x 1 5t (d ) : 4x 3y 4 0;(d ) :
= −
Bài 4: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(-2;3) và cách đều 2 điểm A(5;-1) và B(3;7)
Bài 5: Cho 2 đường thẳng (d ) : 2x 3y 5 0;(d ) : 3x y 2 01 − + = 2 + − = Tìm M nằm trên Ox cách đều (d1) và (d2)
VI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Bài 1: Tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:
a, A(1;2), B(3;4) b, A(-1;2), B(2;1) c, A(-2;-1), B(-1;-1)
Bài 2: Tìm trên (d) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:
a, (d) : x y 0;A(3;2), B(5;1)− = c,(d) : x y 2 0;A(2;1), B(1;5)− + =
Bài 4: Cho đường thẳng (d) : x 2y 2 0− − = và 2 điểm A(1;2), B(2;5) Tìm trên (d) điểm M sao cho:
a, MA + MB nhỏ nhất b, MA MBuuuur uuuur+ nhỏ nhất
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của
y= x +4x 8+ + x −2x 2+ b, 2 2
y= x +2x 2+ + x −6x 10+